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Le bruit en électronique Gérard Couturier Tel : 05 56 84 57 58/59 Dept GEII 15 rue Naudet CS 10207 33175 Gradignan cedex.

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1 Le bruit en électronique Gérard Couturier Tel : /59 Dept GEII 15 rue Naudet CS Gradignan cedex

2 1)Électronique pour linstrumentation : du capteur au processeur 2)Les télécommunications analogiques et numériques Le programme délectronique des Depts. GEII fait apparaître deux grands sous-ensembles Ces deux sous-ensembles sont concernés par le bruit. Le bruit limite les performances des dispositifs électroniques. La présentation est ici principalement dédiée au bruit en instrumentation avec un très bref aperçu du bruit dans les transmissions numériques. La présentation permet de passer en revue les concepts de base utiliser pour traiter le bruit en général.

3 Processeur ( P, contrôleur, DSP, FPGA, …) Interface homme- machine Numérique Analogique Numérique Analogique Processus industriel capteurs Module de puissance Programme délectronique Programme délectronique - électrotechnique Programme de Physique- électronique Programme d électronique Programme d info-industrielle Le programme dautomatique est le trait dunion entre les différents sous ensembles : « il les rend intelligents » Programme de physique domaine concerné par le bruit Bruit et instrumentation

4 1- Problème typique dinstrumentation : un capteur et un amplificateur opérationnel Problème typique dinstrumentation : un capteur et un amplificateur opérationnel 2- Quelques capteurs et circuits intégrés de linstrumentationQuelques capteurs et circuits intégrés de linstrumentation 3- Bruit des composants élémentaires : résistances et diodesBruit des composants élémentaires : résistances et diodes 4- Répartition du bruit dans le domaine des fréquences : introduction de la densité spectraleRépartition du bruit dans le domaine des fréquences : introduction de la densité spectrale 5- Bruit dans les transistorsBruit dans les transistors 6- Modélisation du bruit dans les AOPModélisation du bruit dans les AOP 7- Manipulation des densités spectrales, bande passante équivalente de bruit dun amplificateur, facteur de bruit dun amplificateur, facteur de bruit dune chaîne damplificateurs, température équivalente de bruitManipulation des densités spectrales, bande passante équivalente de bruit dun amplificateur, facteur de bruit dun amplificateur, facteur de bruit dune chaîne damplificateurs, température équivalente de bruit 8- Bruit en sortie des montages non inverseur et inverseurBruit en sortie des montages non inverseur et inverseur PLAN

5 9- Etude de cas : laccéléromètre et son conditionementEtude de cas : laccéléromètre et son conditionement 10- Transmission numérique et bruit : un bref aperçuTransmission numérique et bruit : un bref aperçu 11- Détection synchroneDétection synchrone Complément 1 : Fonctions de corrélation : auto corrélation et inter corrélation Complément 2 : Densité spectrale en sortie des montages non-inverseur et inverseur Complément 3 : Valeur crête dun bruit Gaussien et crest factor Bibliographie Prérequis : Théorèmes de Norton et Thévenin, valeur efficace dun signal, série de Fourier, calcul intégral, notions de probabilité et statistique PLAN (suite)

6 1- Problème typique dinstrumentation : un capteur et un amplificateur opérationnel

7 Problème typique dinstrumentation Un capteur transforme une grandeur physique en une grandeur électrique, le traitement numérique de la grandeur physique nécessite généralement un conditionnement dont le rôle est de rendre compatible les niveaux de sortie du capteur avec la pleine échelle du convertisseur analogique numérique. Le capteur choisi pour illustrer lexposé est ici un accéléromètre. pleine échelle du CAN plage du capteur V cmax V cmin V FS 0 Capteur N bits S/H Horloge CAN + _ conditionnement VsVs A

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9 Laccéléromètre ADXL103 est un capteur capacitif masse raideur accélération électrode mobile point dancrage électrode immobile Quand laccélération est nulle, lélectrode mobile est au milieu des électrodes immobiles : d 2 =d 1. d1d1 d2d2 d2d2 d1d1 Quand laccélération est différente de zéro, lélectrode mobile est déplacée soit vers la gauche soit vers la droite suivant le sens de laccélération : d 2 d 1.

10 Sialorset Électronique du capteur accéléromètre masse raideur accélération avec : E1E1 C1C1 C2C2 RVsVs multiplieur V out Filtre passe bas Fréquence coupure F c

11 Plage de mesure + résolution nombre de bits N 1) On choisit une résolution (exemple : mesurer une accélération à 0,01g près). La plage de mesure (exemple : de –1g à 1g) et la résolution fixent le nombre de bits N du convertisseur analogique numérique, (N=8). Plage de mesure + sensibilité capteur + pleine échelle CAN conditionnement 2) La plage de mesure, la sensibilité du capteur (exemple : 1V/g) et la pleine échelle du convertisseur analogique numérique permettent de dimensionner le conditionnement. Méthodologie

12 Le conditionnement Réalisation du conditionnement Dans la démarche précédente, nous avons oublié que nous vivons à la température de 300K et que les capteurs et amplificateurs sont des sources de bruit ! + _ R2R2 R1R1 V ref VcVc AOP + _ conditionnement VcVc VsVs A Une réalisation possible

13 Le signal de sortie du capteur fluctue dans le temps. Les fluctuations ont deux origines : 1) mécanique, lélectrode mobile vibre* et 2) électronique. *valeur quadratique moyenne des fluctuations : : constante de Boltzmann, : Température ambiante

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15 Le signal V s à lentrée du CAN est bruité, le bruit provient du capteur et de lamplificateur réalisant le conditionnement. Question : le nombre de bits imposé par la résolution est-il compatible avec le bruit du signal ? Si la tension de bruit est plus grande que le quantum le CAN est sur dimensionné. Conclusion : il faut se familiariser avec les données constructeurs pour être en mesure dévaluer lordre de grandeur du bruit. 1 quantum t VsVs 2,5V Signal V s pour une accélération nulle V FS =5 V ? La tension de bruit est-elle inférieure ou supérieure au quantum ?

