La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Contrôleurs PD & à avance de phase, contrôleurs PI & à retard de phase Enseignant: Jean-Philippe Roberge.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Contrôleurs PD & à avance de phase, contrôleurs PI & à retard de phase Enseignant: Jean-Philippe Roberge."— Transcription de la présentation:

1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Contrôleurs PD & à avance de phase, contrôleurs PI & à retard de phase Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Février 2011

2 Cours # 7 Conception de contrôleurs: Contrôleurs PD (retour plus exhaustif sur la matière du dernier cours) Contrôleurs à avance de phase Contrôleurs PI Contrôleurs à retard de phase Contrôleurs PID Exercices restant des examens de pratique 2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

3 Cours #7

4 Rappel - Contrôleur de type P (I) 4 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Il existe plusieurs outils de conception de contrôleurs ; nous utiliserons comme outil principal de design le lieu des racines. Pour illustrer cette méthode, commençons par considérer le système ci- dessous: C(s) G(s) Contrôleur Procédé

5 Rappel - Contrôleur de type P (II) 5 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Le contrôleur le plus simple est un contrôleur proportionnel, qui na quune seule constante K comme fonction de transfert. En particulier, il ne permet pas de modifier de façon indépendante les valeurs de ζ et de ω n. Ce dernier fait sera illustré par notre exemple. Le polynôme caractéristique du système en boucle fermée est:

6 Rappel - Contrôleur de type P (III) 6 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Utilisons les règles dEvans pour tracer le lieu des racines: Le point de départ des deux branches du lieu des racines débute aux positions des pôles du système en boucle ouverte, donc en s 1 = 0 et s 2 = -5 Le centre de gravité des asymptotes sera: Angles des asymptotes: Points dintersection:

7 Rappel - Contrôleur de type P (IV) 7 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Angles de départ: Pôle #1: Pôle #2:

8 Rappel - Contrôleur de type P (V) 8 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Rappel – temps de réponse à 2%: Dans lexemple que nous venons détudier, à toute paire de pôles complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond quune même valeur de ζ ω n : Si on augmente K de façon à séloigner de lorigine et ainsi augmenter la valeur de ω n, alors il faut forcément diminuer ζ par le même facteur. Par conséquent, on se trouve dans limpossibilité daugmenter le temps de réponse du système! Pour pouvoir mieux répondre aux diverses spécifications, il faut considérer des contrôleurs de formes plus générales (PI, PD ou PID).

9 Retour plus exhaustif sur la matière (I) Contrôleurs PD et avance de phase 9 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 La fonction de transfert dun contrôleur de type PD sécrit comme suit: Le terme K p donne lieu à un composant de la commande qui est directement proportionnel à lerreur. Le terme K d s procure un composant qui est proportionnel à la dérivée de lerreur. Ce contrôleur PD ajoute à la fonction de transfert en boucle fermée un zéro à s = 1/ τ PD. Le lieu des racines correspondant à la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est présenté à la figure suivante.

10 Retour plus exhaustif sur la matière (II) Contrôleurs PD et avance de phase 10 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

11 Retour plus exhaustif sur la matière (III) Contrôleurs PD et avance de phase 11 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Pour bien comprendre comment lajout du zéro modifie la forme du lieu, effectuons un bref rappel: i) La relation damplitude: ii) La relation dangle: Ce système de deux équations étant équivalent à léquation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement sil répond à ces deux équations.

12 Retour plus exhaustif sur la matière (IV) Contrôleurs PD et avance de phase 12 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Langle de G(s) étant donné par: Soit la partie imaginaire de s positive, alors la contribution dun terme (s s0) est illustrée ci-dessous:

13 Étant donnée la forme de notre expression pour langle de G(s), on voit que les zéros apportent une contribution positive à langle pour un s à partie imaginaire positive, alors que les pôles y apportent une contribution négative. Leffet de lajout du contrôleur PD est donc dapporter une contribution positive à langle de la fonction de transfert G(s): Pour que la relation dangle soit toujours remplie, la contribution des pôles doit devenir plus négative. On peut vérifier que ceci veut dire que le lieu se déplace vers la gauche et vers la partie négative de laxe des réels. Lajout dun contrôleur PD permet donc dobtenir des pôles en boucle fermée avec des rapports damortissement ζ augmentés pour une pulsation naturelle ω n donnée. Retour plus exhaustif sur la matière (V) Contrôleurs PD et avance de phase 13 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Vérifions ce fait avec un petit exemple MATLAB...

14 Retour plus exhaustif sur la matière (VI) Contrôleurs PD et avance de phase 14 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Autre remarque: nous avons vu lors des derniers cours quil était possible, à laide du système normalisé de deuxième ordre; de connaître très précisément les caractéristiques (dépassement, temps de réponse, etc…) de la réponse temporelle en fonction des paramètres ζ, ω n. Or il se trouve quen ajoutant un contrôleur de type PD, nous ne pouvons plus vraiment nous fier aux formules que nous avions développées, puisquil est désormais impossible de mettre le système de deuxième ordre sous forme normalisée (dû au zéro du contrôleur).

