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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #10: Le modèle détat (2ième partie) & transformée en z Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #10: Le modèle détat (2ième partie) & transformée en z Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

2 Cours # 10 Fin de la matière portant sur les systèmes continus: Retour sur le cours #9 Modèle détats et commande par retour détats Régulation par placements de pôles Observateurs détats Conception pour le suivi de consigne 2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

3 Cours # 10 Systèmes discrets (non-continus): Échantillonnage Transformée en z : propriétés et démonstrations Bloqueur dordre 0 La semaine prochaine (entres autres): Présentation dintérêts détudiant : Application des systèmes du contrôle au domaine de la photographie (1) et des automates programmables (2). Exercices sur la matière des cours #9 et #10 3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

4 4 Retour sur le cours #9 (I) Pour faire lanalyse dun système et/ou la conception dun contrôleur, deux approches sont disponibles: La première est basée sur la fonction de transfert du système La deuxième est basée sur le modèle détat du système Figure tirée de Modern Control Systems, Bishop & Al. Modèle détat:

5 Jean-Philippe Roberge - Mars Retour sur le cours #9 (II) Du modèle détat, il est possible dobtenir directement la fonction de transfert dun système (Laplace): Par ailleurs; Donc les pôles de la fonction de transfert sont aussi les valeurs propres de la matrice A!! Autre particularité des modèles détats: Aussi, nous avions vu au dernier cours quen général, une fonction de transfert quelconque possède plusieurs représentations détat équivalentes. De ces formes équivalentes, nous avions vu quatre formes importantes: La forme canonique commandable La forme canonique observable La forme canonique diagonale La forme canonique de Jordan

6 Retour sur le cours #9 (III) Forme canonique commandable Jean-Philippe Roberge - Mars 20116

7 Retour sur le cours #9 (IV) Forme canonique observable Note: Jean-Philippe Roberge - Mars 20117

8 Retour sur le cours #9 (V) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars 20118

9 Retour sur le cours #9 (VI) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars 20119

10 Retour sur le cours #9 (VII) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars

11 Retour sur le cours #9 (VIII) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars

12 Retour sur le cours #9 (IX) Solution des équations détat par Laplace Au dernier cours, nous avions vu quil était possible de solutionner le système déquation suivant, en utilisant Laplace: Donc, la solution: Où: se nomme la « matrice de transition ». Jean-Philippe Roberge - Mars

13 Retour sur le cours #9 (X) Solution des équations détat par Laplace Jean-Philippe Roberge - Mars

14 Retour sur le cours #9 (XI) Solution des équations détat par Laplace Jean-Philippe Roberge - Mars

15 Retour sur le cours #9 (XII) Solution des équations détat par Laplace Jean-Philippe Roberge - Mars

16 Retour sur le cours #9 (XIII) Commandabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

17 Retour sur le cours #9 (XIV) Observabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

18 Retour sur le cours #9 (XV) Exemple – système masse-ressort avec friction Jean-Philippe Roberge - Mars Commandabilité: Observabilité:

19 Cours #10

20 Conception à laide du modèle détat (I) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

21 Conception à laide du modèle détat (II) Commande par retour détats En effet: Jean-Philippe Roberge - Mars

22 Conception à laide du modèle détat (III) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars Liens – Pendule de Furuta double #1

23 Conception à laide du modèle détat (IV) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

24 Conception à laide du modèle détat (V) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

25 Conception à laide du modèle détat (VI) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

26 Conception à laide du modèle détat (VII) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

27 Conception à laide du modèle détat (VIII) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

28 Conception à laide du modèle détat (IX) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

29 Conception à laide du modèle détat (X) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Soit le système suivant qui sert à tester des pièces électriques: entres autres, des relais, des interrupteurs et des lumières. Le système utilise un moteur DC (vous avez vu comment modéliser approximativement un moteur à laide dun système de premier ordre dans le cadre du laboratoire) ainsi quun encodeur incrémental qui permet de connaître la position ainsi que la vitesse d()/dt. Variables détat: Jean-Philippe Roberge - Mars Tiré de [1]

30 Conception à laide du modèle détat (XI) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Le diagramme fonctionnel du système en boucle ouverte est: Le modèle détat associé est: Jean-Philippe Roberge - Mars U(s) Amplificateur Champ magnétique Moteur V X 3 =I f X2X2 X 1 = (s)

31 Conception à laide du modèle détat (XII) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Le diagramme fonctionnel du système en boucle fermée est: Le modèle détat associé est: Jean-Philippe Roberge - Mars U(s) Amplificateur Champ magnétique Moteur V X 3 =I f X2X2 X 1 = (s) R(s) +

32 Conception à laide du modèle détat (XIII) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Les racines du polynôme caractéristique, ou les valeurs propres de la matrice dintérêt sont déterminées par: Supposons que nous souhaitons obtenir un temps de réponse à 2% environ égal à 1.08 sec et un dépassement denviron 2.1%: Nous avons 4 degrés de liberté et 3 pôles à fixer, nous pouvons donc arbitrairement poser K 1 =1 et résoudre: Solution: Jean-Philippe Roberge - Mars

