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VI) Évolution temporelle des systèmes quantiques. 1) Equation de Schrödinger Lévolution temporelle dune fonction donde est décrite par léquation de Schrödinger.

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1 VI) Évolution temporelle des systèmes quantiques. 1) Equation de Schrödinger Lévolution temporelle dune fonction donde est décrite par léquation de Schrödinger dépendant du temps : Nous savons que lhamiltonien, H(x), admet des fonctions propres indépendantes du temps : En supposant que lon puisse écrire on aura

2 Doù Et donc Donc si (x) est une fonction propre de lopérateur hamiltonien, pour lénergie E, son évolution temporelle sera Notons que : La densité de probabilité ne dépend pas du temps, on a un état stationnaire. Des exemples de dynamique :

3 Evolution dune fonction donde quelconque : Soit 1 et 2 sont deux fonctions propres orthonormées de lopérateur énergie, pour les valeurs propres E 1 et E 2 Soit On a alors Notons que la probabilité de mesurer le système dans chacun des états est constante au cours du temps :

4 Supposons pour alléger le calcul, que a et b sont des coefficients réels et que 1 et 2 sont des fonctions réelles. On a alors pour la densité de probabilité: Cette fonction dépend du temps. Il y a oscillation temporelle de la densité de probabilité, qui retrouve périodiquement la même forme avec une fréquence, f, égale à Illustrations (avec coeffs et fonctions complexes):

5 Résumé ! Visualisation détats propres dans différents puits : Applet états liés 1- Puit fini rectangulaire. - Notez que le nombre détats liés augmente lorsque le puit sélargit ou lorsque la masse augmente. Leur écartement augmente lorsque lénergie augmente. - clic sur « densité de proba » : notez que le nombre de nœuds augmente avec lénergie. Notez que la probablité de présence « dans le mur » nest pas nulle et quelle augmente lorsque la hauteur du puit diminue ou lorsque lon monte en énergie (dans les deux cas, lorsque lon sapproche du haut du puit !). -clic sur « wave function » puis « real part » et « imaginary part » : notez la succession de fonctions paires et impaires. Notez Que la partie imaginaire est nulle à t=0 pour toutes les fonctions. -clic sur la flèche en bas pour faire défiler le temps : les fonctions dondes à t=0 sont multipliées par le terme exp(-iE 2 t/h) et leur parties réelles et imaginaires évoluent. -clic sur « magnitude (=module) » : notez que le module (et donc la densité de probabilité) ne dépend pas du temps. -Clic sur « superposition of states », donnez un coeff 1aux trois premiers états, clic « normalize » : notez la normalisation automatique, clic sur « apply » et « close ». Notez que ce nouvel état nest pas un état stationnaire car son module (et sa densité de proba) évoluent dans le temps. 2- Double puit fini rectangulaire. -Notez la levée de dégénérescence des niveaux lorsque lécart entre les puits diminue. -Clic sur « wave function » et « magnitude » : notez que les fonctions dondes de chaque puit ne se recouvrent pas lorsque les puits sont séparés et que la levée de dégénérescence augmente avec le recouvrement des fonctions lorsque les puits se rapprochent. -A puits proches, regardez la forme des deux fonctions de plus basse énergie (partie réelle), quasiment dégénérées. En en faisant la combinaison, on peut quasiment « localiser » la particule dans un puit. Lancer ensuite lévolution temporelle et admirer un modèle de linversion de lammoniac ! 3- n puits finis rectangulaires : structure de bande. Les atomes dun solides forment un système à n puits, la levée de dégénérescence des états est à lorigine de la formation des « bandes » énergétiques. Notez la délocalisation des fonctions dondes sur lensemble du solide (conduction).

6 Résumé ! Visualisation détats propres dans des potentiels ouverts : Applet marches 1- Onde plane et marche de potentiel. - Notez que londe plane a une énergie bien définie et suivez son évolution temporelle à potentiel constant. Notez le coeff de transmission=1 - Lorsque la marche augmente (glissez la partie droite du potentiel vers le haut), il se crée une onde réfléchie et londe transmise voit sa longueur donde augmenter (donc son énergie diminue ! Normal puisque lénergie potentielle augmente Dans cette région et quil faut conserver lénergie !). Notez la variation des coefficients de transmission et de réflection. Notez que pour une onde plane, la densité de probabilité est constante (cas particulier de non normalisation !). -Lorsque le potentiel est supérieur à lénergie de londe, la transmission est nulle mais il a une « onde évanescente » à lintérieur de la marche qui est de plus en plus faible lorsque le potentiel augmente par rapport à lénergie de londe. 2- Paquet dondes et marche de potentiel. - Notez que le paquet dondes qui est une superposition dondes planes na pas une énergie bien définie. Plus le paquet donde est localisé (clic « initial width ») plus il faut dondes planes superposées pour le décrire et plus son énergie est indéfinie. Le Paquet donde évolue sans déformation. -Notez le paquet donde réfléchi lorsque le potentiel à droite augmente, et la reflection totale lorsque le potentiel est supérieur À « l énergie » du paquet dondes. Notez londe evanescente. 3- Onde plane et mur de potentiel. - Notez que londe évanescente augmente lorsque le haut de la barrière est proche de lénergie de londe. Notez londe transmise lorsque londe a une énergie supérieure à la barrière. - Notez leffet tunnel lorsque la largeur du mur est inférieur à lextension spatiale de londe évanescente. 4- Paquet dondes et mur de potentiel. - Mêmes remarques quen 3.


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