16 2- Quelques capteurs et circuits intégrés de linstrumentation Capteur de température : AD590 Capteur de champ magnétique : AD22151 Photodiode et amplificateur intégré : OPT30 Amplificateur dinstrumentation : INA101 Multiplieur : AD534

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22 3- Bruit des composants élémentaires : résistances et diodes

23 Bruit thermique (bruit Johnson) des résistances Origine physique : Dans la limite T a 0 les atomes sont immobiles. A la température ambiante (T a =300K), les atomes vibrent autour de leurs positions déquilibre. La vibration des atomes entraîne une fluctuation spatiale de la densité électronique générant ainsi une fluctuation de tension. t e T a =300K e R Résistance avec bruit e R résistance sans bruit source de bruit en tension t e R u Quand T a 0K, le bruit disparaît

24 On peut supprimer les parasites électromagnétiques mais pas le bruit. Cage de Faraday moteur e T a =300K R t e e R moteur t e parasites

25 Bruit de grenaille (shot noise) dune diode à jonction polarisée en directe t I I I moy source de bruit en courant diode avec bruit diode sans bruit I I moy i i t Origine physique : Le bruit de grenaille est dû à la fluctuation dans le temps du flux de porteurs passant dun coté à lautre de la jonction (I=dQ/dt). Le courant est à limage du peloton du tour de France : le nombre de coureurs passant, par seconde, devant un observateur immobile fluctue dans le temps.

26 4- Répartition du bruit dans le domaine des fréquences : introduction de la densité spectrale

27 Dans le cas des signaux périodiques non sinusoïdaux, les coefficients de la série de Fourier renseignent sur la répartition de la puissance dans le domaine des fréquences. Question : comment obtenir une information sur la répartition en fréquence dun bruit, encore appelé signal aléatoire ? Problème : le bruit nest pas périodique et on ne dispose pas dune expression analytique dans le domaine temporel. Intuitivement, la valeur moyenne dun bruit est nulle, par contre le carré de la valeur moyenne est différent de zéro. e T a =300K t e R t e2e2

28 La valeur quadratique moyenne, encore notée e 2, est une information intéressante mais ne renseigne pas sur la répartition du bruit dans le domaine des fréquences. On peut par contre chercher la répartition de la valeur quadratique dans le domaine des fréquences. Pour cela il suffit de sinspirer de lexpérience suivante, faite sur des signaux classiques. e T a =300K t e R t e2e2

29 Rappel sur la notion de valeur efficace et quadratique moyenne Conclusion : Les 3 sources ont même valeur efficace car elles produisent la même puissance dans la charge R. R e(t) i(t) tt R e(t) T i(t) e(t) R t T/2 i(t) Bessel-Parseval

30 domaine temporel domaine fréquentiel f f s0s0 s1s1 [en V] s1s1 f s2s2 s3s3 s4s4 1/T t t t [en V] Les 3 sources ont effectivement la même valeur quadratique moyenne (carré de la valeur efficace) et pourtant la répartition de la puissance dans le domaine des fréquences est très différente dans les 3 cas. La répartition en puissance dépend de la distribution du signal e(t) dans le domaine des fréquences. La décomposition en série de Fourier de e(t) renseigne sur la distribution : Avec =2 /T, s n et n sont respectivement lamplitude et la phase de lharmonique de rang n.

31 La valeur quadratique moyenne dun signal peut sécrire soit dans le domaine temporel soit encore dans le domaine fréquentiel : La puissance dissipée dans la résistance R se met sous la forme : La quantité est la val. quad. moy. de lharmonique de rang n, est la valeur efficace.

32 Question : Comment accéder aux val. quad. moy. ? Réponse : en mesurant la val. quad. moy en sortie dun filtre passe-bande de fréquence centrale variable. n/T 1 df Mesure de la valeur quadratique fréquence filtre passe-bande t T/2 e(t) f 1/T Val. quad. moy. des harmoniques [en V 2 ]

33 Quand on remplace le signal périodique, de période T, par un bruit électronique non périodique, cest à dire de période, lécart entre deux raies tend vers zéro et le signal de sortie du mesureur de val. quad. moy. devient un signal continu en fonction de la fréquence. t t x 10 f Val. quad. moy. ds. une plage df source de bruit Mesure de la valeur quadratique f df fréquence filtre passe-bande 1

34 On écrit que la valeur quadratique moyenne de bruit mesurée en sortie est proportionnelle à : 1) la largeur de bande df et 2) une grandeur appelée densité spectrale : Si la source de bruit est un générateur de courant, cas de la diode, la densité spectrale sexprime en [A 2 /Hz]. Val. quad. moy. de bruit dans une plage df située en f = e(f) df [V 2 ] [V 2 /Hz] [Hz] Les unités La densité spectrale e(f) dune source de bruit est donc la valeur quadratique moyenne de bruit par unité de fréquence, cest à dire pour une largeur de bande 1 Hertz.

