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1 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 MOUVEMENT 3 PLAN DU CHAPITRE Recalage : méthodes fréquentielles Poursuite 1 : Harris et Invariants de Hilbert.

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1 1 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 MOUVEMENT 3 PLAN DU CHAPITRE Recalage : méthodes fréquentielles Poursuite 1 : Harris et Invariants de Hilbert Poursuite 2 : SIFT Recalage et Poursuite

2 2 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Introduction Lorsque lamplitude du déplacement est grande, lestimation directe par les méthodes dappariement ou les méthodes différentielles est vouée à léchec, pour 2 raisons majeures : (1) Le déplacement apparent peut être supérieur aux périodes spatiales présentes dans les images (aliasing temporel, voir exemple ci-contre)

3 3 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Introduction (2) La scène est soumise à des déformations géométriques complexes qui invalident lhypothèse de translation locale (voir exemple ci-dessous)

4 4 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Introduction Par conséquent : Il est primordial de disposer de descripteurs qui soit le plus invariants possible aux transformations géométriques : rotation, homothétie, transformation affine. Cela passe forcément par un calcul multi-échelle. Les descripteurs fournis auront un caractère beaucoup moins local, voire global, et on ne disposera plus dun champ dense comme dans les méthodes destimation, mais au mieux dun champ épars. Ce quon verra dans ce chapitre : TRANSFORMATION GLOBALE : Un seul paramètre de déplacement pour toute limage (translation, rotation, homothétie) : Méthodes fréquentielles. MOUVEMENT QUELCONQUE : Quels sont les points utilisés pour le calcul ? Points de Harris, Maxima locaux dans lespace déchelle,... Quels descripteurs utiliser pour lappariement ? Invariants différentiels, histogrammes dorientation,... Applications : Reconnaissance dobjets, Indexation dimages, localisation de robots,…

5 5 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Techniques fréquentielles Les techniques fréquentielles destimation du mouvement entre deux images sont fondées sur léquivalence translation/déphasage de la transformée de Fourier : Les coefficients des différentes sinusoïdes sont calculés par la transformée de Fourier : Transformée de Fourier discrète inverse Transformée de Fourier discrète directe Notation (module,phase) : Rappel : lexpression dune image dans le domaine fréquentiel consiste à décomposer la fonction bidimensionnelle en sommes de sinusoïdes complexes : La propriété de translation/déphasage dit que si F est la transformée de Fourier de I : TF Alors la TF de I translatée de (- x,- y), est G, avec : Soit : et : Le déphasage entre F et G vaut donc : Il suffit donc en théorie de considérer ce déphasage pour 2 couples (u,v) pour calculer ( x, y), mais cette technique est sensible au bruit et aux changement dillumination qui induisent des variations dans les basses fréquences. On utilise plutôt la technique de corrélation de phase.

6 6 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Corrélation de phase La technique de corrélation de phase exploite une conséquence directe de la propriété de translation/déphasage. Si F est la TF de I et G la TF de I translatée de (- x,- y), alors le déphasage entre F et G est égal à leur spectre de puissance croisé normalisé (SPCN), i.e. : La TF inverse du SPCN est donc égale à la fonction de Dirac du vecteur de translation : La technique de corrélation de phase consiste donc à : 1.Calculer les TF de I(x,y,t) et I(x,y,t+1), soit F 1 et F 2 2.Calculer le SPCN de F1 et F 2 3.Calculer D la TF inverse de 4.Rechercher le maximum de D Avantages et inconvénients + Robuste car toutes les fréquences contribuent au calcul + Relativement rapide grâce au calcul de la FFT - En pratique limité à un déplacement global sur toute limage Corrélation de phase dans le domaine spatial (source INRIA)

7 7 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Invariant de Fourier-Mellin Lutilisation de la transformée de Fourier-Mellin permet de calculer les paramètres dune similitude (rotation et homothétie) comme un vecteur de translation de manière analogue au cas précédent, grâce à une représentation log- polaire de lespace des fréquences (u,v) (, log ) : Soit g limage transformée de f par une rotation dangle, une homothétie de rapport, et une translation de vecteur (x 0,y 0 ) : En passant les fréquences en coordonnées polaires : on obtient : Les amplitudes des transformées de Fourier de f et g sont liées par la relation suivante : ne dépend pas de la translation (x 0,y 0 ). subit une rotation dangle. subit une modification déchelle dun facteur. donc lamplitude : on obtient : Enfin, en passant la coordonnée radiale au logarithme : Donc une similitude dans lespace image se traduit par une translation dans lespace des fréquences log-polaires.

