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Algorithmes et structures de données avancées Cours 1+2+3 Patrick Reuter maître de conférences

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Présentation au sujet: "Algorithmes et structures de données avancées Cours 1+2+3 Patrick Reuter maître de conférences"— Transcription de la présentation:

1 Algorithmes et structures de données avancées Cours Patrick Reuter maître de conférences

2 Déroulement CM mardi 8h30 – 9h30 TD/TP en alternance mardi de 10h00–11h30

3 Motivation Niklaus Wirth, ETH Zuerich, 1976 « Algorithms + Data Structures = Programs »

4 Motivation Structure de donnée: p.ex. fantôme - couleur - position - direction - aggressif ou pas ? Algorithmes: p.ex. mettre a jour le meilleur score

5 Motivation Structure de donnée: - tableau a 2 dimension Algorithmes: - surtout I.A.

6 Motivation Structure de donnée : Pile LIFO (Last In First Out)

7 Motivation Structure de donnée : File FIFO (First In First Out) Aussi: File à priorité

8 Motivation pages Comment ça marche ? 0 1 m-1 JOE ASM SAM h A C ……

9 Table de hachage Fonction de hachage Adressage indirecte h(c) pas forcément injective Adressage directe h(c) injective Résolution des collisions par adressage ouvert Résolution des collisions par chaînage externe sondage linéaire h i (c) = (h(c) + i) mod m Sondage quadratique h i (c) = (h(c) + a*i + b*i 2 ) mod m

10 ASDA Nouvelles structures de données –Arbres –Graphes Preuves Récursivité/Récurrence Théorie de la complexité …

11 Motivation Structure de donnée : Arbre (pour lélimination des parties cachées)

12 Motivation Structure de donnée : Graphe (pour plannifier des trajets)

13 Rappel sur la récurrence

14 Factoriel 0! = 1 1! = 1 2! = 1*2 3! = 1*2*3 4! = 1*2*3*4 5! = 1*2*3*4*5 6! = 1*2*3*4*5*6 n! = 1*2*3*4*5*6*.. * (n-1) * n

15 Factoriel Deux manières de faire : –Itératif –Récursif

16 Itératif fonction factorielBoucle(n : integer): integer; var i,res : integer; début res := 1; i := 1; tant que i<=n faire res := res * i; i := i + 1; fin tant que result := res; fin

17 Rappel Fonction définie par récurrence Une fonction définie par récurrence se caractérise par deux propriétes : La fonction est définie par elle-meme, c-à-d. la fonction appelle elle-meme dans le corps de la fonction Lappel (ou les appels) de la fonction par elle- meme est isolé par une condition, la condition darret, pour éviter les appels infinis.

18 Sondage function factoriel(n : integer) : integer; var resultat : integer; begin if (n = 0) OR (n = 1) then resultat := 1 else resultat := n * factoriel(n-1); result := resultat; end;

19 Sondage function factoriel(n : integer) : integer; var resultat : integer; begin if (n = 0) OR (n = 1) then resultat := 1 else resultat := n * factoriel(n-1); result := resultat; end;

20 Sondage function factoriel(n : integer) : integer; var resultat : integer; begin if (n = 0) OR (n = 1) then resultat := 1 else resultat := n * factoriel(n-1); result := resultat; end; Condition darrêt : la fonction nest plus appelé par elle-même

21 Sondage function factoriel(n : integer) : integer; var resultat : integer; begin if (n = 0) OR (n = 1) then resultat := 1 else resultat := n * factoriel(n-1); result := resultat; end; Condition darrêt : la fonction nest plus appelé par elle-même Appel de la fonction par elle-même

22 Sondage function factoriel(n : integer) : integer; var resultat : integer; begin WriteLn(debut de fonction : n =,n); if (n = 0) OR (n = 1) then resultat := 1 else resultat := n * factoriel(n-1); WriteLn(fin de fonction : resultat =,resultat); result := resultat; end

23 Appel de fonction : factoriel(5); factoriel := 5 * factoriel(5 - 1); factoriel := 5 * (4 * factoriel(4 - 1)); factoriel := 5 * (4 * (3 * factoriel(3 - 1))); factoriel := 5 * (4 * (3 * (2 * factoriel(2 - 1)))); factoriel := 5 * (4 * (3 * (2 * (1 ))));

24 Rappel : Listes suivant cle nom annee premier suivant cle nom annee suivant cle nom annee suivant cle nom annee … type p_t_liste_simple = ^t_liste_simple; t_liste_simple = record cle: integer; nom : string; annee: integer;... suivant: p_t_liste_simple; end;

25 Afficher tous les éléments Itératif Récursif

26 Itératif { Afficher les éléments de la liste } temp := premier; while (NOT (temp = NIL)) do begin WriteLn(temp^.annee); temp := temp^.suivant; fin; suivant cle nom annee premier suivant cle nom annee suivant cle nom annee suivant cle nom annee … temp

27 { Afficher les éléments de la liste } temp := premier; while (NOT (temp = NIL)) do begin WriteLn(temp^.annee); temp := temp^.suivant; fin; Itératif suivant cle nom annee premier suivant cle nom annee suivant cle nom annee suivant cle nom annee … temp

