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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Critère de stabilité de Routh & Design de PID à partir du lieu des racines Enseignant: Jean-Philippe.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Critère de stabilité de Routh & Design de PID à partir du lieu des racines Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Février 2011

2 Cours # 6 Critère de stabilité de Routh (2 ième partie): Cas spéciaux Choix dun gain proportionnel K à laide du critère de Routh-Hurwitz Conception de contrôleurs PID à laide du lieux des racines Contrôleurs de type proportionnel Contrôleurs de type proportionnel dérivé et à avance de phase Retour sur le cours #5: Exercices concernant le lieux des racines (issus des examens de pratique) 2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

3 Cours #6

4 Critère de Routh-Hurwitz (I) Lors du cours précédent, nous avions vu que le critère de Routh- Hurwitz est un outil pratique qui permet de conclure sur la stabilité dun système dordre quelconque. Nous avions introduit cette matière en présentant la table de Routh- Hurwitz: 4 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

5 Critère de Routh-Hurwitz (II) Où: 5 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Etc...

6 Critère de Routh-Hurwitz (III) Exemple 1 Avant décrire la table de Routh, il faut sassurer que la première condition de stabilité est vérifiée : tous les coefficients a i doivent être positifs. Ensuite: 6 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 s5s s4s s3s3 b1b1 b2b2 00 s2s2 c1c1 c2c2 00 s1s1 d1d1 000 s0s0 e1e1 000

7 Critère de Routh-Hurwitz (IV) Exemple 1 7 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 s5s s4s s3s3 11/825/800 s2s2 -145/11700 s1s1 559/ s0s0 7000

8 s5s s4s s3s3 11/825/800 s2s2 -145/11700 s1s1 559/ s0s Il y a deux changements de signe dans la table de Routh: Le système est donc instable et il y a exactement deux racines dans le demi-plan droit du plan complexe (instable). Critère de Routh-Hurwitz (V) Exemple 1 8 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

9 Effectivement, en utilisant la fonction « roots() » de Matlab: Critère de Routh-Hurwitz (VI) Exemple 1 9 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

10 La table de Routh est très pratique, puisquelle permet de conclure assez directement la stabilité dun système dordre n sans avoir à calculer « à la main » toutes les racines du polynôme caractéristique. Cependant, lanalyse de la table de Routh se fait à partir du changement de signe de la première colonne: il est donc obligatoire de se soucier des deux cas spéciaux suivant: 1) Un élément de la première colonne est nul 2) Une ligne entière de la table de Routh est nulle Critère de Routh-Hurwitz (VII) Cas spéciaux 10 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

11 Solution pour ce premier cas spécial: lorsquun élément de la première colonne est nul, on remplace ce dernier par et on continue le développement de la table. À la toute fin, on fait tendre vers 0 (depuis la gauche ou la droite) pour effectuer lanalyse de stabilité. Considérons un système dont la fonction de transfert est la suivante: Objectif: Conclure sur la stabilité du système Critère de Routh-Hurwitz (VII) Cas spécial #1 : Un élément nul dans la première colonne 11 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

12 Votre réflexe est dutiliser le critère de Routh pour vérifier la stabilité du système: Critère de Routh-Hurwitz (VIII) Cas spécial #1 : Exemple tiré de [2] 12 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 s5s s4s s3s3 0 7/200 s2s2 (6 -7)/ 300 s1s1 ( )/( )000 s0s0 3000

13 Le tableau enfin complété, vous pouvez effectué votre analyse en faisant tendre vers 0 (à partir de la gauche ou de la droite). Lanalyse se fait comme suit: Critère de Routh-Hurwitz (IX) Cas spécial #1 : Exemple tiré de [2] 13 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Première colonne de la table de Routh 0+0- s5s5 1++ s4s4 2++ s3s3 +- s2s2 (6 -7)/ -+ s1s1 ( )/( )++ s0s0 3++ Il y a deux changements de signes, donc le système est instable et possède deux racines instables (dans le demi-plan droit du plan complexe):

14 Solution pour ce deuxième cas spécial: lorsquune ligne entière de la table de Routh est nulle, la solution est de : 1) Former un polynôme intermédiaire à laide de la ligne précédent la ligne nulle. 2) Dériver ce polynôme intermédiaire par rapport à s 3) Utiliser les coefficients du résultat de la différentiation pour remplacer la ligne de zéros. 4) Tester finalement les racines du polynôme intermédiaire. Critère de Routh-Hurwitz (X) Cas spécial #2 : Une ligne entière de la table est nulle 14 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

15 Considérons un système dont la fonction de transfert est la suivante: Votre objectif est de conclure sur la stabilité de ce système, vous utilisez donc le critère de Routh et bâtissez la table en conséquence. Critère de Routh-Hurwitz (XI) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] 15 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

16 Critère de Routh-Hurwitz (XII) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] 16 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 s5s s4s s3s Remarque: Lorsque lon construit la table de Routh, il est permit de multiplier une ligne entière par une constante pour obtenir une forme plus convenable, cest le cas ici pour la deuxième ligne (multiplication par 1/7). La troisième ligne est complètement nulle:

