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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #4: Conception dun système de commande (2ième partie) Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #4: Conception dun système de commande (2ième partie) Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

2 Cours # 4 Exercices: Diagrammes fonctionnels par Mason Bref rappel du cours #3: Réponse en fréquence Analyse de la réponse en régime transitoire & permanent (1 ère partie) Conception de boucles de commande (suite du dernier cours): Analyse de la réponse en régime transitoire & permanent (2 e partie) Présentation dune application des systèmes de commande au cas du cyclisme sur route (un de vos intérêts). Jean-Philippe Roberge - Janvier 20112

3 Exercices (I) 3Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Mason

4 Exercices (III) 4Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Mason

5 Bref rappel du cours #3 Jean-Philippe Roberge - Janvier 20115

6 Réponse en fréquence (I) Le concept de la réponse en fréquence Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω. En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale: La sortie du système est donc: 6Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

7 Réponse en fréquence (II) Le concept de la réponse en fréquence 7 On sintéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses: On réalise déjà quen régime permanent, le système est oscillant: Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que lorsque t, le système est oscillant et : Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une phase généralement différentes de celles de lentrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

8 Réponse en fréquence (III) Le concept de la réponse en fréquence 8 Prouvons maintenant que: Par décomposition en fractions partielles: Identifions maintenant les éléments K 1 et K 2 : Donc, on peut ré-écrire: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

9 Réponse en fréquence (IV) Le concept de la réponse en fréquence 9 Ce qui ne fut pas démontré au dernier cours et qui est assez trivial: On utilise la table standard de transformés de Laplace ainsi que lidentité dEuler et on obtient: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

10 Rappel du cours #3 (V) Réponse en fréquence 10 Donc, au cours précédent (voir transparents du cours #3), nous avions démontré, à laide de lidentité dEuler, que: On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence dun système est entièrement déterminée par: En effet, puisque: la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même fréquence, avec une amplitude |T(jw)| fois celle de lentrée, et avec un déphasage de T(jw) par rapport à lentrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

11 Rappel du cours #3 (VI) Réponse en fréquence 11Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la quantité complexe T(jw), on appelle T(jw) la réponse fréquentielle du système. La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques: Un graphique de |T(jw)| où |T(jw)| est en décibel (20 log 10 |T(jw)|) ; et Un graphique de T(jw) en degrés. Labscisse est à léchelle logarithmique pour ces deux graphiques.

12 Rappel du cours #3 (VII) Réponse en fréquence 12Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

13 Rappel du cours #3 (VIII) Réponse en fréquence 13Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

14 Rappel du cours #3 (IX) Réponse en fréquence 14Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Considérons un système de premier ordre: La fréquence 1/ τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3 décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -20db/décade. Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de coupure. Vous pouvez vous servir de tf() et ltiview dans matlab pour visionner directement la réponse en fréquence dun système!

15 Rappel du cours #3 (X) Réponse en fréquence 15Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Considérons un système du deuxième ordre: Que lon peut ré-écrire:

16 Rappel du cours #3 (XI) Réponse en fréquence 16Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Pour il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) : et la valeur de |G(jw)| est donnée par: Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser lapproximation : Pour = 0.707, la fréquence w n est la fréquence de coupure avec une atténuation de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de 0 à -180 degrés, en passant à -90 degré à la fréquence w n.

17 Rappel du cours #3 (XII) Réponse en fréquence 17Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

18 Rappel du cours #3 (XIII) Réponse en fréquence 18Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

19 Rappel du cours #3 (XIV) Réponse en fréquence - Exemple Soit lexemple suivant (enregistreur) tiré du site du Colorado State University: Jean-Philippe Roberge - Janvier Les équations sont les mêmes que celles dun système masse- ressort avec frottement: Dans le domaine de Laplace (C.I. nulles): La fonction de transfert est donc:

20 Rappel du cours #3 (XV) Réponse en fréquence - Exemple Aussi: Vous faites à ce type de système et vous ne savez pas quelle est la masse, ni le coefficient de frottement et ni la constante de rappel du ressort. Vous pourriez penser à identifier le système à laide de la réponse en fréquence...! Revisitons encore une fois ce principe, mais pour un système de deuxième ordre... Jean-Philippe Roberge - Janvier

21 Rappel du cours #3 (XVI) Réponse en fréquence - Exemple Vous faites varier la force à lentrée du système selon un profil en sinus et vous tracer le diagramme de bode: Jean-Philippe Roberge - Janvier

22 Rappel du cours #3 (XVII) Réponse en fréquence - Exemple À partir du diagramme de Bode, vous savez que vous avez probablement affaire à un système du deuxième ordre et que: Donc: Aussi: Jean-Philippe Roberge - Janvier