15 Retour plus exhaustif sur la matière (VII) Contrôleurs PD et avance de phase 15 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Par exemple, de lexemple tirée des notes de cours:

16 Retour plus exhaustif sur la matière (VIII) Contrôleurs PD et avance de phase 16 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

17 Retour plus exhaustif sur la matière (IX) Contrôleurs PD et avance de phase 17 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

18 Retour plus exhaustif sur la matière (X) Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple 18 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Considérons le système suivant: En fermant la boucle: On pourrait alors être tenté dutiliser les relations du système normalisé de deuxième ordre, e.g.: C(s) G(s) Contrôleur Procédé

19 Jean-Philippe Roberge - Février Cela serait erroné, on ne peut négliger leffet du zéro! Nous ne pouvons mettre un tel système sous forme normalisé du deuxième ordre: Retour plus exhaustif sur la matière (XI) Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple

20 Retour plus exhaustif sur la matière (XII) Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple 20 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 En fait il faudrait plutôt se rapporter à la charte suivante:

21 Retour plus exhaustif sur la matière (XIII) Contrôleurs PD et avance de phase 21 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

22 Retour plus exhaustif sur la matière (XIV) Contrôleurs PD et avance de phase 22 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Un contrôleur PD ne devrait pas être implanté sous la forme idéale K + Kds = Kd(s + 1/ τ PD ). En effet, le module de la réponse fréquentielle de ce contrôleur est: qui saccroît sans borne en fonction de la fréquence ω. Un contrôleur avec cette fonction de transfert serait impossible à réaliser, et amplifierait de façon excessive le bruit de mesure. Par conséquent, un contrôleur réel a souvent la forme dun contrôleur avance de phase : Noter que le module de la réponse fréquentielle dun tel système tend vers α K A lorsque ω tend vers 0, et vers K A lorsque ω tend vers linfini.

23 Remarques: Le pôle de ce contrôleur peut, tout comme le zéro, changer lallure de la réponse temporelle du système, et rendre non valables les relations obtenues pour le système normalisé du deuxième ordre. Pour que ces relations soient respectées, on essaie typiquement de faire en sorte que le zéro soit annulé, ou presque, par un pôle du système en boucle fermée, et que la partie réelle des pôles ayant les valeurs désirées de ζ et de ω n soit plusieurs fois plus petites (en valeur absolue, donc plus près de laxe imaginaire) que celles de tout autre pôle du système en boucle fermée qui nest pas annulé (ou presque) par un zéro. Lorsque cette dernière condition est remplie, on dit que ces pôles ayant les valeurs désirées de ζ et ω n sont dominants, en ce sens quils ont une influence dominante sur lallure de la réponse en régime transitoire. Retour plus exhaustif sur la matière (XV) Contrôleurs PD et avance de phase 23 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Observons ce phénomène à laide de lapplet Java de lUniversité John Hopkins

24 Retour plus exhaustif sur la matière (XVI) Design dun contrôleur à avance de phase 24 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Pour atteindre le comportement désiré en régime transitoire, on exploite lanalyse du système normalisé du deuxième ordre ainsi que la charte fournie pour le système du deuxième ordre avec zéro. Comme nous lavons vu auparavant, les spécifications du dépassement et du temps de réponse se traduisent en contraintes sur les paramètres ζ et ω n des pôles complexes du système en boucle fermée. Lajout au contrôleur du pôle s = 1/ ατ A a tendance à contrer leffet du zéro, mais vu que le pôle se trouve à la gauche du zéro, sa contribution à langle de G(s) est plus faible en valeur absolue que celle du zéro. Cest la raison pour laquelle on nomme ce type de contrôleur à « avance de phase ». Le contrôleur permet donc de déplacer le lieu du système dans le sens désiré et de choisir ainsi de meilleures combinaisons des paramètres ζ et ω n. Ce type de contrôleur est donc fort utile pour améliorer la réponse en régime transitoire dun système.

25 Retour plus exhaustif sur la matière (XVII) Design dun contrôleur à avance de phase 25 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Le lieu des racines qui résulte de limplantation dun contrôleur avance de phase a été tracé en gardant constant le zéro 1/ τ A et le pôle 1/ ατ A et en faisant varier le gain K A :

26 Retour plus exhaustif sur la matière (XVIII) Design dun contrôleur à avance de phase 26 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Nous avons soulevé le point quun contrôleur à avance de phase permettait daméliorer la réponse dun système en régime transitoire. Cependant, il améliore aussi la réponse du système en régime permanent: Dans tous les cas, on obtient des constantes derreurs directement proportionnelles à K A qui est un paramètre choisi par lingénieur (gain du contrôleur à avance de phase). Plus une constante derreur quelconque est grande, plus lerreur en régime permanent sera petite.

