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Guerino Mazzola U & ETH Zürich Les multiperspectives du lemme de Yoneda pour comprendre la musique Alexandre Grothendieck.

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1 Guerino Mazzola U & ETH Zürich guerino@mazzola.chwww.encyclospace.org Les multiperspectives du lemme de Yoneda pour comprendre la musique Alexandre Grothendieck

2 Lemme de YonedaLemme de Yoneda Exemples dans la musiqueExemples dans la musique Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

3 Lemme de YonedaLemme de Yoneda Exemples dans la musiqueExemples dans la musique Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

4 Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie C: F: C Ens: A ~> F(A) 1 A @F = 1 A@F v: A B, u: B C u·v: A C (u·v)@F = v@F · u@F 1 A @F = 1 A@F v: A B, u: B C u·v: A C (u·v)@F = v@F · u@F A@F avec des applications de transition u@F: B@F A@F pour u: A B ayant ces propriétés: préfaisceaux = foncteurs contravariants A = adresse f A@F point de F à valeur dans A

5 Morphismes de préfaisceaux sont les transformations naturelles h: F G Propriétés: Pour toute adresse A, on a une application densembles A@h: A@F A@G de sorte quon ait le diagramme commutatif suivant pour tout morphisme u: A B dans C: Pour toute adresse A, on a une application densembles A@h: A@F A@G de sorte quon ait le diagramme commutatif suivant pour tout morphisme u: A B dans C: B@FB@GB@h A@FA@GA@h u@F u@G C @ = catégorie des préfaisceaux sur C

6 Exemple: Préfaisceaux représentables. Pour un objet X de C, on définit @X: C Ens A@X = Hom(A,X) = h X (A) Cette application X @X définit le foncteur de Yoneda: @: C C @ g: X Y A@g: A@X A@Y: u g·u @: Hom(X,Y) Hom(@X,@Y)

7 Lemme de Yoneda Le functeur @: C C @ est pleinement fidèle: @: Hom(X,Y) Hom(@X,@Y) @: Hom(X,Y) Hom(@X,@Y) En particulier, X Y si et seuelement si @X @Y Lemme de Yoneda Le functeur @: C C @ est pleinement fidèle: @: Hom(X,Y) Hom(@X,@Y) @: Hom(X,Y) Hom(@X,@Y) En particulier, X Y si et seuelement si @X @Y C@C@C@C@ @C@C@C@C @C@C@C@CCC

8 Esquisse de la preuve. Le lemme découle dun énoncé plus général: Pour tout objet X de C et pour tout préfaisceau F de C @, on a une bijection a: X@F Hom(@X, F) Pour tout f X@F et tout morphisme g:A X de C, on pose a(f)(g) = g@F(f) Son inverse est b: Hom(@X, F) X@F b: Hom(@X, F) X@F ayant pour la transformation naturelle q: @X F la valeur b(q) = X@q(Id X ) Finalement, prendre F = @Y, doù lemme de Yoneda.

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10 Euclide dAlexandrie: punctus est cuius pars nulla est Alexandre Grothendieck

11 C = Mod: Modules A,B,... = objets (adresses); Modules A,B,... = objets (adresses); morphismes (di)affines g: A B g = T b ·f morphismes (di)affines g: A B g = T b ·f f:A B (di)linéaire f:A B (di)linéaire T b : B B: x ~> b+x T b : B B: x ~> b+x g(x) = T b ·f(x) = b+f(x) g(x) = T b ·f(x) = b+f(x) A@B = T B ·Lin(A,B) A@B = T B ·Lin(A,B) A = 0 A = 0 0@B = T B ·Lin(0,B) ª B 0@B = T B ·Lin(0,B) ª B Les point zéro-adressés sont les points usuels (ensemblistes)!

12 Mod @ F: Mod > Ens préfaisceaux ont toutes ces propriétés Ens produits cartésiens X Y réunions disjointes X Y ensembles puissance X Y charactéristiques X > pas dalgèbre Mod sommes directes A B possède de lalgèbre pas densembles puissance pas de charactéristiques @ C @ est un topos!

