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Optimisation du coût des lignes de transfert reconfigurables – approche par programmation linéaire – Antoneta Iuliana BRATCU – stagiaire post-doc sous.

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1 Optimisation du coût des lignes de transfert reconfigurables – approche par programmation linéaire – Antoneta Iuliana BRATCU – stagiaire post-doc sous la direction dAlexandre DOLGUI – Présentation G2I / – 1 / 15

2 Sommaire Positionnement du sujet Description du problème – notations Agrégation des contraintes. Formulation comme programme linéaire Pré-traitement : réduction du modèle, bornes Discussion sur un exemple Conclusion et perspectives Présentation G2I / – 2 / 15

3 Positionnement du sujet tête doutil multifonctionnel : bloc – exécution parallèle des opérations Lignes de transfert… … reconfigurables : utilisées dans lusinage (production de masse) grande productivité investissements importants loptimisation initiale est justifiée … mais la ligne manque de flexibilité exécution sérielle des blocs dans chaque station plusieurs stations en série concevoir dès début la ligne de sorte à minimiser son coût pour toute une famille de produits Présentation G2I / – 3 / 15

4 Description du problème – notations Présentation G2I / – 4 / 15 La ligne doit usiner : N i – opérations G i – graphe de précédence Tc i – temps de cycle p produits – pour chaque i=1,2…p avec un ensemble de blocs (têtes doutils) connu : B – pour chaque r=1,2…| B | Cb r – coût tb r – temps opératoire en sachant en plus : Cs 0 – coût (fixe) dune nouvelle station m 0 – nombre maximal de stations n 0 – nombre maximal de blocs par station sous les contraintes… … de précédence – Dor i … de temps … dexclusion – Dbs … dinclusion – Combien de stations, y et quelle affectation des blocs aux stations, x rk = faut-il avoir afin de minimiser le coût total de la ligne : Cs 0 ·y +·x rk ?

5 Agrégation des contraintes agrégation des contraintes de précédence – superposition des p graphes de précédence individuels, G i graphe G – puisquil peut y avoir des précédences contraires dans les différents G i, G peut contenir des circuits, – … et les nœuds de chaque tel circuit sont agglutinés pour former une seule macro-opération G orienté acyclique agrégation des contraintes dinclusion agrégation des contraintes dexclusion – chaque élément de chaque qui contient seulement des parties dune macro-opération est étendu avec les opérations manquantes – les ensembles ayant des intersections non vides sont réunis – les blocs qui ne peuvent exécuter que des parties de macro-opérations sont éliminés,… – … donc les éléments de Dbs qui les contiennent seront aussi éliminés Présentation G2I / – 5 / 15 – … alors le sens stricte de la notion de précédence doit être relâché Dbs

6 Formulation comme programme linéaire. Présentation G2I / – 6 / 15 m * – une borne inférieure du nombre de stations – pour chaque bloc r, lintervalle K(r) = [head(r), tail(r)], head(r) est la station la plus tôt tail(r) est la station la plus tard où le bloc r peut être assigné La famille F s = {F 1,…F v } de paires de blocs ayant des opérations communes F s est un sous-ensemble de blocs alternatifs (seulement un bloc de chaque paire de F s peut être utilisé dans une décision) F 0 = B\ – lensemble de blocs qui sûrement apparaissent dans une décision D t Dos bloc B r w rt =|B r D t | W t = {B r B | w rt >0} U t = {B r B | i t B r }, avec i t une opération fixée de lensemble D t Dos – pour chaque bloc r M(r) – les opérations prédécesseurs des opérations de B r, qui nappartiennent pas à B r H(r) = {B t B | B t M(r) } H={B r B | M(r) } Paramètres additionnels B t H(r ) B r H h tr =|B t M(r)| R * – une borne supérieure de lensemble des blocs à affecter à la dernière station bornes

7 Présentation G2I / – 7 / 15 Formulation comme programme linéaire Minimiser Cs 0 ·y +·x rk sous les contraintes : y k x rk, r R *, k K(r), k m * exécution de chaque opération de lensemble agrégé, N, dans une seule station, aussi bien par des blocs qui nont pas dintersections (de F 0 ), que par les autres blocs (de F s ) exécution de toutes les opérations de N respect des contraintes de précédence agrégées (décrites par le graphe de précédence « total », G) respect des contraintes dinclusion agrégées, Dos respect des contraintes dexclusion agrégées, Dbs contrainte du nombre maximal de blocs par station contrainte sur le nombre de stations respect des temps de cycle de tous les produits

8 Présentation G2I / – 8 / 15 Pré-traitement : réduction du modèle … portant sur lensemble de blocs, après lagrégation des contraintes et lélimination des blocs ne pouvant exécuter que des parties de macro-opérations 1. Identifier les « circuits » de blocs a). i j B x u v B w q s B z k l B y i B r j k l B t a)b) « Briser » chaque tel circuit en éliminant le plus coûteux bloc de par son coût par opération. 2. En particulier, si 2 blocs forment une « boucle » b), alors ils seront traités comme des blocs alternatifs. 3. Éliminer tout bloc pour lequel il nexiste pas un sous-ensemble de blocs B, tel que : – les opérations de B donnent lensemble total, N, – |B| m 0 n 0, – tous les blocs de B sont mutuellement disjoints.

