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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #2: Rappel des transformées de Laplace & Systèmes linéaires et stationnaires Enseignant: Jean-Philippe Roberge.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #2: Rappel des transformées de Laplace & Systèmes linéaires et stationnaires Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

2 Cours # 2 Bref rappel du cours #1: Systèmes en B.O. VS B.F. Lecture des schémas blocs Linéarisation des systèmes non-linéaires autour dun point déquilibre. La transformée unilatérale de Laplace La transformée inverse par fractions partielles Pôles réels et distincts Pôles complexes et distincts Pôles réels et multiples Jean-Philippe Roberge - Janvier 20112

3 Cours #2 Fonctions de transfert Algèbre des diagrammes fonctionnels La réponse temporelle: Dun système de premier ordre Dun système de deuxième ordre Gain statique Jean-Philippe Roberge - Janvier 20113

4 Retour sur le cours #1 (I) Systèmes en B.O. 4 Aucune mesure nest utilisée pour la régulation: le contrôleur ne « connait » pas la valeur actuelle de la sortie. Exemples de système en boucle ouverte: Sécheuse Système darrosage automatique Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

5 Retour sur le cours #1 (II) Systèmes en B.F. 5 Cest la technique dautomatisation la plus répandue. Lentrée du procédé dépend de la sortie: Généralement, le contrôleur commande le procédé en fonction de lerreur entre un signal de référence (e.g.: une consigne) et la sortie actuelle. Exemples de système en boucle fermée: Régulateur de vitesse Four pour la cuisson Thermostat Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

6 Lecture des schémas blocs (I) 6Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Nous avions vu (au tableau) que léquation: Pouvait sexprimer à laide du schéma bloc: u(t) a + - b Système u(t) Système x(t) Système en B.O.

7 Lecture des schémas blocs (II) 7Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Aujourdhui, nous verrons comment « lire » des schémas blocs beaucoup plus compliqués: Surtout, nous apprendrons comment les simplifier…

8 Linéarisation autour dun point déquilibre (I) Rappel : Un dernier exemple 8Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Soit « l » la longueur de la tige rigide et « M » la masse de lobjet à lextrémité de la tige: On sintéresse au couple « T » appliqué au pivot. Léquation dynamique de ce système sobtient très facilement: Trouvons le système linéarisé autour du point θ=0: **Par rapport au modèle non-linéaire, le modèle linéarisé est précis à 5% près sur une étendue de ±30 degrés!

9 Cours #2

10 Transformée unilatérale de Laplace (I) 10 Le fait davoir appris à linéariser les systèmes non linéaires nous permet désormais dutiliser un outil fantastique: la transformée (unilatérale) de Laplace. Cette transformée permet de résoudre beaucoup plus aisément les équations différentielles linéaires à coefficients constants, en ramenant la résolution des ces dernières à la résolution déquations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de « s »). Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

11 Transformée unilatérale de Laplace (II) Domaine temporel Domaine de Laplace 11 La transformée unilatérale de Laplace: Conditions: 1)Il faut que la fonction f(t) soit définie sur lintervalle [0, [ 2)Il faut quil existe un α réel tel que lintégrale ci-dessous converge : **Principe: Transformer léquation différentielle dintérêt dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler! Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

12 Transformée unilatérale de Laplace (III) Domaine temporel Domaine de Laplace 12 Exemple: Soit une fonction f(t) tel que: Alors: Démonstration: **Généralement, nous utiliserons des tables au lieu de transformer « à la main » … Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

13 Table de transformées de Laplace (I) 13Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Font références aux propriétés des transformées de Laplace (voir prochain transparent)

14 Propriétés des transformées de Laplace (I) 14Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

15 Théorème de la valeur initiale (I) 15 Si f(0 - ) existe, alors: Démonstration au tableau.. Pour démontrer ce théorème, il faudra aussi démontrer la propriété #6 (dérivation) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

16 Théorème de la valeur finale (I) 16 Si la valeur finale existe et est définie, alors: Démonstration au tableau.. Pour démontrer ce théorème, on se servira encore de la démonstration de la propriété #6 (dérivation) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

17 Transformée inverse de Laplace (I) Domaine de Laplace Domaine temporel 17 La transformée inverse de Laplace dite « lintégrale dinversion » est définie par: Où: u(t) se nomme « Heaviside step function » ou en français : fonction dHeaviside Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

18 Transformée inverse de Laplace (II) Domaine de Laplace Domaine temporel 18Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Il serait un peu mal commode de devoir utiliser cette intégrale dinversion: Il faudrait utiliser les notions dintégration complexe… Non seulement lintégrale est-elle complexe, ses bornes dintégration le sont aussi. En pratique, nous effectuerons une expansion en fractions partielles pour ensuite utiliser des tables: beaucoup plus facile!

