Stabilisation d’un équilibre instable

Présentation au sujet: "Stabilisation d’un équilibre instable"— Transcription de la présentation:

1 Stabilisation d’un équilibre instable
Udppc 2014 Stabilisation d’un équilibre instable

2 Plan Le pendule inversé Les phénomènes gyroscopiques La surface piège Les pièges à particules Le lévitron

3 Le pendule inversé Equilibre et stabilité du pendule l x P j G g j mg
Instable Instable j x G g -p p j mg Stable

4 Le pendule inversé Stabilisation (aspect qualitatif) q q
Mouvement du support Horizontal Vertical Fin = -maS Fin = -maS q q q q mg mg aS aS

5 Le pendule inversé Stabilisation (aspect qualitatif)
Oscillation « rapide » du support Mouvement du pendule : Lent + Rapide Mouvement « rapide » z qL Stabilité si : zS aS P

6 Le pendule inversé Stabilisation par contrôle l Energies
q F z g x G l M P m, IP Equations du mouvement (« petits » angles) x J.L.Lagrange ( )

7 Le pendule inversé Stabilisation par contrôle (suite) Ka Capteur uc
Moteur F r Ka uc u Amplificateur i u i Convertisseur KT

8 Le pendule inversé Stabilisation par contrôle (fin) Equation en q
Energie potentielle effective Stabilité retrouvée si : Galilée Ep,ef « Le mouvement rectiligne uniforme est comme nul » q q

9 Le pendule inversé Stabilisation par oscillation du support l Energies
z m, IP q x G g Equation du mouvement l P Oscillations du support « petites » et « rapides » x

10 Le pendule inversé Stabilisation par oscillation (suite) q qL qR lent
rapide qR lent P.Kapitza ( )

11 Le pendule inversé Stabilisation par oscillation (fin) Ep,ef Exemple
Instable p -p q Ep,ef Stable Exemple

12 Le pendule inversé Quoi d’autre ? ? Pendule double, triple …
Théorème Acheson (N pendules couplés) Modes propes : Stabilité NB Pendule triple

13 Phénomènes gyroscopiques
Toupie dormante Axe quasi vertical z’ z Z a Moment cinétique g g R b G y’ m (A,A,C) l a Mouvement de l’axe OZ mg y O b x x’’

14 Phénomènes gyroscopiques
Toupie dormante (suite) Théorème du moment cinétique Conséquences i) si W = 0 « double instabilité » ! ii) Si W 0 couplage « gyroscopique » NB non dissipatif : Projections

15 Phénomènes gyroscopiques
Stabilisation « gyroscopique » Solutions Stable : p imaginaire , X = p2 réel négatif Système linéaire en a0, b0 Condition de stabilité Equation caractéristique

16 Phénomènes gyroscopiques
Au royaume des jouets … Crayon Toupie Oui ! Non !

17 Phénomènes gyroscopiques
Stabilisation « gyroscopique » Couple gyroscopique Z W Gg,s Gg,p y wx wy x Gyroscope.com

18 Phénomènes gyroscopiques
Au royaume des jouets (suite) Monorail Gyroscope.com L.Brennan A.Gray

19 Phénomènes gyroscopiques
Au royaume des jouets (fin) Bicyclette Principe de la stabilisation active de la bicyclette : Si elle penche à droite, le cycliste tourne le guidon vers la droite. Il apparaît des forces axifuges (dirigées vers la gauche) qui exercent un couple de redressement … Effet gyroscopique ? E.H.Jones A.Gray Vieux jouet (1936) Gyrowheel (2010)

20 La surface piège Un curieux équilibre O Energie potentielle «creux »
« selle » « bosse » z g O bille g (1,1) (-1,-1) g Stable (1,-1) Instable Instable Energie potentielle

21 La surface piège Stabilisation « gyroscopique » Energie cinétique z W
Forces généralisées H M x y Forces d’inertie g Equations des petits mouvements (référentiel tournant)

22 La surface piège Stabilisation « gyroscopique » (suite) Equations
Equation caractéristique Stable : p imaginaire , X = p2 réel négatif Solutions Système linéaire en A,B Condition de stabilité

23 La surface piège Stabilisation « gyroscopique » (fin)
Fréquence de rotation (Hz) Durée de piégeage (s) R.H. Thompson, … Can.J.Phys.80: - Energie potentielle effective maximale en O ! Le frottement détruit la stabilisation gyroscopique ! (stabilité « temporaire » - Kelvin)

24 Piège à particules Equilibre d’une particule chargée
Champ électrostatique Energie potentielle Equilibre en O Stable de même signe Potentiel possible Impossible ! N.B. forces linéaires ! (cf théorème d’Earnshaw)

25 Piège de Penning Champ électrostatique + champ magnétique
Energie potentielle coupelle Equations du mouvement zo F.M.Penning ( ) DC ro anneau coupelle Potentiel quadrupolaire H.G.Dehmelt (né en 1922)

26 Piège de Penning Stabilité Equation modifiées Equation caractéristique
Stable : p imaginaire , X = p2 réel négatif Condition de stabilité Solutions

27 Piège de Paul Champ électrique variable z Piège 3D Piège 2D W.Paul
AC Piège 2D W.Paul ( ) V AC

28 Piège de Paul Piège 2D Potentiel quadrupolaire Equations du mouvement
AC Potentiel quadrupolaire Equations du mouvement

29 Piège de Paul Piège 2D Champ « rapide » Energie potentielle effective
Séparation des mouvements Ep,ef lent rapide Stable x y

30 Pièges macroscopiques ?
Piège de Penning Piège de Paul Possible? Exemple mg Fel Position d’équilibre Condition de stabilité oui non

31 Lévitron Toupie magnétique toupie Fm S P Plaque de mise en place N
Aimant avec trou central

32 Lévitron Equilibre sur l’axe Toupie magnétique Equilibre (Pe) z
Dipôle magnétique Equilibre (Pe) Fm Force magnétique mg Rotation nécessaire pour maintenir la bonne orientation

33 Lévitron Stabilité… Bz Champ magnétique (divB=0 , rotB = 0) Br z P Pe
W « très grand » Force totale Instabilité ! Force magnétique Rotation pas trop rapide pour permettre d’aligner M et B !

34 Lévitron Stabilité… a2 a1 W « convenable »
M et B alignés en sens contraire (cf. diamagnétisme) Force totale a2 Stabilité possible ! a1

35 Conclusion Des questions ?