201-NYCALGÈBRE LINÉAIREET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

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1 201-NYCALGÈBRE LINÉAIREET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Introduction

2 Les mathématiques sont abstraites
Vassily Kandinsky Jackson Pollock

3 Algèbre VS Géométrie Le plus abstrait? Le plus intuitif?

4 Pour forger l’intuition
L’espace Le plan

5 Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie. Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup. Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment l’algèbre moderne. D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations. Ça vaut la peine de clarifier un peu ça.

6 Opération Définition:
Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’éléments de A un autre élément de A.

7 Définition: Une opération externe d’un ensemble B sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’un élément de B et d’un élément de A un autre élément de A.

8 On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des nombres réels , soit l’addition et la multiplication. Addition Multiplication

9 Propriétés de la somme Commutativité Associativité
Existence d’un neutre Existence d’un inverse

10 Propriétés du produit Commutativité Associativité
Existence d’un neutre Existence d’un inverse Sauf si

11 Propriété liant les deux
Distributivité

12 Axiomatisation Nombre très limité de postulats nommés «axiomes».
Euclide, -325 à -265 Nombre très limité de postulats nommés «axiomes». Tous les résultats sont déduits de ces axiomes et des règles de la logique.

13 Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Al-Khwarizmi (783 à 850) Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies mutuellement. René Descartes (1596 à 1650)

14 Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. Hum!?! On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace. Je pensais que c’était toujours vrai ça! On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel la géométrie classique fonctionne bien. Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit 180 degrés. En fait, les espaces qu’on va considérer sont la droite, le plan et l’espace.

15 Pour en savoir plus sur la géométrie non euclidienne, voir la petite BD (Géométricon) sur mon site.