19 Transformée inverse de Laplace (III) Expansion en fractions partielles 19Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Principe: Pour trouver la transformée de Laplace inverse dune fonction compliquée, nous pouvons convertir la fonction en une somme de termes plus simples pour lesquelles nous connaissons les transformées inverses. En effet, lexpansion en fractions partielles permet de représenter la transformée de Laplace sous une forme beaucoup plus pratique lors de lutilisation de la table de transformées: Il y a trois cas à distinguer lors de lexpansion: 1) Pôles réels et distincts, 2) Pôles complexes et distincts et 3)Pôles réels et multiples

20 Expansion en fractions partielles(I) Cas #1: Les pôles sont réels et distincts 20Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Si les pôles sont réels et distincts, on peut représenter F(s) par: Ainsi, on peut prendre la transformée inverse de chacun des termes pour obtenir : Trouvez la transformée inverse de: Démonstration au tableau…

21 Expansion en fractions partielles(II) Cas #2: Les pôles sont complexes et distincts 21Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Les pôles complexes résultent en des formes quadratiques au dénominateur. Ainsi, on décompose dune manière un peu différente: Où: En ce qui a trait aux coefficients C 2 et C 3 : On multiplie (I) par le plus petit commun dénominateur (Ex: ) On résout léquation en regroupant les termes en « s », et par la suite par simple déduction… Exemple au tableau - Décomposons en F.P.:

22 Expansion en fractions partielles(III) Cas #3: Les pôles sont réels et multiples 22Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Si les pôles sont réels et un des pôles se répète k fois, on peut repréesenter F(s) par: Où pour les pôles simples, on a: Et pour les k pôles multiples, on a: Exemple au tableau - Décomposons en F.P.:

23 Expansion en fractions partielles(IV) Cas #4: Les pôles sont réels, complexes et multiples 23Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 On ne traitera pas ce cas lors de ce cours, puisquen pratique ce sont des cas très très rares. Cependant, si certains dentre vous sont curieux de savoir comment on effectue une décomposition en fractions partielles lors du cas le plus général où les pôles peuvent être réels, complexes, simples et multiples, vous pouvez vous référer à ce site web du département de mathématique de lUniversité du Maryland:

24 Fonctions de transfert (I) 24 Les systèmes linéaires, stationnaires et continus (discrets) seront modélisés par des équations différentielles (récurrentes) linéaires à coefficients constants. Sinspirant de la résolution de ces équations par la méthode des transformées de Laplace (transformées en z), on représente les systèmes sous forme de fonction de transfert. Exemple dun système masse-ressort avec friction: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

25 Fonctions de transfert (II) 25 La transformée de Laplace de ce système est: Considérons le cas particulier où: On peut alors ré-écrire (I) tel que: En résolvant pour Y(s): Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

26 Fonctions de transfert (III) 26 Si b/M=3, k/M=2 et y 0 = 1, alors: La décomposition en fractions partielles donne: En utilisant la table des transformées, on trouve que dans le domaine temporel: Théorème de la valeur finale: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

27 Fonctions de transfert (IV) 27 Soit maintenant le même système avec les conditions initiales nulles: La fonction de transfert est alors donnée par: Supposons que lentrée u(t) soit limpulsion de Dirac, alors U(s)=1. Dans ce cas Y(s) est égal à la fonction de transfert G(s). La fonction de transfert est donc la transformée de Laplace de la réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Y(s)R(s)

28 Fonctions de transfert (V) Définitions 28 La réponse impulsionnelle dun système est sa réponse à une entrée sous forme dimpulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. La fonction de transfert dun système scalaire, linéaire et stationnaire, est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle. Le dénominateur de la fonction de transfert est dit le polynôme caractéristique du système, et lordre du système est le degré de ce polynôme. **Comme nous lavons vu dans le cas de notre exemple, lorsque le système est représenté sous forme dune équation différentielle, on peut calculer sa fonction de transfert en prenant la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

29 Algèbre des diagrammes fonctionnels (I) 29 Diagramme fonctionnel dune fonction de transfert: La représentation par des diagrammes fonctionnels permet de représenter la combinaison de systèmes par un ensemble de blocs interreliés: Des simplifications sont cependant possibles ! Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

30 Algèbre des diagrammes fonctionnels (II) Règles de simplification 30 1) 2) 3) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

31 Algèbre des diagrammes fonctionnels (III) Règles de simplification 31 4) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

32 Algèbre des diagrammes fonctionnels (IV) Règles de simplification 32 5) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

33 Algèbre des diagrammes fonctionnels (V) Simplification dun diagramme 33 En utilisant les règles que lon vient de présenter, il est possible de simplifier le schéma de la figure suivante pour obtenir la fonction de transfert : Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

34 Algèbre des diagrammes fonctionnels (VI) Simplification dun diagramme 34 On peut aussi écrire les équations pour la sortie de chacun des points de sommation ainsi que pour Y (s) et que lon solutionne en fonction de Y (s) et U(s). Dans lexemple précédent, on obtient : Que lon peut solutionner pour obtenir le même résultat. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 U(s)Y(s)

