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« 1.8. La numération binaire » Les automates programmables A T Training On Line.

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1 « 1.8. La numération binaire » Les automates programmables A T Training On Line

2 2 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le système décimal Lécriture des nombres se fait à laide de 10 symboles ordonnés (ou « DIGIT » en anglais) ; ce sont les chiffres arabes : Le nombre de symboles utilisés sappelle la base du système de numération. Nous comptons en base 10, notre système est dit décimal. Lorsque le nombre dépasse 9, il faut utiliser plus dun symbole avec la règle suivante : Le digit le plus à droite a le plus faible poids (ou valeur) 10 0 = 1 cest le digit des unités Le digit suivant a un poids égal à 10 1 (=10) : les dizaines. Le digit suivant a un poids égal à 10 2 (=100) : les centaines, etc… Ainsi le nombre 1952 est lécriture en base 10 de : MILLIER CENTAINEDIZAINEUNITE millier + 9 centaines + 5 dizaines + 2 unités soit : 1 x x x x 10 0 soit : 1 x x x x 1 soit :

3 3 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le système décimal Pour représenter les nombres fractionnaires (compris entre 0 et 1), on utilise la règle suivante : On place une virgule (ou un point chez les anglo-saxons) Le digit immédiatement à droite à le poids 10 –1 (0.1 ou 1/10) Le poids suivant est 10 –2 (0.01 ou 1/100). Etc. Ainsi le nombre est lécriture en base 10 de : 1/101/1001/10001/ soit : 1 x x x soit : 1 x x x soit : Ces conventions décriture seront conservées dans les autres bases. En effet, la base 10 a été naturellement développée chez lhomme. Mais, dans certains cas, on peut préférer dautres bases (exemples : la base 12 dont il reste des traces, le système sexagésimal, …). Cest le cas en particulier des machines (automate, ordinateur) qui fonctionnent à laide de systèmes logiques à deux états, que lon code 0 et 1.

4 4 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le système binaire 1. Nombres entiers On dispose de deux symboles : 0 et 1. La base est Valeur numérique ou poids du bit Rang du bit 00000x8 + 0x4 + 0x2 + 0x1 = 0en base x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = 1en base x8 + 0x4 + 1x2 + 0x1 = 2en base x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 3en base x8 + 1x4 + 0x2 + 0x1 = 4en base x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 5en base x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1 = 6en base x8 + 1x4 + 1x2 + 1x1 = 7en base x8 + 0x4 + 0x2 + 0x1 = 8en base x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = 9en base x8 + 0x4 + 1x2 + 0x1 = 10en base x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 11en base x8 + 1x4 + 0x2 + 0x1 = 12en base x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 13en base x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1 = 14en base x8 + 1x4 + 1x2 + 1x1 = 15en base 10 Le digit binaire sappelle le BIT (Binary digit). Le bit de poids le plus faible est le LSB (Least Significant Bit). Le bit de poids le plus fort est le MSB (Most Significant Bit). Il est utile de connaître la valeur décimale des poids binaires.

5 5 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le système binaire A noter que avant 1998 : - 1 kilo-octet (ko ou Ko) = 1024 octets. - 1 méga-octet (Mo) = 1024 ko = octets. - 1 giga-octet (Go) = 230 octets = 1024 Mo = octets. Depuis 1998, et suivant la Commission électrotechnique internationale : - 1 kilooctet (ko) = 103 = octets - 1 mégaoctet (Mo) = 106 octets = Ko = octets - 1 gigaoctet (Go) = 109 octets = Mo = octets

6 6 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le système binaire 2. Les nombres fractionnaires Exemple : en base 2, représente 1 x 2 –1 + 1 x 2 –2 + 0 x 2 –3 + 1 x 2 – 4 1 x x x x = en base 10

7 7 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Les mots Les machines utilisant le système binaire acceptent un nombre donné de bits, par exemple … Ce nombre de bit détermine ce que lon appelle le format. Ces bits réunis ensemble forment un mot. Suivant le système, on parlera de mot, registre, mémoire mot, Word. En général, les mots ont donc un format bien déterminé : - un mot de 4 bits sappelle un QUARTET, - un mot de 8 bits sappelle un OCTET (ou BYTE en anglais), - un mot de 16 bits sappelle un double octet, - un mot de 32 bits sappelle un mot double.