33 Observateur détat (I) Lorsque nous avons choisi la rétroaction: pour fermer la boucle, nous avons émis lhypothèse que le vecteur détats « x » était disponible. En effet, nous avons sous-entendu quil était possible dobtenir la valeur de tous les états du système afin de générer le signal de rétroaction. Par contre, dans biens des situations, il vous sera impossible de mesurer physiquement toutes les variables détat. La sortie « y » ne contiendra pas nécessairement tous les états. Dans ce cas, que peut-on faire? Cest ici quintervient lobservateur détat! Un observateur d'état est une extension dun système représenté sous forme de modèle d'état. Lorsquun ou plusieurs état(s) d'un système n'est (ne sont) pas mesurable(s), on construit un observateur qui permet de reconstruire l'état à partir d'un modèle du système dynamique et des mesures disponibles. Jean-Philippe Roberge - Mars

34 Observateur détat (II) Un observateur détat permet destimer x: Comment peut-on estimer le vecteur détat? Démonstration au tableau… Jean-Philippe Roberge - Mars

35 Observateur détat (III) La dynamique de lobservateur détat est donnée par : La dynamique de lerreur est donc donnée par: Si les valeurs propres de sont négatives, alors la dynamique de lerreur est stable et lerreur tend vers 0!!! Jean-Philippe Roberge - Mars

36 Observateur détat (IV) Ainsi, on peut choisir le gain K e afin que les valeurs propres de (A-K e C) soient toutes à partie réelle négative. De cette façon, peu importe la condition initiale de lerreur (e(0)), lerreur convergera vers 0. Aussi, puisque les valeurs propres dune matrice sont toujours égales aux valeurs propres de cette même matrice transposée; On peut donc utiliser la formule dAckerman pour placer les pôles en remplaçant A par A, B par C et K par K e : Jean-Philippe Roberge - Mars

37 Observateur détat (V) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars

38 Observateur détat (VI) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars

39 Observateur détat (VII) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars

40 Observateur détat (VIII) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars

41 Observateur détat (IX) Contrôleur et observateur Maintenant que nous avons un moyen destimer le vecteur état au complet, il est maintenant possible dutiliser cette information pour la rétroaction en prenant : Donc, les équations de la dynamique deviennent: Donc, le système augmenté sera stable si et seulement si les valeurs propres de A aug. sont à parties réelles négatives. Ceci étant dit, remarquez-vous une particularité sur la forme de A aug. ? Jean-Philippe Roberge - Mars

42 Observateur détat (X) Contrôleur et observateur En fait, la matrice A aug. est une matrice dite « triangulaire supérieure ». Les valeurs propres de A aug. sont: Donc, les pôles de la partie commande ne sont influencés que par le gain de la partie commande! Les pôles de la partie observateur ne sont influencés que par le gain de la partie observateur! On appelle cette particularité, le « principe de séparation ». Le design de lobservateur peut donc être effectué de manière tout à fait indépendante du design de la partie commande. Jean-Philippe Roberge - Mars

43 Observateur détat (XI) Contrôleur et observateur Par contre, il faut faire une dernière petite remarque en revisitant la forme du système augmenté: Nous pouvons en effet faire le design de lobservateur de manière indépendante par rapport à la partie commande. Cependant, puisque lerreur « e » affecte quand même la partie commande, nous avons intérêt à ce cette erreur converge rapidement vers 0. Cest pourquoi il est généralement recommander de faire le design de lobservateur de sorte à ce que les pôles soient plus rapides (plus à gauche dans le plan complexe) que les pôles de la partie commande. Habituellement, on recommande des pôles de lobservateur de 2 à 5 fois plus rapide. Jean-Philippe Roberge - Mars

44 Observateur détat (XII) Contrôleur et observateur : Diagramme fonctionnel Jean-Philippe Roberge - Mars

45 Contrôle intégral pour suivi de consigne (I) Sommaire de lapprentissage par rapport aux modèles détat: Nous avons appris ce quétait un modèle détat et comment mettre un système dynamique quelconque sous cette forme. Lorsque létat nest pas complètement disponible à la sortie du système, nous avons appris comment faire le design dun observateur détat afin destimer « x ». Nous avons appris que nous pouvions alors se servir létat estimé pour le signal de rétroaction. Nous avons démontré que le système, ainsi que lobservateur, seront stables en choisissant des gains K et K e conséquents. Jean-Philippe Roberge - Mars

46 Contrôle intégral pour suivi de consigne (II) Dans un très grand nombre dapplications, on souhaite faire en sorte que la sortie suive des consignes. Plusieurs exemples ont dailleurs déjà été discutés dans le cadre du cours: Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, système de bicyclette robotisé, suivi de température dans un four, thermostats électroniques et mécaniques, etc… Dans plusieurs cas, on souhaite suivre des consignes de type échelon (dune amplitude quelconque). Nous avons appris comment stabiliser le système par retour détats, comment faire maintenant pour continuer à stabiliser le système (en la présence possible de perturbations constantes) tout en le rendant apte à suivre des consignes-échelon? Jean-Philippe Roberge - Mars