35 Algèbre des diagrammes fonctionnels (VII) Règle de Mason 35 La règle de Mason permet dobtenir directement la solution des équations simultanées tirées du schéma bloc. La fonction de transfert est donnée par: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

36 Algèbre des diagrammes fonctionnels (VIII) Règle de Mason 36Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

37 La réponse temporelle dun système (I) 37Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 La réponse dun système dynamique à une entrée quelconque est la sortie qui correspond à cette entrée. Pour calculer par simulation la réponse dun système, on utilise normalement lintégration numérique pour résoudre le modèle détat (Matlab, Simulink). La fonction de transfert suggère deux autres façons de calculer la réponse. 1) Par la propriété de « convolution temporelle » de la transformée de Laplace, nous avons avec conditions initiales nulles: La sortie est donc la convolution de lentrée avec la réponse impulsionnelle.

38 La réponse temporelle dun système (II) Systèmes du premier ordre 38Jean-Philippe Roberge - Janvier ) Nous utiliserons toutefois linversion de la transformée de Laplace pour calculer la réponse y(t). Considérons cet exemple:

39 La réponse temporelle dun système (III) Systèmes du premier ordre 39Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Transformons cette dernière équation dans le domaine de Laplace: La fonction de transfert est donc: Note importante : correspond à la forme standard dune fonction de transfert dun système du premier ordre.

40 La réponse temporelle dun système (IV) Systèmes du premier ordre 40Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Position de lunique pôle dun système du premier ordre: … Sur laxe des réels, peut par contre être situé dans le demi-plan gauche (partie réelle négative) ou dans le demi-plan droit (partie réelle positive).

41 La réponse temporelle dun système (V) Systèmes du premier ordre 41Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Étudions la réponse impulsionnelle dun système de premier ordre: La réponse impulsionnelle est donc: τ est dite « constante de temps » du système: Lorsque t=1* τ, la sortie du système est à 63.2% de sa valeur finale. Lorsque t=4* τ, la sortie du système est à 98.17% de sa valeur finale. Lorsque t=5* τ, la sortie du système est à 99.33% de sa valeur finale.

42 La réponse temporelle dun système (VI) Systèmes du premier ordre 42Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

43 La réponse temporelle dun système (VII) Systèmes du premier ordre 43Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Au lieu de limpulsion de Dirac, considérons un échelon à lentrée du système: Plus τ est petit, plus grande est la valeur absolue du pôle, et plus rapide est la réponse du système. La valeur finale de la sortie du système est K:

44 La réponse temporelle dun système (VIII) Systèmes du premier ordre 44Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

45 La réponse temporelle dun système (IX) Systèmes du deuxième ordre 45Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 En prenant lexemple du lecteur de disque (notes de cours): Important: Forme standard dun système de deuxième ordre:

46 La réponse temporelle dun système (X) Systèmes du deuxième ordre 46Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 À laide des paramètres ( ω,ξ ) de la forme standard (système normalisé) du système de deuxième ordre, il est possible de connaître une foule de caractéristiques du système à létude… « ω » se nomme fréquence naturelle du système « ξ » se nomme rapport damortissement (ou coefficient damortissement). Les pôles du système sont situés en:

47 La réponse temporelle dun système (XI) Systèmes du deuxième ordre 47Jean-Philippe Roberge - Janvier ) Si : Système sur-amorti Les deux pôles seront réels, et nous aurons une décomposition en éléments simples de: La réponse du système sera alors la somme des réponses des deux systèmes de premier ordre.

48 La réponse temporelle dun système (XII) Systèmes du deuxième ordre 48Jean-Philippe Roberge - Janvier ) Si : Système avec amortissement critique Les deux pôles seront réels, situés tous les deux à

49 La réponse temporelle dun système (XIII) Systèmes du deuxième ordre 49Jean-Philippe Roberge - Janvier ) Si : Système sous-amorti Les deux pôles seront complexes: La réponse impulsionnelle:

50 La réponse temporelle dun système (XIV) Systèmes du deuxième ordre 50Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

51 La réponse temporelle dun système (XV) Systèmes du deuxième ordre 51Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

52 Gain statique (I) 52Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Une fonction de transfert est dite asymptotiquement stable si tous ses pôles se trouvent dans le demi-plan gauche: Le gain statique dune fonction de transfert stable G(s) est G(0). Par le théorème de la valeur finale le gain statique représente la valeur de la réponse indicielle en régime permanent : Le gain statique du système du premier ordre est donc K, alors que le gain statique du système normalisé du deuxième ordre égale 1.

53 Prochain cours 53Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Retour assez exhaustif sur le cours #2 Exercices (que vous navez pas dans les notes + exercices tirés des examens pour lesquels vous navez pas de solutionnaire) Réponse en fréquence

54 Références 54 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop Control Systems Engineering – Norman S. Nise Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle Linear System Theory – Wilson J. Rugh Caractérisation et conception dune commande robuste pour un système de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge


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