23 Rappel du cours #3 (XVIII) Réponse en fréquence - Exemple On peut donc écrire la fonction de transfert du système à laide de la réponse fréquentielle, en utilisant la forme standard des systèmes du deuxième ordre: Donc: Vous venez carrément dobtenir la masse, le coefficient de frottement et la constante de rappel du ressort et ce simplement en faisant varier la force à lentrée du système selon un sinus et en observant la sortie!!! Jean-Philippe Roberge - Janvier

24 Rappel du cours #3 (XIX) Réponse en fréquence 24Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 La performance dun système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire: P: dépassement (en %), en anglais : overshoot T p : Temps de dépassement T s : Temps de réponse à 2% (ou 5%) K p : Constante derreur de position (vis-à-vis léchelon) K v : Constante derreur de vitesse (vis-à-vis rampe) 3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante M m : Gain à la résonance 4) Latténuation des perturbations

25 Rappel du cours #3 (XX) Réponse en fréquence 25Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

26 Rappel du cours #3 (XXI) Réponse en fréquence 26Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

27 Rappel du cours #3 (XXII) Réponse en fréquence 27Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

28 Rappel du cours #3 (XXIII) Réponse en fréquence 28Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

29 Rappel du cours #3 (XXIV) Réponse en fréquence 29Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

30 Cours #4

31 Conception de boucles de commande (I) 31Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

32 Conception de boucles de commande (II) 32Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

33 Conception de boucles de commande (III) 33Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 La performance dun système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire: P: dépassement (en %), en anglais : overshoot T p : Temps de dépassement T s : Temps de réponse à 2% (ou 5%) K p : Constante derreur de position (vis-à-vis léchelon) K v : Constante derreur de vitesse (vis-à-vis rampe) 3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante M m : Gain à la résonance 4) Latténuation des perturbations

34 Conception de boucles de commande (IV) 34Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

35 Conception de boucles de commande (V) 35Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

36 Conception de boucles de commande (VI) 36Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

37 Conception de boucles de commande (VII) 37Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

38 Conception de boucles de commande (VIII) 38Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

39 Conception de boucles de commande (IX) 39Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

40 Conception de boucles de commande (XVI) 40Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

41 Conception de boucles de commande (XVII) 41Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

42 Conception de boucles de commande (XVIII) 42Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

43 Conception de boucles de commande (X) 43Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

44 Conception de boucles de commande (XI) 44Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

45 Conception de boucles de commande (XII) 45Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

46 Conception de boucles de commande (XIII) 46Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

47 Conception de boucles de commande (XIV) 47Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

48 Conception de boucles de commande (XV) 48Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

49 Conception de boucles de commande (XVI) 49Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

50 Conception de boucles de commande (XXVI) 50Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

51 Conception de boucles de commande (XXVII) 51Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 En ce qui a trait à lerreur de suivi de la rampe:

52 Conception de boucles de commande (XXVIII) 52Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

53 Conception de boucles de commande (XVII) 53Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

54 Conception de boucles de commande (XVIII) 54Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

55 Conception de boucles de commande (XIX) 55Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

56 Conception de boucles de commande (XX) 56Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

57 Présentation dune application des systèmes de commande: Le cas du cyclisme sur route

58 Références (I) 58 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 [1] Yasuhito Tanaka and Toshiyuki Murakami, Self Sustaining Bicycle Robot with steering controller, The 8 th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control, [2] Ko Iuchi, Hiroshi Niki and Toshiyuki Murakami, Attitude Control of Bicycle Motion by Steering Angle and Variable COG Control, 31 st Conference on Industrial Electronics, [3] Ko Iuchi and Toshiyuki Murakami, An Approach to fusion control of stabilization control and human input in Electric Bicycle, IEEE 32 nd Conference on Industrial Electronics, [4] Limebeer, D.J.N., Sharp, R.S., Bicyles, Motorcycles and Models, IEEE Control Systems Magazine, [5] Yasuhito Tanaka and Toshiyuki Murakami, A Study on Straight-Line Tracking and Posture Control in Electric Bicycle, IEEE Transactions on Industrial Electronics, [6] D. Higashi, T. Imai, A. Ueno, and O. Miyashita, A Wearable Capacitive Heart-Rate Monitor for Controlling Electrically Assisted Bicycle, Electrical Machines and Systems, 2009.

59 Références (II) 59 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 [7] Lychek Keo and Masaki Yamakita, Controller Design of an Autonomous Bicycle with Both Steering and Balancer Controls, 18th IEEE International Conference on Control Applications, [8] Lei Guo, Qizheng Liao, Shimin Wei, Yufeng Zhuang, Design of Linear Quadratic Optimal Controller for Bicycle Robot, Proceedings of the IEEE International Conference on Automation and Logistics, [9] Fu-Kuang Yeh, Jian-Ji Huang, Chia-Wei Huang, Adaptive-Sliding Mode Semi-Active Bicycle Suspension Fork, SICE Annual Conference, [10] Vito Cerone, Davide Andreo, Mats Larsson, and Diego Regruto, Stabilization of a Riderless Bicycle: A Linear-Parameter-Varying Approach, Control Systems Magazine, Vol. 30, Issue 5, 2010