27 Retour plus exhaustif sur la matière (XIX) Design dun contrôleur à avance de phase 27 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Phase associée à un contrôleur à avance de phase:

28 Design dun contrôleur à avance de phase (I) 28 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Le design par le lieu des racines dun contrôleur avance de phase se fait typiquement par une combinaison dintuition et dexpérience. Ceci dit, les étapes suivantes devraient produire un contrôleur raisonnable dans un grand nombre de cas : 1. Trouver des valeurs de ζ et ω n qui, selon les formules développées pour le système normalisé du deuxième ordre, vérifient les spécifications de la réponse temporelle. Ceci détermine des valeurs dune paire de pôles complexes: Notre démarche sera basée sur lhypothèse que ceux-ci seront les pôles dominants du système en boucle fermée cest-à-dire que le système de commande se comportera comme un système du deuxième ordre dont les pôles sont ceux là.

29 Design dun contrôleur à avance de phase (II) 29 Jean-Philippe Roberge - Février Choisir le zéro 1/ ατ A du contrôleur avance de phase. Si ce zéro est à la gauche du point s = ω n, son effet sur la forme du lieu risque dêtre trop petit, parce que langle (sd ( 1/ ατ A )), où sd = ζω n ± j*sqrt(1 ζ 2 ) ω n, sera trop petit. Par contre, sil est trop proche de laxe des imaginaires, son effet sur le dépassement risque dêtre trop important. Idéalement, on éviterait leffet indésirable du zéro sur le dépassement en plaçant le zéro directement par dessus un pôle du procédé. Puisquen pratique cette annulation ne sera pas parfaite, il est mieux de ne pas le faire en se servant dun pôle qui est très proche de lorigine (par rapport aux pôles désirés sd). Sil savère impossible de faire annuler le zéro par un pôle du procédé, alors le zéro aura probablement un effet non négligeable sur le dépassement (tel que nous lavons démontré dans le cadre du dernier exemple). Dans ce cas, il faut compenser en augmentant le rapport damortissement : labaque fourni devrait être consulté afin de choisir une valeur appropriée pour ζ.

30 Design dun contrôleur à avance de phase (III) 30 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

31 Design dun contrôleur à avance de phase (IV) 31 Jean-Philippe Roberge - Février Répéter des étapes au besoin afin de raffiner le design. Puisque la valeur de langle est limitée, il est parfois nécessaire dutiliser deux contrôleurs avance de phase en cascade. Dans ce cas, cest la somme de leurs angles respectifs qui figure dans la relation dangle.

32 Design dun contrôleur à avance de phase (V) Exemple 32 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Exemple donné dans le récapitulatif:

33 Contrôleurs PI et à retard de phase (I) Contrôleurs PI 33 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Pour augmenter le type de contrôleur (et en ce faisant améliorer la performance du système en tant que suiveur ainsi quen tant que régulateur), il faut insérer dans la boucle un intégrateur. Pourtant, lajout dun pôle a leffet opposé de lajout dun zéro : il déplace le lieu vers la droite et vers la partie positive de laxe des réels.

34 Contrôleurs PI et à retard de phase (II) Contrôleurs PI 34 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Lieux des racines avec et sans intégrateur:

35 Contrôleurs PI et à retard de phase (III) Contrôleurs PI 35 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Une des façons denrayer ce problème est dajouter non seulement le pôle de lintégrateur mais en même temps un zéro. Vu quune des branches du lieu des racines se terminera dans ce zéro, le zéro doit se trouver sur la partie négative de laxe des réels. On introduit un tel zéro en utilisant un contrôleur PI, soit un contrôleur avec fonction de transfert: Soit un procédé dont la fonction de transfert en boucle ouverte est:

36 Contrôleurs PI et à retard de phase (IV) Contrôleurs PI 36 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 En utilisant un contrôleur de type I, la fonction de transfert en B.F. est:

37 Contrôleurs PI et à retard de phase (V) Contrôleurs PI 37 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Maintenant, en utilisant plutôt un contrôleur de type PI (en ajoutant ainsi un zéro dans la fonction de transfert) on obtient une fonction de transfert en boucle fermée : Ici:

38 Contrôleurs PI et à retard de phase (VI) Contrôleur à retard de phase 38 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Sil sagit simplement daugmenter la constante derreur sans augmenter le type du système, il suffit dutiliser un contrôleur retard de phase, soit de la forme suivante : On remarque que la forme est exactement la même que celle du contrôleur à avance de phase. Cependant, puisque β est plus grand que 1, le pôle sera situé à droite du zéro. Par conséquent, la phase associée à ce contrôleur sera négative, doù son nom « retard de phase » Notez que lorsque β, ce contrôleur tend vers un contrôleur PI Évidemment, il est impossible daugmenter le type du système avec un contrôleur retard de phase. Cependant, ce contrôleur permet souvent daugmenter par un facteur important la constante derreur du système et ce, sans détériorer la transitoire.