35 Densités spectrales des résistances et diodes (sans démonstration à ce niveau détude) NB : En toute rigueur, les densités spectrales e(f) et i(f) ne sont pas constantes, elles diminuent aux fréquences très élevées. R résistance sans bruit à la température T a source de bruit en tension densité spectrale e(f)=4k B T a R k B =1,38 x JK -1 : constante de Boltzmann, T a en Kelvin et R en f e(f) I source de bruit en courant I moy densité spectrale i(f)=2qI moy diode sans bruit f i(f)

36 5- Bruit dans les transistors

37 Bruit dans les transistors Transistors = diodes + résistances daccès sources de bruit Un transistor cest au minimum 2 diodes et trois résistances daccès, en conséquence il nest pas envisageable, pour obtenir le bruit en sortie dun transistor de le calculer à partir des densités spectrales de chaque source. En pratique, on adopte une méthode similaire à celle utilisée pour traiter par exemple loffset dun AOP AOP avec offset Loffset est rejeté à lentrée de lAOP AOP sans offset Tension doffset + _ + _

38 t Avec un court-circuit à lentrée, on observe du bruit en sortie transistor t Avec un circuit ouvert à lentrée, on observe du bruit en sortie transistor Question : combien de sources de bruit pour représenter le bruit dun transistor ? Bruit dans les transistors

39 Un générateur de bruit en tension permet dexpliquer le bruit de sortie Un générateur de bruit en courant permet dexpliquer le bruit de sortie Transistor idéal Transistor réel Transistor idéal Transistor réel Conclusion : 2 générateurs de bruit, un de tension et un de courant, de densité spectrale e n (f) et i n (f), sont nécessaires pour modéliser le bruit dun transistor. Transistor idéal Transistor réel e n (f) i n (f) Bruit dans les transistors

40 Attention : les unités verticales (nV et pA) et linformation BANDWIDTH=1.0Hz nous disent que les graphes donnent les racines carrées des densités spectrales e n (f) et i n (f). Exemple : I c =1mA, f=100Hz e n 2 x V 2 /Hz et i n 11 x A 2 /Hz Bruit dans les transistors

41 Remarque : Les graphes de e n et i n en fonction de la fréquence mettent en évidence une remontée de bruit aux basses fréquences. Le bruit thermique des résistances et le bruit de grenaille (shot noise) ont des densités spectrales indépendantes de la fréquence, en conséquence, ils ne peuvent donc expliquer à eux seuls la dépendance en fréquence des sources e n et i n. Il existe effectivement dautres sources de bruit en particulier le flicker noise dont la densité spectrale varie à peu près comme linverse de la fréquence. Ce bruit est souvent appelé bruit en 1/f. Bruit dans les transistors

42 6- Modélisation du bruit dans les AOP

43 Modélisation du bruit dans les AOP Le bruit des AOP est modélisé par trois générateurs de bruit : deux de courant, de densités spectrales i nn (f) et i np (f) dus à la paire différentielle dentrée, et un de tension de densité spectrale e n (f). -V EE V CC _ + Entrée dun AOP JFET (ex : TL081) Paire différentielle dentrée _ e n (f) i nn (f) i np (f) + + _ Modélisation du bruit dans un AOP AOP sans bruit NB : i nn (f) i np (f)=i n (f)

44 Modélisation du bruit dans les AOP Bruit en 1/f Attention : le graphe donne les racines carrées des densités spectrales e n (f) et i n (f) et non les densités spectrales. Exemple : f=100Hz e n 9 x V 2 /Hz et i n 8 x A 2 /Hz

45 Montage non-inverseur A d = gain mode différence R1R1 R2R2 AOP vsvs R3R3 signal R2R2 R1R1 4k B T a R 1 R3R3 4k B T a R 3 + _ i n (f) e n (f) v s (f) 4k B T a R 2 Sources de bruit du montage non-inverseur Gain aux basses fréquences : Modélisation du bruit Bruit en sortie dun montage non-inverseur Question : quelle est la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateur ?

46 Modélisation du bruit Bruit en sortie dun montage inverseur R2R2 Montage inverseur R1R1 AOP vsvs A d = gain mode différence signal Gain aux basses fréquences : R3R3 v s (f) R2R2 R1R1 4k B T a R 1 R3R3 4k B T a R 3 + _ i n (f) e n (f) 4k B T a R 2 Sources de bruit du montage inverseur Remarque : la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateur est identique à celle du montage non-inverseur.

47 Le fait que les densités spectrales de bruit des composants électroniques ne sont pas constantes en fonction de la fréquence complique quelque peu le calcul de la valeur efficace de bruit en sortie dun composant, heureusement nous disposons aujourdhui doutils logiciels capables de faire ces calculs. Avant dutiliser ces outils, il est bon cependant de sêtre initier au calcul en utilisant les datasheets des constructeurs et …un crayon. Avant de se lancer dans un tel calcul il faut apprendre à manipuler les densités spectrales, cest que nous faisons maintenant. Nous en profitons aussi pour introduire : la bande passante équivalente de bruit, le facteur de bruit dun amplificateur, le facteur de bruit dune chaîne damplificateurs et la température équivalente de bruit dun amplificateur. Modélisation du bruit dans les AOP

48 7- Manipulation des densités spectrales Bande passante équivalente de bruit dun amplificateur Facteur de bruit dun amplificateur Facteur de bruit dune chaîne damplificateurs Température équivalente de bruit

49 Manipulation des densités spectrales : exemple n°1 Nous avons appris à manipuler les générateurs de tension et de courant, maintenant il nous faut apprendre à manipuler les densités spectrales. Pour aborder simplement ce problème prenons le cas de deux sources de bruit en tension et montées en série dont les densités spectrales sont respectivement e 1 (f) et e 2 (f) et cherchons la densité spectrale équivalente e eq (f) e 1 (f) e 2 (f) e eq (f)=?