60 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (I) Diagramme fonctionnel du cyclisme 60Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Lorsque vous conduisez une bicyclette, vous faites partie dune boucle de contrôle: Ceci est lapplication la plus « directe » et la plus simple de la théorie du contrôle. La question que nous pouvons alors se poser est la suivante: Existe-t-il des contextes où la contribution de la théorie du contrôle pour le cyclisme est plus significative? Conducteur: Cerveau, bras, jambes, etc... Trajectoire désirée: Position, vitesse & accélération Trajectoire réelle Bicyclette: Guidon, pédales, dynamique de la bicyclette Conducteur: Vision Perturbations: Vent, nids-de-poule, pentes, etc...

61 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (II) 61Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 La réponse est oui. Une bicyclette nécessite laction humaine pour garder léquilibre, par contre, des chercheurs ont déjà conçu des boucles de contrôle pour stabiliser non seulement la pose dune bicyclette sans conducteur, mais aussi lerreur de suivi de trajectoire. α 1, α 2 : angles de glissement, φ: Angle de braquage. Langle de cambrage dépend de langle de braquage. Tiré de [5]

62 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (IV) 62Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 ξ: Angle de direction, v: vitesse de la bicyclette Tiré de [5]

63 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (V) Contrôle de la posture 63Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Puisque langle de cambrage θ dépend de langle de braquage φ, par conséquent, langle de cambrage désiré θ d est déterminé par langle de braquage désiré φ d. Ainsi, avec un contrôleur de type PD (Proportionnel-Dérivé), on peut choisir la commande telle que: Ainsi, dans le domaine de Laplace la fonction de transfert de langle de cambrage devient alors: Cette équation peut se ré-écrire ainsi:

64 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (VI) Contrôle de la posture 64Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Notez quà partir de cette dernière équation, les gains permettent de déterminer la fréquence naturelle ainsi que le coefficient damortissement, en effet: On peut aussi choisir une commande pour langle de braquage, telle que: On peux démontrer que la fonction de transfert devient alors:

65 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (VII) Contrôle de la posture 65Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 On peut choisir les gains de sortent à ce que la fonction de transfert ait tous ses pôles dans le demi-plan gauche du plan complexe. Tiré de [5]

66 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (VIII) 1 ère solution: Contrôle de la vitesse latérale 66Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Le contrôleur de posture que lon vient de développer permet de stabiliser la posture de la bicyclette sans considérer la trajectoire. Le fait de stabiliser la posture peut causer des oscillations et même de linstabilité au niveau du suivi de trajectoire. Pour réaliser la stabilité au niveau du suivi de trajectoire, la première des solutions proposée par [Yasuhito Tanaka et al.] est de contrôler la vitesse latérale de la bicyclette: Tiré de [5]

67 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (IX) 2 ième solution: Contrôle du braquage 67Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Une deuxième solution est de déterminer directement langle de cambrage désiré en contrôlant le braquage: Où: Tiré de [5]

68 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (X) Résultats issus de simulations et dessais pratiques 68Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Avant de montrer les résultats, présentons les paramètres: Tiré de [5]

69 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XI) Résultats issus de simulations et dessais pratiques 69Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Tirés de [5]

70 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XII) Résultats issus de simulations et dessais pratiques 70Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Tirés de [5]

71 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XIII) Résultats issus de simulations et dessais pratiques 71Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Tirés de [5]

72 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XIII) Résultats issus de simulations et dessais pratiques 72Jean-Philippe Roberge - Janvier > Étudiants du cours ELE > Robot Bicyclette --> Robot Bicyclette avec conducteur

73 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XIV) 73Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Autre exemple dapplication tiré des travaux de [D. Higashi et al.]: Contrôle de lassistance électrique dune bicyclette en fonction du rythme cardiaque du conducteur: Tiré de [6]

74 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XV) 74Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Principe de fonctionnement: Tirés de [6]

75 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XVI) 75Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Principe de fonctionnement (suite): Tiré de [6]

76 Diagramme fonctionnel: Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XVII) 76Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Contrôleur Rythme cardiaque désiré Ex: battements par minute pour le travail en endurance Rythme cardiaque réel Assistance électrique de la bicyclette « Heart rate Detector » Perturbations: Vent, nids-de-poule, pentes, etc... Dynamique de la bicyclette & physionomie du cycliste Aide à la propulsion

77 Exemple dapplication – Cyclisme sur route (XVIII) 77Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Autre application: suspension active à laide dune caméra embarquée à lavant de la bicyclette. Toutes ces innovations pourraient être intégrées indépendamment sur la même bicyclette.

78 Prochain cours 78 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Conception de contrôleurs

79 Références 79 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop Control Systems Engineering – Norman S. Nise Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle Linear System Theory – Wilson J. Rugh


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