Démonstration du théorème

Présentation au sujet: "Démonstration du théorème"— Transcription de la présentation:

1 Démonstration du théorème
de Pythagore

2 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a

3 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b

4 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b a c b

5 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b a c b a c b

6 On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : a c b a c b a c b a c b On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes

7 On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : a c b a c b a c b On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes a c b a c b

8 On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : a c b a c b On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes a c b a c b a c b a c b

9 On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : a c b On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes a c b a c b a c b a c b a c b a c b

10 On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b

11 On obtient deux quadrilatères ABCD de même coté :
Or si un quadrilatère a tous ses côtés de la même longueur alors c’est un losange Donc ABCD est un losange sur les deux figures a + b a + b a c b a c b B A a c b A B a c b a c b a + b a c b a c b a c b C C D D

12 Or si un losange a un angle droit
ABCD est un losange et a un angle droit Or si un losange a un angle droit alors c ’est un carré Donc ABCD est un carré Angles droits a + b a + b a c b a c b B B A a c b A a c b a c b a + b a c b a c b a c b C C D D

13 ABCD est un carré a c b a c b a c b B I B A M a c b A a c b N a c b
AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b a + b a + b a c b a c b a c b B I B A M a c b A a c b N a c b a + b a c b F G E S a c b a c b C C D D H R

14 ABCD est un carré Démontrons que MNRS est un carré a c b a c b a c b B
AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Démontrons que MNRS est un carré Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b a + b a + b a c b a c b a c b B I B A M a c b A a c b N a c b a + b a c b F G E S a c b a c b C C D D H R

15 Démontrons que MNRS est un carré
a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N

16 Démontrons que MNRS est un carré
a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N SDR et RCN sont deux triangles semblables Donc les angles DRS et RNC sont égaux De même les angles DSR et NRC sont égaux

17 Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires
Démontrons que MNRS est un carré a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires

18 Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires
Démontrons que MNRS est un carré a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires Or l’angle DRC est plat donc SRN mesure 90°

19 Démontrons que MNRS est un carré
a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N MNRS est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et un angle droit. Donc MNRS est un carré.

20 ABCD est un carré a + b a c b B C D a + b A M N R S a c b a c b I B A
AGFI est un carré de côté a Donc MNRS est un carré de côté c HFEC est un carré de côté b a + b a c b B C D a + b A M N R S a c b a c b I B A a c b a + b a c b F G E a c b C D H

21 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire: a + b a c b B C D a + b A M N R S a c b a c b I B A a c b a + b a c b F G E a c b C D H

22 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : b I A M A c a a c c N a c b a F G E S c a c b a c b c b b b b c C C D D H a a R

23 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a c b a F G E S c a c b a c b c b b b b c C C D D H a a R

24 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a F G E S c a c b a c b c b b b b c C D D H a a R

25 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : L’aire du carré AGFI est a² L’aire du carré MNRS est c² L’aire du carré HFEC est b² Donc: a² + b² = c² I M A a c c N a F G E S c c b b C H R

26 Nous venons de démontrer le théorème de Pythagore
c b a² + b² = c² Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.