39 Contrôleurs PI et à retard de phase (VII) Contrôleur à retard de phase 39 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Angle du contrôleur à retard de phase: Considérons le même système que dans lexemple précédent, i.e.: Utilisons alors un contrôleur à retard de phase pour commander ce système, en boucle fermée on obtient:

40 Contrôleurs PI et à retard de phase (VIII) Contrôleur à retard de phase 40 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 En utilisant τ R = 2 et β = 5: Notez la ressemblance avec le contrôleur de type PI

41 Contrôleurs PI et à retard de phase (IX) Contrôleur à retard de phase 41 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Aussi, en ce qui a trait aux constantes derreur, tel que précédemment: Alors on peut augmenter les constantes derreur autant que nécessaire en utilisant un contrôleur retard de phase avec une valeur suffisamment élevée de β K R. En effet, de tels contrôleurs sont typiquement utilisés pour augmenter la constante derreur dun système sans modifier sa réponse en régime transitoire.

42 Contrôleurs PI et à retard de phase (X) Contrôleur à retard de phase : lieu des racines 42 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

43 Contrôleurs PI et à retard de phase (XI) Contrôleur à retard de phase : Effet de son zéro & pôle 43 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Une des branches du lieu des racines se terminera dans le zéro du contrôleur. Vu que ce zéro se trouve relativement proche de lorigine, il y aura un pôle du système en boucle fermée qui sera situé très près de lorigine. On sattendrait à ce que ceci ralentisse la réponse du système. Mais dans le cas du système suiveur, la fonction de transfert est donnée par: Par conséquent, le zéro du contrôleur est aussi un zéro du système suiveur. Ce zéro a tendance à annuler leffet indésirable du dit pôle sur la réponse du système suiveur.

44 Contrôleurs PI et à retard de phase (XIII) Contrôleur à retard de phase : Effet de son zéro & pôle 44 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Par contre, si une perturbation vient sajouter à la commande u, alors la fonction de transfert du système régulateur est donnée par: Le pôle qui se situe près de lorigine (dû au zéro du contrôleur) nest donc pas annulé par le zéro de C(s), car ce zéro nest pas un zéro du système régulateur! Par conséquent, ce pôle risque de ralentir la réponse du système régulateur, et de faire en sorte que des perturbations puissent venir provoquer des transitoires de longue durée. Pour cette raison, il est important de ne pas utiliser une valeur de 1/R plus petite que nécessaire. Il sagit donc de faire un compromis entre la détérioration de la réponse en régime transitoire du système suiveur dune part (détérioration due au déplacement du lieu des racines) et du système régulateur de lautre part.

45 Contrôleurs PI et à retard de phase (XII) Conception des contrôleurs à retard de phase 45 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

46 Contrôleurs PI et à retard de phase (XIII) Exemple 46 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

47 Contrôleurs PI et à retard de phase (XIV) Exemple 47 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

48 Contrôleurs PI et à retard de phase (XV) Exemple 48 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

49 Contrôleurs PI et à retard de phase (XVI) Exemple 49 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

50 Contrôleurs PI et à retard de phase (XVII) Exemple 50 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

51 Contrôleurs PI et à retard de phase (XVIII) Exemple 51 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

52 Contrôleurs PI et à retard de phase (XIX) Exemple 52 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

53 Contrôleurs PI et à retard de phase (XX) Exemple 53 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

54 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXI) Exemple 54 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

55 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXII) Exemple 55 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

56 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXIII) Exemple 56 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Les pôles pour K A * K R = 24:

57 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXIV) Exemple 57 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

58 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXV) Exemple 58 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

59 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVI) Exemple 59 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

60 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVII) Exemple 60 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

61 Les pôles pour K A * K R = 24 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVIII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Février

62 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVIX) Exemple 62 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

63 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXX) Exemple 63 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

64 64 Contrôleurs PI et à retard de phase (XXXI) Exemple

65 Contrôleur PID (I) 65 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

66 Exercices

67 Exercices (I) 67 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

68 68 Exercices (II)

69 Exercices (III) Jean-Philippe Roberge - Février

70 Jean-Philippe Roberge - Février Exercices (IV)

71 Références 71 [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh Jean-Philippe Roberge - Février 2011


Télécharger ppt "Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Contrôleurs PD & à avance de phase, contrôleurs PI & à retard de phase Enseignant: Jean-Philippe Roberge."

Présentations similaires


Annonces Google