50 e 1 (t) e 2 (t) e eq (t)= e 1 (t)+e 2 (t) Pour résoudre ce problème, on introduit momentanément deux générateurs de tension e 1 (t) et e 2 (t) dont les densités spectrales sont égales à e 1 (f) et e 2 (f). Nous ne disposons pas bien entendu dexpression analytique pour e 1 (t) et e 2 (t), ce sont juste des intermédiaires de calcul qui disparaîtront dans le résultat final. Calculons la val. quad. moy. de bruit de la source équivalente : Manipulation des densités spectrales : exemple n°1

51 Des égalités : On tire : Lintégrale nous renseigne sur la corrélation des sources de bruit e 1 (t) et e 2 (t). Pour comprendre ce quest la corrélation, mettons par exemple deux résistances en série. Le bruit est, comme nous lavons déjà dit, dû aux fluctuations spatiales de la densité électronique, dire que les sources sont corrélées revient à dire quelles se connaissent. Faisons lhypothèse, non raisonnable, que les fluctuations sont les mêmes dans les deux résistances, il sensuit que e 1 (t) = e 2 (t) et donc e 1 (f) = e 2 (f). Manipulation des densités spectrales : exemple n°1

52 Dans ce cas : et Dans la réalité, les déplacements des électrons dans les deux résistances sont totalement indépendant, autrement dit les deux sources de bruit ne sont pas corrélées et lintégrale est nulle. Dans le cas où les sources de bruit ne sont pas corrélées, ce qui sera toujours supposé vraie par la suite, les densités spectrales sajoutent. e 1 (f) e 2 (f) e eq (f)=e 1 f() + e 2 (f) Pour en savoir plus, voir complément 1 (cliquez ici) Manipulation des densités spectrales : exemple n°1

53 e eq (f)=? RsRs e n (f) 4kTR s i n (f) RsRs Dans un premier temps on introduit 3 générateurs, 2 de tension e(t) et e n (t) et un de courant i n (t) dont les densités spectrales sont égales à 4k B TR s, e n (f) et i n (f) e n (t) e(t) i n (t) RsRs Manipulation des densités spectrales : exemple n°2 Intéressons nous maintenant au cas de deux sources de tension et dune source de courant, cest un cas très fréquemment rencontré.

54 Si les 3 sources e, e n et i n ne sont pas corrélées :

55 Remarque : valeurs quadratiques et signaux déterministes e 1 (t)=Ecos( t) Val. quad. E 2 /2 e 2 (t)=Ecos( t) Val. quad. E 2 /2 e eq (t)= 2Ecos( t) Val. quad. 2E 2 Val. quad. E 2 e eq (t)= Ecos( t)+Ecos(2 t) e 1 (t)=Ecos( t) Val. quad. E 2 /2 e 2 (t)=Ecos(2 t) Val. quad. E 2 /2 Comme pour les sources de bruit, la val. quad. dun signal déterministe nest pas toujours la somme des val. quad. Les deux signaux e 1 (t) et e 2 (t) sont indépendant, la val. quad. de e eq (t) est la somme des val. quad. Les deux signaux e 1 (t) et e 2 (t) ne sont pas indépendant, la val. quad. de e eq (t) est différente de la somme des val. quad.

56 Bande passante équivalente de bruit dun amplificateur Un amplificateur, supposé sans bruit, de gain en tension G(f) est attaqué par un générateur de bruit de densité spectrale e(f). Question : quelle est la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateur ? amplificateur e(f) f G(f) e(f) f df Val. eff. de la source de bruit dans une plage df : Val. eff. en sortie de lampli. dans une plage df : Val. quad. moy. en sortie de lampli. dans une plage df : Val. quad. moy. en sortie de lampli. :

57 Bande passante équivalente de bruit dun amplificateur Dans le cas où la densité spectrale est indépendante de la fréquence, e(f)=e f, cest le cas par exemple dune résistance, la val. quad. moy. de bruit sécrit : Lintégrale, zone hachurée rouge, est encore égale à la zone hachurée noire :, où G m et B ENBW sont le gain aux basses fréquences et la Bande Passante Équivalente de Bruit (Equivalent Noise BandWidth) GmGm f efef G(f) f GmGm 2 2 B ENBW

58 La bande passante équivalente de bruit B ENBW est reliée à la bande passante à –3dB Passe-bas du 1 er ordre de fréquence de coupure f -3dB à –3dB et doù : B ENBW = ( /2)f -3dB Passe-bande de fréquence centrale f 0 et de coef. de surtension Q et doù : B ENBW = ( /2)(f 0 /Q) Bande passante équivalente de bruit dun amplificateur

59 Facteur de bruit dun amplificateur Un amplificateur génère du bruit, en conséquence, la val. quad. moy. de bruit est supérieure à. Étudions le cas très fréquemment rencontré dun amplificateur de gain G m aux basses fréquences et de bande passante équivalente de bruit B ENBW attaqué par un générateur de résistance de source R s. e f = 4k B T a R s RsRs Amplificateur (G m, B ENBW ) Si lamplificateur était sans bruit, la val. quad. moy. de bruit en sortie sécrirait : Pour caractériser le bruit de lamplificateur on introduit le facteur de bruit (NF en anglais pour Noise Figure), dont la définition est la suivante : ; NF>0dB

