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GESTION DE PORTEFEUILLE 3 Catherine Bruneau RISQUE & PROBABILITE.

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1 GESTION DE PORTEFEUILLE 3 Catherine Bruneau RISQUE & PROBABILITE

2 Rappels de calcul de probabilité Espace des issues aléatoires Ω Exemple : ce qui fait monter ou descendre un cours daction Évènements : parties de Ω Cours au-dessus dun certain seuil Tribu dévènements ( axiomes) A (Ω, A) espace probabilisable P: mesure de probabilité définie sur A

3 P à valeurs dans [0,1] Axiomes Exemple: P(hausse)=2/3 et P(baisse)=1/3 P(Ω)=1 Suite dénombrable dévènements disjoints 2 à 2: (Ω, A,P) espace probabilisé Probabilité conditionnelle Indépendance dévénements

4 Variable aléatoire X définie sur (Ω, A,P) est donc un évènement: X à valeurs dans : –un ensemble de valeurs fini ou dénombrable Alors on dit que X est une VARIABLE DISCRETE Exemple: X=1 si hausse =-1 si baisse dun cours boursier –un ensemble continu de valeurs réelles (dans R) On dit alors que X est une VARIABLE CONTINUE Log(cours boursier) suivi au centime près

5 Distribution des valeurs possibles de X: x=X( )/distribution de probabilité (de ces valeurs) –1) Variable discrète:sa distribution est caractérisée par les probabilités des différentes valeurs x j quelle peut prendre: –Exemple variable X de loi de Bernouilli B(p):elle peut prendre seulement deux valeurs 1 et 0 avec les probabilités respectives p et 1-p: P(X=1)=p (et P(X=0)=1-p ) –Variable X de loi de Poisson P( ): elle peut prendre les valeurs 0,1, 2,.., n,... etc… et Proba(X=n)=exp(- ) n /n! (où n! =nx(n-1)x(n-2)x…x2x1) –Variable continue Densité: P(xX

6 Moments –Espérance ( moyenne) –Variance: –écart-type ( volatilité) –Skewness –Kurtosis –(effet leptokurtique ( queue de distribution plus épaisse que celle de la loi normale): risques « extrêmes » plus probables Fractiles VaR =Value at Risk au niveau α P(Perte>VaR )=α

7 Cas de deux variables aléatoires X et Y exemple: valeur dun taux dintérêt ( taux de rendement dune obligation ( du trésor ou autre) et valeur dun cours boursier Loi jointe de X et Y –Densité –La connaissance de la loi jointe ( densité h (X,Y) ) est plus riche que la connaissance des seules lois marginales de X et de Y, de densités sauf dans le cas dindépendance des deux variables, car, dans ce cas, Covariance et corrélation

8 Loi conditionnelle de Y sachant X Cas discret Cas continu: densité conditionnelle de Y sachant X –La loi de probabilité du cours dun indice, sachant que les taux dintérêt sont élevés (respectivement bas –exemple: Y et Y suivent deux lois normales N(0,1) et ont un coefficient de corrélation –Cas dindépendance Espérance conditionnelle E(Y/X) Variance conditionnelle

9 Cas de plusieurs variables Matrice de variance du vecteur U=(U 1,….,U n ) de composantes aléatoires Matrice de covariance entre deux vecteurs U=(U 1,….,U n ) et V=(V 1,….,V m ) On a les propriétés suivantes où A désigne la matrice transposée de A cest-à-dire la matrice obtenue à partir de A en transformant les lignes en colonnes; par exemple,

10 Calculs despérances

11 Exemple de calculs dans le cas discret X=1 avec la probabilité de 2/3 et =-1 avec la probabilité de 1/3 skewness (coefficient dasymétrie)

12 Remarques: Rendement, taux de rendement et cours dune action Cours dune action P(t) à la date t Log cours : LogP(t) Variation ΔLogP(t)= LogP(t)- LogP(t-1) ΔLogP(t)=Log[P(t)/P(t-1)]=Log(rendement de linvestissement dans laction) ΔLogP(t)=Log{1+[P(t)- P(t-1)]/P(t-1)} ΔLogP(t)= [P(t)- P(t-1)]/P(t-1) =taux de rendement de linvestissement=variation de richesse/richesse initiale investie si [P(t)- P(t-1)]/P(t-1) est petit devant 1 P(t)/P(t-1)=rendement=1+taux de rendement Question: si une grandeur X varie de 10% de combien varie le carré de cette grandeur?


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