8 8 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Les mots En général, les mots ont donc un format (nombre de bits) bien déterminé et ils leur peuvent représenter une valeur numérique maximum FormatNom (en anglais)Valeur maxi 4 bitsQuartet0 à 15 8 bitsOctet (Byte)0 à bitsMot ou double octet (Word)0 à bitsMot double (Double word)0 à

9 9 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line La conversion binaire décimale Lhomme utilisant la base 10 et la machine la base 2, il est nécessaire de pouvoir convertir lune en lautre. On fait la somme des poids correspondants aux bits à 1, le bit le plus à droite étant le bit de poids faible (LSB), de valeur 1. Exemples : = = 105 en base = = 255 en base 10

10 10 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line La conversion décimale binaire 1. Méthode de la division On divise le nombre, puis les quotients par 2, jusquà obtenir un résultat nul. Puis on écrit les restes (inférieurs à la base) de gauche à droite. Cette écriture est le résultat de la conversion. Exemple : 35 en base 10 = ? en base 2 (35) 10 = (100011) 2 Cette méthode est programmable.

11 11 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Conversion décimale binaire 2. Méthode de la soustraction On peut aussi soustraire au nombre décimal le plus gros poids binaire possible : Exemple : 35 en base 10 = ? en base = = 12 0 (35) 10 = (100011) 2

12 12 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Pourquoi toutes ces bases Lhomme à lhabitude de manipuler des nombres en base 10. La machine ne peut accepter que des nombres en base 2. Il sera donc nécessaire de convertir dune base à lautre. Pour exprimer un nombre, il faut en moyenne 3.3 fois plus de digits en binaire quen décimal. Pour exprimer des chiffres décimaux de lordre de la centaine ou plus, il faut un grand nombre de bits et la conversion devient fastidieuse. Pour rendre cette conversion plus facile et lécriture du nombre plus courte, on utilisera des codes : OCTAL - HEXADECIMAL - …

13 13 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Les nombres réels et signés Dans tout ce qui précède les nombres binaires expriment des valeurs positives et entières. Mais bien souvent ont à besoin de représenter - des nombres négatifs (donc signés) : par exemple des températures ou des résultats de calcul - des nombres réels (à virgule) : pour augmenter la précision de calcul Pour cela, il existe plusieurs solutions, nous n'étudierons que les 2 plus utilisées dans les automates programmables :nés - La méthode du complément à 2 pour représenter les nombres entiers signés, - La méthode de la virgule flottant pour les nombres réels.

14 14 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le binaire signé A noter que avant 1998 : - 1 kilo-octet (ko ou Ko) = 1024 octets. - 1 méga-octet (Mo) = 1024 ko = octets. - 1 giga-octet (Go) = 230 octets = 1024 Mo = octets. Depuis 1998, et suivant la Commission électrotechnique internationale : - 1 kilooctet (ko) = 10 3 = octets - 1 mégaoctet (Mo) = 10 6 octets = Ko = octets - 1 gigaoctet (Go) = 10 9 octets = Mo = octets

15 15 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le binaire signé - Le complément 2 Par rapport au binaire pur le bit de poids fort (MSB) devient le bit de signe et possède une valeur négative. Si ce bit = 0 le nombre est positif Si ce bit = 1 le nombre est négatif (le total de tous les autres bits positifs = 32767)

16 16 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le binaire signé - Le complément 2 Pour chaque format de mot, il y aura donc des limites de représentation.. FormatNom (en anglais)Valeur maxi 4 bitsQuartet-7 à +7 8 bitsOctet (Byte)-128 à bitsMot ou double octet (Word) à bitsMot double (Double word) à

17 17 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line Le complément 2 La méthode du complément à 2 est le principe qui permet de passer d'un nombre positif à un nombre négatif et réciproquement. Exemple sur un mot de 4 bits : Explications8421 Soit la valeur Complément 1 (on inverse les bits)1010 On ajoute 1 pour obtenir le complément à 21 Complément à Calcul de la valeur =

18 18 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line La virgule flottante Correspond à la notation scientifique de certaines calculatrices. Elle se présente sous la forme d'une mantisse et d'une puissance de 10. N = M x 10 E Exemple : - 12,5 = - 0,125 x 10 2 N = nombre M = Mantisse E = Exposant La virgule flottante se présente sous la forme d'une mantisse et d'une puissance de 2. N = M x 2 E Exemple : - 12,5 = - 0,125 x 10 2 Limites de représentation : -1 x <= N <= +1 x Codée sur 32 bits : 24 pour la mantisse, 8 pour l'exposant

19 19 Séquence 1 animation 8 – La numération binaire A T Training On Line La virgule flottante Exemple de représentation du nombre M = 0, E = ,625 x bits 8 bits


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