9 Présentation G2I / – 9 / 15 Pré-traitement : calcul des bornes algorithme A décrit dans un travail antérieur graphe de précédence agrégé, G contraintes dinclusion agrégées, Dos matrice des distances d(i,j) = q – (i), i=1,2,…|N| algorithme A graphe inversé, G inv Dos matrice d q + (i), i=1,2,…|N| c) k +/– (i) = [q +/– (i)/n 0 ], i=1,2,…|N| Calcul de m * Calcul de K(r), pour chaque bloc r. Calcul de R *. a) b) head(r) = max{k – (i) | i B r } tail(r) = min{k + (i) | i B r } d) b) Notons par head_min le minimum des heads des blocs ayant le tail égal à tail_max. a) tail_max max{tail(r)| B r B}. c) R * est formé des blocs qui ont le tail strictement supérieur à head_min. : m * = max{k – (i)| i N}

10 Un exemple de petite taille – données d entrée Présentation G2I / – 10 / 15 N 1 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, |N 1 |=10 N 2 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, |N 2 |=12 N 3 ={1,2,5,7,8,9,10,11,12,13}, |N 3 |=10 |N|=13 p = 3 produits G G G 3 7 contraintes de précédence contraintes dinclusion

11 Présentation G2I / – 11 / 15 Un exemple de petite taille – données d entrée Bloc r OpérationsTemps opératoire, tb r [u.t.] Coût, Cb r [u.m.] B1B1 {1,3,6,13}9250 B2B2 {1,3,13}8170 B3B3 {1,2,7,8}6281 B4B4 {2,5,9}10150 B5B5 {2,5,7,8,11}9275 B6B6 {2,6,9,10}11230 B7B7 {4,6,8,10}13211 B8B8 {4,7,8}9160 B9B9 {4,7,8,9}10215 B 10 {5,12,13}6158 B 11 {10,11,12,13}12230 B 12 {2,5,10,11,12}11260 les blocs contraintes dexclusion les temps de cycle : Tc 1 =23 u.t. Tc 2 =25 u.t. Tc 3 =21 u.t.

12 Un exemple de petite taille – pré-traitement Présentation G2I / – 12 / a = {2,5} b = {10,11,12} G 13 2 macro-opérations le graphe de précédence agrégé Bloc r Opérationstb r [u.t.]Cb r [u.m.] B1B1 {1,3,6,13}9250 B2B2 {1,3,13}8170 B3B3 {1,2,7,8}6281 B4B4 {2,5,9}10150 B5B5 {2,5,7,8,11}9275 B6B6 {2,6,9,10}11230 B7B7 {4,6,8,10}13211 B8B8 {4,7,8}9160 B9B9 {4,7,8,9}10215 B 10 {5,12,13}6158 B 11 {10,11,12,13}12230 B 12 {2,5,10,11,12}11260 a b a b 6 B B 2 9 B B 8 a 9 B 4 a b B b B 11 … lensemble de blocs … « circuits » de blocs … les contraintes dinclusion … les contraintes dexclusion

13 Présentation G2I / – 13 / 15 Un exemple de petite taille – bornes… Blocheadtailm*m* R*R* B1B1 14 2{1,2,3,4,5,6} B2B2 15 B4B4 25 B8B8 25 B9B9 25 B … optimisation F s ={{B 1,B 2 }, {B 4,B 12 }, {B 4,B 9 }, {B 8,B 9 }} F 0 = R={1, 2, 4, 8, 9, 12} |Dos pt |=n ic =3 H={B 4, B 8, B 9, B 12 } t w rt, r R, t=1,2,…n ic =3 M(r)M(r)H(r)H(r) h tr, r R, t R W 1 ={B 1,B 2 }W 2 ={B 8,B 9 }W 3 ={B 4,B 12 }B1B1 B2B2 B4B4 B8B8 B9B9 B 12 B1B B2B B4B4 001{4,7,8}{B 8,B 9 } B8B8 020{3,6,13}{B 1,B 2 } B9B9 020{3,6,13}{B 1,B 2 } B {4}{B 8,B 9 } r t 22 Station 1 ts=9,Cs=600 B 1 { 1, 13, 3, 6 } tb 1 =9 Cb 1 =250 B 9 { 4, 7, 8, 9 } tb 9 =10 Cb 9 =215 B 12 { b, a } tb 12 =11 Cb 12 = Station 2 ts=21,Cs=825 solution optimale

14 Présentation G2I / – 14 / 15 Conclusions… lignes de transfert : investissement initial important – optimisation dans la phase initiale de conception justifiée… – … encore plus dans le cas dune famille de produits, assurant la reconfigurabilité à moindres frais conception des lignes de transfert reconfigurables : agrégation des contraintes … à faire amélioration des bornes tests numériques plus amples couplage avec des heuristiques … perspectives reformuler le problème en tenant compte des coûts de fonctionnement

15 Merci de votre attention ! Présentation G2I / – 15 / 15


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