60 Facteur de bruit dun amplificateur : exemple On écrit le rapport Signal/Bruit : On trouve E 18,2mV. Avec une telle tension dentrée, la sortie sera distordue ! Conclusion : il faut réduire la bande et chercher un ampli. avec NF plus petit. Quelle doit être la valeur crête E du signal dentrée dun amplificateur caractérisé par G m =100, B ENBW =10kHz et NF=10dB pour obtenir en sortie un rapport Signal/Bruit de 80 dB par exemple. La résistance de source R s du générateur est égale à 1k et est à la température T a =300K. Amplificateur (G m = 100, B ENBW = 10kHz, NF = 10 dB) f Signal : Ecos( 0 t) RsRs 4k B T a R s G(f) f0f0

61 Facteur de bruit dun amplificateur : autre définition On donne souvent comme autre définition du facteur de bruit NF dun amplificateur, la définition suivante : Soit : Après simplification, on retrouve bien :

62 On va montrer que, dans une chaîne damplificateurs, le facteur de bruit équivalent de la chaîne est grosso modo égal au facteur de bruit du premier amplificateur, doù lintérêt davoir un premier amplificateur performant. La démonstration se fait pour une largeur de bande de 1 Hz. Facteur de bruit dune chaîne damplificateurs RsRs 4k B T a R s Cherchons dans un premier temps à exprimer le bruit apporté par un amplificateur. Rappel : Le bruit apporté par lamplificateur est donc la différence, soit :

63 RsRs RsRs RsRs RsRs G1G1 NF 1 RsRs G2G2 NF 2 RsRs RsRs G3G3 NF 3 Soit une chaîne de trois amplificateurs de gain en tension G 1, G 2 et G 3, et de facteurs de bruit NF 1, NF 2 et NF 3 (en dB). Les amplificateurs sont adaptés, cest à dire que les résistances de sortie et dentrée sont toutes égales à la résistance R s de la source. RsRs RsRs G1G2G3G1G2G3 NF eq RsRs 4 On cherche le facteur de bruit NF eq équivalent à la chaîne des trois amplificateurs. Facteur de bruit dune chaîne damplificateurs

64 Val. quad. moy. de bruit en sortie du deuxième amplificateur : Val. quad. moy. de bruit en sortie du premier amplificateur : Val. quad. moy. de bruit apporté par le premier amplificateur : Val. quad. moy. de bruit en sortie du troisième amplificateur : (1)

65 Facteur de bruit dune chaîne damplificateurs sont les gains en puissance du premier La comparaison des relations (1) et (2) donne : et et deuxième étage. Val. quad. moy. de bruit en sortie de lamplificateur équivalent : (2)

66 Facteur de bruit dune chaîne damplificateurs On obtient finalement la relation : Dans le cas où G P1 et G P2,.. >>1, on peut écrire en première approximation que : Soit encore : En conclusion, le facteur de bruit équivalent à une chaîne damplificateurs est approximativement égal au facteur de bruit du premier amplificateur, doù limportance de choisir un premier amplificateur faible bruit.

67 Facteur de bruit et température équivalente de bruit RsRs 4k B T a R s Amplificateur (G m, B ENBW, NF) Val. quad. moy de bruit en sortie dun ampli. de facteur de bruit NF>0dB et attaqué par une résistance R s à la température ambiante T a. 4k B T eq R s Amplificateur (G m, B ENBW, NF=0dB) RsRs On obtient la même valeur en prenant NF = 0dB et une température équivalente de bruit T eq de la résistance égale à : Exemple : T a =300K, NF = 10 dB, T eq =3000K

68 8- Bruit en sortie des montages non inverseur et inverseur

69 Valeur efficace de bruit en sortie des montages non-inverseur et inverseur R2R2 R1R1 4k B T a R 1 R3R3 4k B T a R 3 + _ i n (f) e n (f) v s (f) 4k B T a R 2 Sources de bruit des montages non-inverseur et inverseur On rappelle ci-dessous le schéma électrique pour calculer la valeur efficace de bruit en sortie dun montage non-inverseur ou inverseur.

70 Une estimation de la valeur quad. moy de bruit en sortie, ou de la val. efficace, est obtenue en procédant ainsi : 2- on intègre sur la bande passante de lamplificateur, celle-ci dépend du gain en boucle ouverte de lAOP et des résistances R 1 et R 2. Pour en savoir plus, voir complément 2 (cliquez ici) 1 – en appliquant les règles daddition des densités spectrales, on calcule la densité spectrale v s (f) de bruit en sortie du montage : avec : et Valeur efficace de bruit en sortie des montages non-inverseur et inverseur

71 Pour obtenir un gain G m =(1+R 2 /R 1 )=1000 par exemple, on prend R 2 =1M, R 1 =1k, prenons R 3 =R 1 //R 2 =1k Compte tenu des ordres de grandeur, on peut négliger leffet du courant de bruit i n (f), cest généralement le cas avec les AOP à entrée JFET ou MOSFET, à condition que la résistance de source R s ne soit pas trop élevée. On obtient donc en première approximation : avec R s =2k Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227 Flicker noise Gain = 1000 Fc=Fc= efef 8kHz

72 Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227 Question : est-ce bien raisonnable de poursuivre lintégration jusquà f 0 ? Autrement dit le continu existe t-il ? La densité spectrale e n (f) varie comme K/f du continu à F c 10Hz (corner frequency), elle est constante et égale à e f V 2 /Hz pour F>F c. Daprès le graphe de e n (f), doù K = 4 x V 2. La bande passante F h à –3dB du montage est voisine de 8kHz, en conséquence, la val. quad. moy. de bruit en sortie du montage est approximativement donnée par : Remarque : lintégrale du flicker noise en K/f diverge !