17 Critère de Routh-Hurwitz (XIII) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] 17 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 On considère donc le polynôme intermédiaire donné par la ligne qui précède la ligne de zéros, i.e.: On le dérive par rapport à s: On utilise les coefficients de ce résultat pour remplacer la ligne de 0: s5s s4s s3s Aussi, multiplication de la ligne par 1/4

18 Critère de Routh-Hurwitz (XIV) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] 18 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 On complète finalement le tableau comme à lhabitude: s5s s4s s3s s2s s1s1 1/3000 s0s Aucun changement(s) de signe, donc il ny a aucunes racines dans le demi-plan droit. Effectivement: Cependant, le système est marginalement stable: regardez la forme des racines!

19 Critère de Routh-Hurwitz (XIV) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] 19 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Quavons-nous oublié lors de notre démarche? Réponse: De vérifier les racines du polynôme intermédiaire Remarque: Lorsque, dans une table de Routh, une ligne est complètement nulle, cela signifie que lon se trouve dans lun de ces 2 cas: 1) Racines conjuguées complexes : s= ±jω 2) Racines réelles de mêmes valeurs mais de signes opposés: : s= ±α Aussi, le polynôme intermédiaire est un facteur du polynôme caractéristique, ce qui implique quil partage aussi une partie des ses racines…

20 Critère de Routh-Hurwitz (XV) Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2] 20 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Racines du polynôme caractéristique VS celles du polynôme intermédiaire: Polynôme caractéristiquePolynôme intermédiaire Ici, par simple observation, il était possible de constater que le polynôme intermédiaire possédait toutes ses racines conjuguées complexes: cest pour cette raison que cette étape de la démarche fut « oubliée ». Dailleurs, tous les polynômes dordre n qui ont des coefficients positifs (a i ) et des termes en s élevés à une puissance paire possèdent tous des racines conjuguées complexes!

21 Critère de Routh-Hurwitz (XVI) Choix dun gain proportionnel K à laide de Routh-Hurwitz 21 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Le critère de Routh est souvent utile afin de déterminer pour quelles valeurs de paramètres (gains) du contrôleur le système sera stable. La première colonne du tableau nous fournira alors les conditions de stabilité en fonction des paramètres du contrôleur. Nous avons déjà fait quelques exercices qui démontraient très bien ce fait. On peut aussi utiliser le critère de Routh pour trouver le gain K au point où le lieu des racines croise laxe des imaginaires.

22 Critère de Routh-Hurwitz (XVII) Choix dun gain proportionnel K à laide de Routh-Hurwitz 22 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Soit le système suivant, commandé par un contrôleur de type proportionnel: Où: C(s) G(s) Contrôleur Procédé

23 Critère de Routh-Hurwitz (XVIII) Choix dun gain proportionnel K à laide de Routh-Hurwitz 23 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 La fonction de transfert du système en boucle fermée est donc: s3s3 177 s2s2 18K s1s1 (1386-K)/180 s0s0 K0 Il faut donc que: Si K=0 ou K=1386, certaines des racines seront directement sur laxe imaginaire: système marginalement stable indésirable

24 Critère de Routh-Hurwitz (XIX) Choix dun gain proportionnel K à laide de Routh-Hurwitz 24 Jean-Philippe Roberge - Février ) 2) 3) K=0 K=1000 K=1386 K=0 K=1386

25 Critère de Routh-Hurwitz (XX) Choix dun gain proportionnel K à laide de Routh-Hurwitz 25 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Autre exemple:

26 Critère de Routh-Hurwitz (XXI) Choix dun gain proportionnel K à laide de Routh-Hurwitz 26 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 K=0 K=6

27 Conception de PID à laide du lieux des racines (I) 27 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

28 Conception de PID à laide du lieux des racines (II) 28 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Dans plusieurs cas, un contrôleur PID permet de répondre aux spécifications du comportement désiré, par exemple le dépassement P le temps de réponse à 2% lerreur en régime permanent Etc…

29 Conception de PID à laide du lieux des racines (III) 29 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Un contrôleur proportionnel-dérivé permet daméliorer la réponse en régime transitoire et, jusquà un certain degré, lerreur en régime permanent. Un contrôleur proportionnel-intégral permet daméliorer la réponse en régime permanent (en tant que suiveur ainsi que régulateur). Un contrôleur PID constitue une combinaison de ces deux contrôleurs. Par ailleurs, dans le domaine temporel:

30 Conception de PID à laide du lieux des racines (IV) Contrôleur de type P 30 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Il existe plusieurs outils de conception de contrôleurs ; nous utiliserons comme outil principal de design le lieu des racines. Pour illustrer cette méthode, commençons par considérer le système ci- dessous: C(s) G(s) Contrôleur Procédé