47 Contrôle intégral pour suivi de consigne (III) Nous allons maintenant démontrer quen ajoutant un intégrateur (suivi dun certain gain K I ) à lentrée du système, ce dernier sera alors apte à suivre des consignes de type échelon, malgré la présence de perturbations constantes: Jean-Philippe Roberge - Mars

48 Contrôle intégral pour suivi de consigne (IV) En effet, soient lerreur « e » et lintégrale de lerreur « e I »: On peut ré-écrire sous forme de modèle détat (boucle ouverte), tel que: En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel précédent) avec u=-Kx+K I e I, on obtient le modèle détat en boucle fermée: Jean-Philippe Roberge - Mars

49 Contrôle intégral pour suivi de consigne (VI) Le système et lerreur à la sortie de lintégrateur seront stables si la matrice A e à toute ses valeurs propres à partie réelle négative. Maintenant, si le système est strictement stable, cela implique que lorsque le temps tend vers linfini: Si, alors on a (de léquation du haut): Jean-Philippe Roberge - Mars Le système est apte à suivre des consignes de type échelon!

50 Contrôle intégral pour suivi de consigne (VII) Jean-Philippe Roberge - Mars

51 Contrôle intégral pour suivi de consigne (VIII) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars

52 Contrôle intégral pour suivi de consigne (IX) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars

53 Contrôle intégral pour suivi de consigne (X) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars

54 Contrôle intégral pour suivi de consigne (XI) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars

55 Contrôle intégral pour suivi de consigne (XII) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars

56 Contrôle intégral pour suivi de consigne (XII) Exemple II avec observateur détats Exemple des wagons de train… Jean-Philippe Roberge - Mars

57 Fin de la matière sur les systèmes continus!! Jean-Philippe Roberge - Mars

58 Domaine non-continu et transformée en z (I) Jusquà maintenant nous avons seulement considéré les systèmes continus… Ceci est correct tant et aussi longtemps que les signaux sont échantillonnés à haute fréquence de sorte que lon puisse « approximer » le système discret par un système continu sans problème. On peut faire cette approximation dans plusieurs cas… Cependant, dans dautre cas, la période déchantillonnage est trop grande et le système est trop « discontinu »: Que peut-on faire? Dans ces cas, on utilisera la théorie propre aux systèmes discontinus, particulièrement la transformée en z. Jean-Philippe Roberge - Mars

59 Domaine non-continu et transformée en z (II) Un signal r(t) échantillonné peut être représenté par r*(t), tel que: Donc, sous forme équivalente: Jean-Philippe Roberge - Mars

60 Domaine non-continu et transformée en z (III) Rappel du cours #2: En prenant la transformée de Laplace dun signal échantillonné: Et en définissant simplement: Alors: Cest ce quon appelle la « transformée en z » de r(t). La transformée en Z est donc simplement lextension de la transformée de Laplace au domaine non-continu! Jean-Philippe Roberge - Mars

61 Domaine non-continu et transformée en z (IV) Transformé en z dun échelon Jean-Philippe Roberge - Mars

62 Domaine non-continu et transformée en z (V) Transformé en z dune exponentielle Jean-Philippe Roberge - Mars

63 Domaine non-continu et transformée en z (VI) Transformé en z dun sinus Jean-Philippe Roberge - Mars

64 Jean-Philippe Roberge - Mars Transformées en z et propriétés

65 Domaine non-continu et transformée en z (VII) Théorème de la valeur initiale / finale Jean-Philippe Roberge - Mars

66 Domaine non-continu et transformée en z (VIII) Bloqueur dordre zéro Un bloqueur dordre 0 est un système qui permet de garder constante (le temps dune période déchantillonnage) la valeur dun échantillon: À lentré du bloqueur, on a: En intégrant, on obtient : Finalement on obtient la sortie du bloqueur en soustrayant:, cest-à-dire lintégrale décalée de: Jean-Philippe Roberge - Mars

67 Domaine non-continu et transformée en z (IX) Bloqueur dordre zéro Jean-Philippe Roberge - Mars Donc, la fonction de transfert du bloqueur dordre 0 est: Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur dordre 0 à lentrée:

68 Domaine non-continu et transformée en z (X) Bloqueur dordre zéro Jean-Philippe Roberge - Mars

69 Prochain cours Jean-Philippe Roberge - Mars Exercices! Continuation de la matière concernant le domaine non-continu: Transformée en z inverse Choix dune période déchantillonnage Fonction de transfert pulsée déléments en cascade Fonction de transfert pulsée déléments en boucle fermée Stabilité dune fonction de transfert pulsée

70 Références 70 [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, [6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande dun système mécanique avec liens flexible, Jean-Philippe Roberge - Mars 2011


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