73 Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227 En pratique, pour des fréquences plus basses que 0,1Hz, il y a probablement dautres effets, comme la température par exemple, susceptibles de faire changer la tension dans le circuit. En pratique, si un montage fonctionne pendant une heure la fréquence la plus basse correspond à 1/3600 2,7 x Hz et la val. quad. moy. de bruit est égale à : Le même calcul effectué sur une durée de 1 an (soit une fréquence de 3,17 x Hz) conduit à : Le résultat est du même ordre de grandeur

74 En prenant comme limite la plus basse de lintégrale la fréquence de 0,1Hz, on obtient : Il est intéressant de comparer cette valeur à celle donnée par une simulation utilisant les modèles SPICE. A cet effet on peut utiliser par exemple le logiciel gratuit TINA-TI de la société Texas Instruments (www.ti.com) Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227 La val. quad. moy. de bruit en sortie de lamplificateur est donc égale : La contribution du flicker noise est quasiment négligeable. La val. efficace de bruit est donc finalement égale à :

75 Par simulation, la val. eff. de bruit est voisine de 735 V. Résultat de simulation : montage non-inverseur avec AOP V

76 Pour obtenir un gain G m =-R 2 /R 1 =-1000 par exemple, on prend R 2 =1M, et R 1 =R 3 =1k. Comme pour le montage non inverseur, on peut négliger leffet du courant de bruit i n (f). On obtient donc en première approximation : avec R s =2k Autre exemple : montage inverseur avec AOP 227 Flicker noise C1=200pF Fc=Fc= efef 800Hz

77 Montage inverseur avec AOP 227 : influence de la bande passante C1=0, bande passante F h 8kHz, val. eff. de bruit 735 V C1=200pF, bande passante F h1 800Hz, val. eff. de bruit 232 V, Le calcul donne : 735 V 232 V C1=200pF C1=0

78 9- Etude de cas : laccéléromètre et son conditionnement

79 Laccéléromètre et son conditionnement Cahier des charges : mesurer des accélérations comprises entre –1g et +1g et conditionner le signal pour un CAN unipolaire de pleine échelle V FS =5V pleine échelle du CAN -1g 1,5V V FS =5V plage du capteur 0V +1g 3,5V 0g 2,5V 0V Caractéristiques techniques de laccéléromètre

80 V ref 2,5V R1 R1 1k R2 R2 1,5k R4 R4 47k R3 R3 15k C1 C1 56nF C2 C2 82nF Cx Cx 100nF V ref 2,5V R1 R1 1k R2 R2 1,5k R4 R4 47k R3 R3 15k C1 C1 5,6nF C2 C2 8,2nF Cx Cx 10nF Composants pour une bande passante B P = 50Hz Composants pour une bande passante B P = 500Hz VcVc R1R1 R2R2 V ref OP227 _ + C1C1 C2C2 R4R4 R3R3 accéléromètre Laccéléromètre et son conditionnement

81 Comment simuler le bruit de laccéléromètre ADXL103 ? daprès la caractéristique technique la densité spectrale de bruit est égale à : (110x10 -6 ) 2 g 2 /Hz. La sensibilité de laccéléromètre est égale à 1V/g, en conséquence, la densité spectrale, exprimée en V 2 /Hz, est égale à : (110x10 -6 ) 2 V 2 /Hz. Pour évaluer le bruit par simulation, il suffit de ramener le bruit sur la résistance R FILT =32k et décrire que cette résistance se trouve à une température T eq telle que : Soit : R FILT =32k X out 4k B T eq R FILT Source de bruit équivalente de laccéléromètre ADXL103

82 1,7mV 2,3mV B P =500Hz B P =50Hz Laccéléromètre et son conditionnement : résultat de simulation Avec une bande passante de 50Hz, la valeur efficace de bruit est égale à 1,7mV, elle devient égale à 2,3mV pour 500Hz. Laccéléromètre est la principale source de bruit, le bruit de linstrumentation est ici quasiment négligeable.

83 Laccéléromètre et son conditionnement :choix du nombre de bits du CAN La valeur efficace de bruit est une bonne indication pour évaluer le nombre N de bits du CAN de pleine échelle V FS =5V. En première approximation N doit vérifier linégalité : En prenant comme critère que la valeur eff. de bruit doit être inférieure au 1/10 dun quantum, on obtient : soit N=8 bits Un autre indicateur plus pertinent pour le calcul de N est la valeur crête à crête du bruit. Question : comment estimer la valeur crête à crête dun bruit ?

84 Laccéléromètre et son conditionnement : choix du nombre de bits du CAN Faisons lhypothèse raisonnable que le bruit en sortie de lamplificateur a une densité de probabilité p(u) Gaussienne, u est la valeur de la tension de bruit : Où m et sont respectivement la valeur moyenne et la valeur quadratique moyenne, pour une bande passante de 50Hz. En pratique la valeur moyenne m est égale à zéro.

85 Laccéléromètre et son conditionnement : choix du nombre de bits du CAN Pour un bruit Gaussien, on montre quavec un crest factor CF= 3,3, la tension de bruit est 99,9% du temps dans lintervalle [-valeur crête=-3,3, valeur crête=3,3 ]. En toute rigueur la tension u peut aller de moins linfini jusquà plus linfini, mais avec une probabilité évidemment extrêmement faible. Dun point de vue pratique, on définit une valeur crête à crête comme étant 2x3,3=6,6 fois la valeur efficace de bruit (Industry-standard crest factor [CF]=3,3). Le crest facteur est le rapport de la valeur crête sur la valeur efficace, pour un signal sinusoïdal par exemple le crest facteur est égal à. Si, pour calculer le nombre N de bits du CAN, on impose comme critère : on obtient : N=5,47 Pour en savoir plus, voir complément 3 (cliquez ici)

