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1 Racines carrées Bruno DELACOTE Type d ’activité : leçon illustrée AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les.

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2 1 Racines carrées Bruno DELACOTE Type d ’activité : leçon illustrée AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

3 2 Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer.

4 3 Impression d'une diapositive : à l'aide de PowerPoint : Un clic droit de la souris ouvre un menu... Mettre fin au diaporama... Passer en mode diapositive... Fichier imprimer...Choisir les options voulues. Conseil : documents deux diapositives par page / cocher les cases : encadrer les diapositives et noir et blanc intégral A l'aide de la visionneuse : Un clic droit sur la souris ouvre un menu... Imprimer... Étendue d'impression....Choisir les diapositives à imprimer... Utiliser la dernière diapositive pour imprimer l'énoncé en noir et blanc.

5 4 Les techniques de calcul Racines carrées Définition et applications directes Racine carré d'un produit Racine carrée d'un quotient Comparaison de racines carrées Les exercices d’application Construction de la racine carrée d’un nombre entier Le colimaçon de PYTHAGORE (activité de découverte) Un problème

6 5 Le nombre a étant positif se lit racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré vaut a. donc Voir les réponses

7 6 Le nombre a étant positif se lit racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré vaut a. donc Attention ! Le signe doit être bien placé car il indique une priorité opératoire. En général 3 4 12 4 + 3 = 7 2,236 Car 3² = 9 Car 4² = 16

8 7 Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que leurs carrés Donc et En effet

9 8 La racine carrée d'un produit de nombres positifs est égale au produit des racines carrées. Ecrire sous la formeAvec b entier le plus petit possible Voir les solutions

10 9 Ecrire sous la formeAvec b entier le plus petit possible Plusieurs décompositions sont possibles... 2000 = 400 x 5 permet de trouver le résultat en une seule étape. suite donc

11 10 On utilise

12 11 La racine carrée d'un quotient de nombres positifs est égale au quotient des racines carrées

13 12

14 13 Quelques calculs de bases Voir les solutions

15 14

16 15

17 16 Ne pas confondre Est une expression qui ne peut pas être réduite avec Et La racine carréeLa racine carrée du nombre positif a (elle est unique et positive) ! et Les deux solutions de l ’équation x² = a (a>0)deux solutions

18 17 Equation x² = a Etant donné un nombre a l ’équation x² = a Admet deux solutions lorsque a > 0 Admet une solution x = 0 lorsque a = 0 N ’admet pas de solution lorsque a < 0 C ’est la définition ! x² = 0 si et seulement si x = 0 Si x > 0 alors x x x > 0 : c ’est le produit de deux nombres positifs ! Si x 0 : c ’est le produit de deux nombres négatifs ! x² ne peut pas être négatif …

19 18 Construire le colimaçon de PYTHAGORE Construire un triangle OA 1 A 2 isocèle rectangle en A 1 dont les petits côtés mesurent 1cm. Son hypoténuse OA 2 mesure cm Construire un deuxième triangle rectangle OA 2 A 3 dont les petits cotés mesurent cm et 1cm. Son hypoténuse OA 3 mesure cm Construire un troisième triangle rectangle OA 3 A 4 dont les petits cotés mesurent cm et 1cm. Son hypoténuse OA 4 mesure cm En continuant ainsi on obtient le colimaçon de Pythagore ! Construis maintenant les segments de longueurs Pré-requis : connaître le théorème de Pythagore. En mesurant certains segments (lesquels ? ) tu peux vérifier la précision de ton dessin.

20 19 Utilise ta figure : en reportant les longueurs avec ton compas, les égalités suivantes sont-elles plausibles ? NON Oui Quelles sont les règles de calcul qui justifient ceci…

21 20 Le nombre p étant positif se lit racine carrée de p est le seul nombre positif dont le carré vaut p. Les deux nombres positifs ont même carré donc ils sont égaux. De même….Exercices

22 21 Les deux nombres positifs ont même carré donc ils sont égaux. Exercices

23 22 UN PROBLEME Les exercices

24 23 Etant donné un nombre n positif on peut tracer Voici un programme : Tracer un cercle de diamètre AB = n A B Sur ce diamètre placer le point H tel que AH =1 H La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le cercle en C et C’ C C’ Faire des essais avec géoplan Piloter B au clavier lecture de l’affichage e1 = AH = 1 e2 = AB = n e3 = AC Choisir n = 4, n = 9 et n = 16 Le résultat attendu est-il vérifié ? Puis justifier cette construction….

25 24 ABH C 1 4 Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient…. AC² + BC² = AB² AC² + HC² + HB² = 4² AC² + HC² + 3 ² = 16 AC² + - 1 + 9 = 16 2AC² = 8 AC² = 4 Dans le triangle ABC Dans le triangle HBC Or HB = AB - 1 = 3 Dans le triangle HAC AC² = AH² + HC² AC² - 1 = HC² Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C. En divisant par 2 Si n = 4 Généralisons ce travail pour un nombre n quelconque...

26 25 ABH C 1 n Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient…. AC² + BC² = AB² AC² + HC² + HB² = AB² AC² + HC² + (AB - 1) ² = AB² AC² + HC² + AB² - 2AB + 1 = AB² AC² - 2AB + AC² = 0 = AB Dans le triangle ABC Dans le triangle HBC Or HB = AB - 1 Dans le triangle HAC Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C. Or AB = n donc En divisant par 2

27 26 Etant donné un nombre n positif on peut tracer Voici un programme : Tracer un cercle de diamètre AB = n A B Sur ce diamètre placer le point H tel que AH = 1 H La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le cercle en C et C’ C C’ Faire trois dessins pour n = 4, n = 9 et n = 16 Le résultat attendu est-il vérifié ? Puis justifier la première construction en appliquant le théorème de Pythagore lorsque n = 4. Etudier le cas général : (refaire les calculs en fonction de n.) Enoncé à imprimer


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