8 8 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Invariant de Fourier-Mellin Un exemple dutilisation de la transformée de Fourier-Mellin : calcul de la position de la tête des Robots Aibo dans limage par corrélation de phase des invariants de Fourier-Mellin. (FMI-SPOMF : Fourier-Mellin Invariant Symmetric Phase Only Matched Filtering) : J.C. Baillie et M. Nottale log log FMI corrélation de phase (SPOMF) ! Linformation de phase de limage originale est perdue dans la FMI. Le FMI-SPOMF revient à chercher la meilleure (rotation, homothétie) qui mette en correspondance 2 spectres damplitude. On ne retrouve donc pas les paramètres de translation entre les deux images, et de plus linformation de forme portée par la phase nexiste plus. Pour compléter cette transformation, on peut appliquer une corrélation de phase classique sur le couple dimage de départ, après avoir appliqué sur lune des images la transformation (rotation, homothétie) fournie par le FMI-SPOMF. Notons enfin, que comme pour la corrélation de phase, cette méthode est utilisée en pratique pour estimer des transformations globales, car elle utilise la contribution de tout le spectre (ou au moins une large partie), ce qui implique une étendue spatiale importante des pixels utilisés pour lestimation de chaque transformation.

9 9 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Une mesure des variations locales de limage I au point (x,y) associée à un déplacement ( x, y) est fournie par la fonction dautocorrélation : Où W est une fenêtre centrée au point (x,y). Détection de points anguleux Les points anguleux (ou points dintérêt, points saillants,...) sont des points « qui contiennent beaucoup dinformation » relativement à limage. Ce sont des points aux voisinages desquels limage varie significativement dans plusieurs directions. ( x,y ) W W+ Or, en utilisant une approximation du premier ordre : Et donc : Matrice dautocorrélation de limage I en (x,y)

10 10 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Détection de points anguleux La matrice dautocorrélation représente la variation locale de limage I en (x,y). (x,y) sera considéré comme un point anguleux de I si pour tous les déplacements ( x, y), la quantité ( x, y). (x,y).( x, y) t est grande. Le détecteur de Harris calcule une fonction dintérêt (x,y) : Le premier terme correspond au produit des valeurs propres, le second terme pénalise les points de contours avec une seule forte valeur propre. Les points anguleux sont les points (x,y) pour lesquels la matrice dautocorrélation (x,y) a deux valeurs propres grandes. Cela correspond aux points pour lesquels il existe localement une base de vecteurs propres de décrivant des variations locales importantes de limage. Les points dintérêt correspondent aux maxima locaux de la fonction qui sont au delà dun certain seuil (typiquement 1% de la valeur max de ). [Harris 88]

11 11 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Utilisation des invariants différentiels On notera : (dérivées jusquau 3e ordre) Objectif : représenter les points dintérêt par des indices qui soient invariants par rotation et par changement déchelle. Le principe utilisé ici est basé sur lutilisation des dérivées spatiales multi-échelle : Le « jet local » de I :avec :et : Lidée est de combiner ces dérivées pour obtenir des grandeurs invariantes par rotation : x y X Y I X = I x cos + I y sin I Y = I x sin – I y cos I XX = I xx cos 2 + 2I xy cos sin + I yy sin 2 I YY = I xx sin 2 – 2I xy cos sin + I yy cos 2 et : x = X cos + Y sin y = X sin – Y cos X = x cos + y sin Y = –x sin y cos Par exemple, le laplacien I xx + I yy est invariant par rotation : et donc : I XX + I YY = I xx + I yy

12 12 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Utilisation des invariants différentiels [Schmid et Mohr 97] On peut ainsi construire toute une famille de grandeurs invariantes par rotation : les invariants différentiels de Hilbert. Avec : (notations dEinstein : sommations sur les indices), par ex : Les vecteurs sont donc calculés pour tous les points dintérêt à différentes échelles, et appariés en utilisant une distance (e.g. distance euclidienne). NB : invariance par rotation du noyau gaussien !