31 Conception de PID à laide du lieux des racines (V) Contrôleur de type P 31 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Le contrôleur le plus simple est un contrôleur proportionnel, qui na quune seule constante K comme fonction de transfert. En particulier, il ne permet pas de modifier de façon indépendante les valeurs de ζ et de ω n. Ce dernier fait sera illustré par notre exemple. Le polynôme caractéristique du système en boucle fermé est:

32 Conception de PID à laide du lieux des racines (VI) Contrôleur de type P 32 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Utilisons les règles dEvans pour tracer le lieu des racines: Le point de départ des deux branches du lieu des racines débute aux positions des pôles du système en boucle ouverte, donc en s 1 = 0 et s 2 = -5 Le centre de gravité des asymptotes sera: Angles des asymptotes: Points dintersection:

33 Conception de PID à laide du lieux des racines (VII) Contrôleur de type P 33 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Angles de départ: Pôle #1: Pôle #2:

34 Conception de PID à laide du lieux des racines (VIII) Contrôleur de type P 34 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Rappel – temps de réponse à 2%: Dans lexemple que nous venons détudier, à toute paire de pôles complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond quune même valeur de ζ ω n : Si on augmente K de façon à séloigner de lorigine et ainsi augmenter la valeur de ω n, alors il faut forcément diminuer ζ par le même facteur. Par conséquent, on se trouve dans limpossibilité de diminuer le temps de réponse du système! Pour pouvoir mieux répondre aux diverses spécifications, il faut considérer des contrôleurs de formes plus générales (PI, PD ou PID).

35 Conception de PID à laide du lieux des racines (IX) Contrôleurs PD et avance de phase 35 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 La fonction de transfert dun contrôleur de type PD sécrit comme suit: Le terme K p donne lieu à un composant de la commande qui est directement proportionnel à lerreur. Le terme K d s procure un composant qui est proportionnel à la dérivée de lerreur. Ce contrôleur PD ajoute à la fonction de transfert en boucle fermée un zéro à s = 1/ τ PD. Le lieu des racines correspondant à la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est présenté à la figure suivante.

36 Conception de PID à laide du lieux des racines (X) Contrôleurs PD et avance de phase 36 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

37 Conception de PID à laide du lieux des racines (XI) Contrôleurs PD et avance de phase 37 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Pour bien comprendre comment lajout du zéro modifie la forme du lieu, effectuons un bref rappel: i) La relation damplitude: ii) La relation dangle: Ce système de deux équations étant équivalent à léquation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement sil répond à ces deux équations.

38 Conception de PID à laide du lieux des racines (XII) Contrôleurs PD et avance de phase 38 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Langle de G(s) étant donné par: Soit la partie imaginaire de s positive, Alors la contribution dun terme (s s0) est illustrée ci-dessous:

39 Étant donnée la forme de notre expression pour langle de G(s), on voit que les zéros apportent une contribution positive à langle pour un s à partie imaginaire positive, alors que les pôles y apportent une contribution négative. Leffet de lajout du contrôleur PD est donc dapporter une contribution positive à langle de la fonction de transfert G(s): Pour que la relation dangle soit toujours remplie, la contribution des pôles doit devenir plus négative. On peut vérifier que ceci veut dire que le lieu se déplace vers la gauche et vers la partie négative de laxe des réels. Lajout dun contrôleur PD permet donc dobtenir des pôles en boucle fermée avec des rapports damortissement ζ augmentés pour une pulsation naturelle ω n donnée. Conception de PID à laide du lieux des racines (XIII) Contrôleurs PD et avance de phase 39 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

40 Conception de PID à laide du lieux des racines (XVI) Contrôleurs PD et avance de phase 40 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

41 Conception de PID à laide du lieux des racines (XVII) Contrôleurs PD et avance de phase 41 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

42 Conception de PID à laide du lieux des racines (XVIII) Contrôleurs PD et avance de phase 42 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

43 Conception de PID à laide du lieux des racines (XIX) Contrôleurs PD et avance de phase 43 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Un contrôleur PD ne devrait pas être implanté sous la forme idéale K + Kds = Kd(s + 1/ τ PD ). En effet, le module de la réponse fréquentielle de ce contrôleur est: qui saccroît sans borne en fonction de la fréquence ω. Un contrôleur avec cette fonction de transfert serait donc non souhaitable, et amplifierait de façon excessive le bruit de mesure. Par conséquent, un contrôleur réel a souvent la forme dun contrôleur avance de phase : Noter que le module de la réponse fréquentielle dun tel système tend vers K A lorsque ω tend vers 0, et vers K A lorsque ω tend vers linfini. Cest ce qui introduit la matière du prochain cours!

44 Exercices

45 Retour sur le cours #5 (I) Exercices 45 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

46 Retour sur le cours #5 (II) Exercices 46 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

47 Retour sur le cours #5 (III) Exercices 47 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

48 Retour sur le cours #5 (IV) Exercices 48 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

49 49 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Prochain cours Contrôleurs à avance de phase Contrôleurs proportionnel-intégral (PI) et à retard de phase Fin des exercices des examens de pratique Réponse à vos questions

50 Références 50 [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh Jean-Philippe Roberge - Février 2011


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