86 10- Transmission numérique et bruit : un bref aperçu

87 Transmission numérique et bruit Le bruit est au cœur des transmissions, ici on ne sintéresse quaux transmissions en bande de base sans porteuse. On cherche donc à transmettre une suite détats logiques 0 et 1 avec un débit 1/T (en bits/s) où T est la durée minimale dun état. Aux états 0 est associée une tension –A, aux états 1 est associée une tension A. Le récepteur, muni dune horloge de période T, doit prendre une décision sur un signal bruité : si le signal prélevé à linstant nT est >0 alors il sagit dun état 1, dans le cas contraire il sagit dun état 0. Question : Quel est le taux derreur pour un rapport Signal/Bruit donné ? Canal de transmission Emetteur + + bruit Récepteur sans bruit (prise de décision) A -A T Modélisation dune chaîne de transmission numérique

88 Transmission numérique et bruit Signal émis Signal récupéré, deux erreurs notées 1 et 2 Signal avant prise de décision, en vert les tops de lhorloge de réception 1 2 -A A

89 Transmission numérique et bruit Hypothèse : le bruit est de type Gaussien, sa valeur quadratique moyenne est notée 2. Soient P 0 et P 1 les probabilités démettre un état 0 et un état 1, la probabilité derreur P e sécrit : = Prob. de récupérer un état 1 quand un état 0 a été émis = Prob. de récupérer un état 0 quand un état 1 a été émis

90 Transmission numérique et bruit Les densités de probabilité de bruit p 1 (u) et p 0 (u) sont centrées respectivement autour des valeurs A et -A A -A p 1 (u) p 0 (u)

91 On fait lhypothèse que la probabilité P 0 démettre un état 0 est égale à la probabilité P 1 démettre un état 1 : P 0 = P 1 =1/2. Transmission numérique et bruit De la même manière : Où la fonction erf est définie comme suit :

92 Transmission numérique et bruit Finalement : En introduisant la fonction erfc : Le rapport A/ représente le rapport Signal/Bruit à lentre du récepteur En utilisant la propriété des fonctions erf : On obtient :

93 Transmission numérique et bruit 20log 10 (A/ ) Log 10 (P e ) Exemple : un rapport Signal/Bruit de 20dB génère une probabilité derreur P e 3 x 10 -3, autrement dit sur 300 états reçus, un état est probablement faux.

94 11- Détection synchrone

95 Détection synchrone La détection synchrone permet dextraire un signal de fréquence connue noyé dans le bruit. f densité spectrale e(f) f0f0 A df Filtre passe-bande La première méthode qui vient à lesprit pour extraire lamplitude A dun signal Acos( 0 t) noyé dans un bruit de densité spectrale e(f) consiste à utiliser un filtre passe-bande de largueur df aussi étroite que possible. On fait lhypothèse raisonnable que la densité spectrale e(f) est quasi constante sur la largueur df. En sortie du filtre de gain supposé égal à lunité, le rapport Signal/Bruit sécrit :

96 Le rapport Signal/Bruit est dautant plus grand que la largeur de bande df est faible. Dun point de vue pratique il est difficile de réaliser un filtre passe-bande avec df très faible, en effet pour obtenir df très faible il faut un coefficient de surtension Q très élevé (df=f 0 /Q). Si par ailleurs la fréquence f 0 du signal vient à changer, il faut déplacer la fréquence centrale du filtre passe-bande. En pratique, il est difficile de réaliser un filtre passe-bande étroit avec une fréquence centrale ajustable. Une alternative à cette difficulté consiste à transposer le signal à la fréquence zéro et utiliser alors un filtre passe-bas de faible largeur de bande. Détection synchrone Pour transposer le signal de fréquence f 0 à la fréquence zéro, cest à dire en continu, il suffit de multiplier le signal Acos( 0 t) par le signal de référence de fréquence f 0.

97 Multiplieur de constante 1V -1 Filtre passe- bas Voie référence Bos( 0 t) Voie signal Acos( 0 t)+bruit Détection synchrone AB/2 f 2f 0 e(f 0 )B 2 /4 AB/2 FcFc densité spectrale de bruit filtre Rapport Signal/Bruit en sortie du filtre passe-bas

98 Détection synchrone Il est intéressant de comparer la détection synchrone avec le filtrage passe- bande, que gagne t-on ? Il ny pas a priori de limite sur la bande F c du filtre passe-bas comme il y en a sur la bande df du passe-bande. Dun point de vue mathématiques si F c 0, le gain est infini, mais ne rêvons pas si F c 0, le résultat est obtenu au bout dun temps infini …. Le choix de F c résulte dun compromis entre le rapport Signal/Bruit acceptable et le temps de réponse. F c =10HzF c =1Hz

99 Complément 1 Fonctions de corrélation : auto corrélation et inter corrélation

100 Fonction dauto corrélation Le signal x(t) ci-dessous prend la même valeur A aux instants t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6, t 7, t 8, t 9, t 10, etc... Question : les valeurs aux instants t 1 + t, t 2 + t, t 3 + t, t 4 + t, t 5 + t, t 6 + t, t 7 + t, t 8 + t, t 9 + t, t 10 + t, etc sont-elles prévisibles ? Si oui le signal x(t) est dit déterministe, sinon il est dit aléatoire. 0 A t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 …… x(t)