28 Afficher tous les éléments : Récursif procedure afficherListe(temp : p_t_liste_simple); suivant cle nom annee premier suivant cle nom annee suivant cle nom annee suivant cle nom annee … temp

29 Afficher tous les éléments procedure afficherListe(temp : p_t_liste_simple); begin if (temp <> NIL) then begin WriteLn('Element annee : ', temp^.annee); afficherListe(temp^.suivant); end;

30 Sondage … Recherche linéare dans un tableau non-trié –O(n) Recherche linéare dans une liste non-trié –O(n) Recherche dans un tableau trié –O(log n) (par dichotomie) Recherche dans une liste triée –O(n) Table de Hachage HT –Suivant la fonction de hachage h(t), au mieux O(1), au pire O(n)

31 Complexité asymptotique Chercher Ajouter Enlever Tableau non trié: O(n) O(n) O(n) Liste non triée: O(n) O(1) O(1) Tableau trié: O(lg n) O(n) O(n) Liste trié: O(n) O(1) O(1) Arbre binaire:

32 Arbres binaires Parcours en profondeur : Parcours en largeur :

33 Arbres binaires -structure de données qui peut se représenter sous la forme d'une hiérarchie -chaque élément est appelé nœud -le nœud initial est appelé racine. -chaque nœud possède au plus deux éléments fils au niveau inférieur, habituellement appelés fils gauche et fils droit. -l'élément dun nœud fils au niveau supérieur est appelé père. -au niveau le plus élevé, il y a donc un nœud racine. -un nœud n'ayant aucun fils est appelé feuille. -les nœuds ayant au moins un fils sont appelés nœuds internes. -le nombre de niveaux total, autrement dit la distance entre la feuille la plus éloignée et la racine est appelé profondeur ou hauteur de l'arbre. -Autrement dit : La hauteur d'un arbre est la longueur du plus grand chemin de la racine à une feuille.

34 Arbres binaires Un arbre binaire est un graphe connexe acyclique, tel que le degré de chaque nœud soit au plus 3, et celui de la racine au plus 2. HAUTEUR : 3

35 Arbres binaires Arbre binaire entier est un arbre dont tous les nœuds possèdent zéro ou deux fils. Arbre binaire parfait (complet) est un arbre binaire entier dans lequel toutes les feuilles sont à la même distance de la racine. –Un arbre binaire complet de hauteur h contient donc 2 h+1 -1 nœuds, –et son nombre de feuilles est : F h = 2 h. Arbre binaire dégénéré est un arbre binaire dans lequel tous ses noeuds n'ont qu'un seul descendant.

36 Arbres binaires Stockage dans un tableau + * * No contenu gauche droite

37 Arbres binaires + 3 racine^ racine + gauchedroite contenu + 3 * gauchedroite contenu gauchedroite contenu gauchedroite contenu gauchedroite contenu type p_t_noeud = ^t_nœud; t_noeud = RECORD cle : integer; contenu : char; gauche : p_t_noeud; droite : p_t_noeud; END;

38 Arbres binaires Méthode d'itération des arbres binaires Préfixe, Postfixe, Infixe

39 Arbres binaires Préfixe, + *6 23

40 Arbres binaires Préfixe, + (* (2),( 3)),( 6) (avec parcours en profondeur) Postfixe, + *6 23

41 Arbres binaires Préfixe, + (* (2),( 3)),( 6) Postfixe, ((2), (3) *),( 6) + Infixe : + *6 23

42 Arbres binaires Préfixe, + (* (2),( 3)),( 6) Postfixe, ((2), (3) *),( 6) + Infixe : ((2)*(3)) + (6) + *6 23

43 Arbres binaires Infixe procedure parcourir( nœud : p_t_noeud ) début si NOT(nœud^.gauche = NIL)alors parcourir(nœud^.gauche) WriteLn(nœud.contenu); si NOT(nœud^.droite = NIL)alors parcourir(nœud^.droite) fin + *6 23

44 Arbre binaire de recherche

45 un arbre binaire dans lequelarbrebinaire –chaque nœud possède une clé,clé –telle que chaque nœud du sous-arbre gauche ait une clé inférieure ou égale à celle du nœud considéré, –et que chaque nœud du sous-arbre droit possède une clé supérieure ou égale à celle-ci –Les nœuds que l'on ajoute deviennent des feuilles de l'arbre. –on pourra interdire ou non des clés de valeur égale.

46 Complexité asymptotique Arbre balancé AVL Arbre non balancé Trouver:O(lg n) O(n) Insérer:O(lg n) O(n) Enlever:O(lg n) O(n)

47 Arbre binaire balancé Arbre balancé AVL –nommé selon ses auteurs –[Andelson-Velskii et Landis, 1962] –Pour chaque nœud, la hauteur du sous-arbre gauche (SAG) et du sous-arbe droite (SAD) diffèrent au plus de un

48 Enigme Peut-on commencer une promenade sur une île ou une rive, terminer la promenade sur n'importe quelle autre (ou la même) île ou rive en passant exactement une fois sur chacun des ponts?


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