13 Lemme de YonedaLemme de Yoneda Exemples dans la musiqueExemples dans la musique Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

14 Classes dhauteurs (demi-tons) tempérées 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ÿ 12 0 2 4 5 7 9 11 x O = { } Objet (zéro) ponctuel dEuclide Ÿ 12 ª 0@ Ÿ 12

15 A@B = T B · Lin(A,B) A = Ÿ 11, B = Ÿ 12 (R = Ÿ ) série: S Ÿ 11 @ Ÿ 12 = T Ÿ 12 · Lin( Ÿ 11, Ÿ 12 ) ª Ÿ 12 12 ª Ÿ 12 12 Ÿ 12 S

16 I IVVIIIIIVIVII

17 F T = 2 objet de vérité (booléen) pour ensembles objet ponctuel dEuclide O = { } Ÿ 12 = II accord = morphisme de Ÿ 12 dans objet de vérité FF T F F T F F F T F F

18 Lemme de YonedaLemme de Yoneda Exemples dans la musiqueExemples dans la musique Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

19 {do, (do), 2 (do),...} {do, (do), 2 (do),...} = {do, mi, sol} = triade majeure Ÿ 12 Accords circulaires do sol mi do = 0 (p) = 3p+7

20 x: Ÿ 12 Ÿ 12 z: Ÿ 12 Ÿ 12 On a un modèle de lharmonie de Hugo Riemann: tons auto-adressés x O x: O Ÿ 12 objet ponctuel dEuclide O = { } z Ÿ 12 @ Ÿ 12

21 Trans(Dt,Tc) = Trans(Dt,Tc) = f Dt triade de dominante {sol, si, re} Tc triade de tonique {do, mi, sol} Modèle de lharmonie de Riemann (Noll 1995)

22 Ÿ 12 Ÿ 3 Ÿ 4 z ~> (z mod 3, -z mod 4) 4.u+3.v <~ (u,v) 11 10 8 1 2 3 4 5 6 7 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11

23 Ÿ 12 Ÿ 12 [ ]= Ÿ 12 [X]/(X 2 ) c+. Ÿ 12 c c+.d

24 Ÿ 12 = K D disjoint, #K = #D = 6 K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11} Dichotomie consonance-dissonance = Ÿ 12 + = intervalles consonants = Ÿ 12 + = intervalles consonants D = Ÿ 12 + {1, 2, 5, 6, 10, 11} = intervalles dissonants

25 = Ÿ 12 + = consonances = Ÿ 12 + = consonances D = Ÿ 12 + {1,2,5,6,10,11} = dissonances T.2.5 b a + b

26 Ÿ 12 Ÿ 12 ƒ Ÿ [ ] Ÿ 12 [ ] ƒ ƒ Ÿ 12 Dt, Tc Dt, Tc 0 @ Ÿ 12 0 @ Ÿ 12Trans(Dt,Tc) Ÿ 12 @ Ÿ 12 changer adresse Trans(K,K ) Ÿ 12 [ ] @ Ÿ 12 [ ] 0 @ Ÿ 12 [ ] 0 @ Ÿ 12 [ ] changer adresse tons constants intervalles unisson ext. scalaires intervalles constants ƒ ƒ ( Ÿ 12 @ Ÿ 12 ) ƒ Ÿ [ ] K, D K, D

27 Ÿ 12 Ÿ 12 [ ] Ÿ 12 @ Ÿ 12 Ÿ 12 [ ] @ Ÿ 12 [ ] Trans(Dt,Tc) = Trans(K,K )| ƒ Trans(Dt,Tc) = Trans(K,K )| ƒ ƒ ƒ ch.ad ch.ad Trans(Dt,Tc) Trans(K,K ) K, D K, D

28 Birkhäuser 2002 1368 pages, hardcover incl. CD-ROM ISBN 3-7643-5731-2 English

29 B A@B = T B.Lin(A,B) A = R R@B = T B.Lin(R,B) ª B2 ª B2 ª B2 ª B2 M B M R@B

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31 I IV II VI V III VII Ruban harmonique de la gamme majeure C (3)


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