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4.Convergence de lalgorithme du simplexe. Convergence dans le cas non dégénéré Hypothèse de non dégénérescence: toutes les variables de base sont positives.

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1 4.Convergence de lalgorithme du simplexe

2 Convergence dans le cas non dégénéré Hypothèse de non dégénérescence: toutes les variables de base sont positives à chaque itération Théorème Considérons le problème de programmation linéaire sous forme standard Sous lhypothèse de non dégénérescence, lalgorithme du simplexe se termine en un nombre fini ditérations.

3 Preuve: En supposant que la matrice A est de plein rang m, chaque solution de base réalisable doit comporter m variables de base positives (hyp. non dégénérescence). Il y a un nombre fini de façons de choisir m variables parmi n: Or les solutions de base réalisables constituent un sous ensemble de ces solutions. Donc est une borne supérieure sur le nombre de solutions de base réalisables.

4 Considérons leffet de compléter un pivot sur la valeur de la fonction économique lors dune itération du simplexe Division de ligne r par Soustraire de

5 Donc et ainsi la valeur de lobjectif décroît strictement dune itération à lautre. Par conséquent une même solution de base réalisable ne peut se répéter au cours de lapplication de lalgorithme du simplexe. Puisque le nombre de ces dernières est borné (fini), il sensuit que lalgorithme du simplexe doit être complété en un nombre fini ditérations.

6 Problème où lalgo. du simplexe cycle

7 Itération 1 Itération 2 Itération 3

8 Itération 2 Itération 3 Itération 4

9 Itération 3 Itération 4 Itération 5

10 Itération4 Itération 5 Itération 6 Itération 1

11 Illustration graphique de la dégénerescence

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