101 Pour répondre à cette question, on introduit la fonction dauto corrélation. La fonction dauto corrélation C xx ( ) dun signal x(t) est définie comme suit : C xx ( ) est obtenue en calculant la val. moy. du signal x(t) multiplié par le signal retardé de, lopération est répétée pour les diverses valeurs de. Si les valeurs prises aux instants t 1 + t, t 2 + t, t 3 + t, t 4 + t, t 5 + t, t 6 + t, t 7 + t, t 8 + t, t 9 + t, t 10 + t, etc sont indépendantes des valeurs prises aux instants t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6, t 7, t 8, t 9, t 10, etc, alors C xx ( ) est nul partout sauf évidemment pour =0, où C xx ( ) est égale à la valeur quad. moy. du signal. Fonction dauto corrélation

102 Dans cet exemple, le signal x(t) a une fonction dauto corrélation quasiment nulle partout sauf en =0, où la fonction C xx ( )=. Le signal x(t) est un bruit blanc, blanc fait référence a la densité spectrale de x(t) qui dans ce cas particulier prend une valeur constante indépendante de la fréquence. t x(t) C xx ( ) 0 0 Fonction dauto corrélation dun bruit blanc

103 La densité spectrale x(f) du signal x(t) est la transformée de Fourier de la fonction dauto corrélation (théorème de Wiener-Khintchine sans démonstration ici). Un signal de densité spectrale constante contient donc toutes les fréquences avec la même valeur efficace. En pratique, les bruits ne sont jamais complètement blanc, la densité spectrale décroît aux hautes fréquences. Dans le cas du bruit thermique des résistances par exemple, on peut montrer que la densité spectrale, égale à 4k B T a aux basses fréquence, est divisée par 2 à la fréquence de ~10 12 Hz. Pour les montages électroniques une résistance peut donc être considérée comme une source de bruit blanc. C xx ( ) f x(f) Fonction dauto corrélation Densité spectrale 0 Fonction dauto corrélation et densité spectrale

104 Lintroduction de la transformée de Fourier introduit évidemment lapparition de fréquences négatives qui posent toujours un problème à nos étudiants, fallait pas introduire les nombres complexes ! Avec lintroduction de Fourier la densité spectrale devient complexe et est définie sur lintervalle de fréquence [-, ]. Avec Fourier la densité spectrale de bruit thermique nest plus égale à 4k B T a R mais à 2k B T a R. Pour calculer la val. quad. moy. de bruit en sortie dun amplificateur il faut alors utiliser le gain complexe de lamplificateur défini lui aussi sur lintervalle [-, ]. Transformée de Fourier et fonction dauto corrélation Val. quad. moy. de bruit NB : on retrouve le résultat obtenu sans lintroduction des complexes. La réalité est peut être compliquée mais elle nest pas complexe ! 2k B T a R s RsRs amplificateur -F c Module du gain complexe GmGm Densité spectrale f

105 t C xx ( )=(A 2 /2)/cos( ) x(t)=A cos( t) Fonction dauto corrélation dun signal périodique Dans le cas dun signal périodique, de période T, la fonction dauto corrélation est définie comme suit : Si x(t) est de la forme Acos( t) par exemple, alors C xx ( )=(A 2 /2) cos( ). Cest une fonction périodique, de même période que le signal. En effet, quand le signal est translaté de T, on retrouve le même signal.

106 Fonctions dauto corrélation et dinter corrélation Soit 3 signaux aléatoires x(t), y(t) et z(t). On cherche à savoir sil existe des relations entre eux. Pour cela on calcule les fonctions dinter corrélation C xy ( ) et C xz ( ) : et La fonction C xy ( ) nous dit que le signal y(t) est identique au signal x(t) retardé de la quantité. La fonction C xz ( ) nous dit que le signal z(t) est sans relation avec le signal x(t), il nexiste donc pas de corrélation entre ces 2 signaux. x(t) y(t) z(t) C xx ( ) C xy ( ) C xz ( ) Retour (cliquez ici)

107 Complément 2 Densité spectrale en sortie des montages non-inverseur et inverseur

108 vsvs + _ e n (t) R2R2 e 2 (t) R1R1 e 1 (t) i n1 (t) R3R3 e 3 (t) i n2 (t) Dans un premier temps on introduit 6 générateurs dépendant du temps, quatre de tension e 1 (t), e 2 (t), e 3 (t) et e n (t) et deux de courant i n1 (t) et i n2 (t) dont les densités spectrales sont respectivement égales à 4k B T a R 1, 4k B T a R 2, 4k B T a R 3, e n (f) et i n (f).

109 On écrit les expressions des val. quad. moy. dans les domaines temporel et fréquentiel : On fait lhypothèse que les sources de bruit e 1 (t), e 2 (t), e 3 (t), e n (t), i n1 (t) et i n2 (t) ne sont pas corrélées.

110 où avec : Finalement : Retour (cliquez ici)

111 Complément 3 Valeur crête dun bruit Gaussien et crest factor

112 Probabilité pour que la tension u soit inférieure à une valeur u 1 : avec :et Industry-standard crest factor [CF] = 3,3 Probabilité pour que la tension u soit comprise entre –3,3 et 3,3 : En introduisant la fonction erf, on obtient : Probabilité pour que la tension u soit comprise entre –u 1 et u 1 : car : Retour cliquez ici

113 Bibliographie Sites Web constructeurs Bonnie C. Baker, Matching the noise performance of the operational amplifier to the ADC, Analog Applications Journal, 2006, Texas Instruments James Karki, Calculating noise figure in op amps, Analog Applications Journal, 2005, Texas Instruments Ron Mancini, Op Amps for everyone, August 2002, Texas Instruments A. Glavieux et M. Joindot, Communications numériques, Introduction, Masson (1996) M. et F. Biquard, Signaux systèmes linéaires et bruit en électronique, Ellipses (1992) D. Ventre, Communications analogiques, Ellipses (1991)


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