13 13 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Espace déchelle gaussien et dérivées échelle

14 14 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Mise en œuvre du détecteur de Harris 1.On calcule les dérivées premières à partir des dérivées de gaussienne (écart-type ) 2.On calcule les termes de la matrice dautocorrélation en calculant une moyenne locale des dérivées sous la forme dune gaussienne (écart-type, typiquement = 2 ) 3.On calcule la fonction dintérêt : = det( ) – trace( ) (typiquement = 0,06). 4.On calcule les maxima locaux de supérieurs à un certain seuil (typiquement 1% de max ). 1 est donc le paramètre déchelle du détecteur de Harris, qui détermine la portée des opérations de dérivations et dintégrations (moyennes).

15 15 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Détecteur de Harris multi-échelles Points de Harris obtenus en calculant les dérivées premières par convolution avec une dérivée de gaussienne décart-type. = 1 = 2 = 3 = 10 = 5

16 16 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Détecteur SIFT : extrema dans lespace déchelle G0G0 G1G1 G2G2 G3G3 L1L1 L2L2 L3L3 échelle Les points sélectionnés par SIFT sont les maxima et les minima locaux de la fonction L k (x,y), à la fois dans léchelle courante et dans les échelles adjacentes (voir ci-contre). L k+1 (x,y) L k (x,y) L k-1 (x,y) La fonction L k (x,y) est une représentation laplacienne de limage, qui correspond à une décomposition fréquentielle localisée : contribution des structures contrastées déchelle (de « taille ») k au point (x,y). La fonction G k (x,y) = G(x,y,k ) est limage convoluée par une gaussienne décart-type k. Les fonctions L k (x,y) correspondent à la différence (ici normalisée) entre 2 gaussiennes adjacentes.

17 17 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Points dintérêt SIFT Image 1 : 589 points détectés. Pour chaque extrema de lespace déchelle des différences de gaussiennes (point dintérêt SIFT), on calcule la direction associée par : avec (où est léchelle sélectionnée) Ci-contre, point dintérêt SIFT : la direction de la flèche représente la direction et sa longueur léchelle associée.

18 18 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Descripteur SIFT : histogramme dorientation Les descripteurs associés aux points dintérêt SIFT sont des histogrammes des orientations locales autour du point dintérêt. On divise lespace autour de chaque point dintérêt (x,y) en N 2 carrés 4x4. On calcule le gradient (G x (a,b, ), G y (a,b, )) pour les 4x4xN 2 points (a,b). Pour chaque carré 4x4, on calcule un histogramme des orientations quantifiées en 8 directions, en pondérant par : (1) le module du gradient (2) linverse de la distance au point dintérêt (x,y). Pour être invariant en rotation : lorientation locale du point dintérêt (x,y) est utilisée comme origine (orientation nulle) des histogrammes. Les descripteurs formés sont donc des vecteurs de taille 8xN 2, qui seront appariés en utilisant une distance (e.g. distance euclidienne) ex : N = 2

19 19 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Appariement par SIFT Résultat dappariement par SIFT entre limage (2) à gauche, 510 points détectés, et limage (1) à droite, 589 points détectés. 51 points ont été appariés, ce qui correspond à une distance euclidienne entre les descripteurs en deçà dun certain seuil.

20 20 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Conclusion Chapitre 3 RECALAGE : Mouvement global Corrélation de phase : translation Invariants de Fourier-Mellin : rotation / homothétie POURSUITE Points dintérêt Harris : points anguleux SIFT : extrema espace déchelle Descripteurs Invariants différentiels Histogrammes dorientation

21 21 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEICours ETASM 2006 Bibliographie du Chapitre 3 H. Foroosh, J. Zerubia & M. Berthod 2002 « Extension of phase correlation to subpixel registration » IEEE Transactions on Image Processing 11(3) pp Q. Chen, M. Defrise & F. Deconinck 1994 « Symmetric Phase-Only Matched Filtering of Fourier-Mellin Transforms for Image Registration and Recognition » IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 16(12) pp C. Harris & M. Stephens 1988 « A combined corner and edge detector » Alvey Vision Conference pp C. Schmid & R. Mohr 1997 « Local grayvalue invariants for image retrieval » IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19(5) pp D.G. Lowe 2004 « Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints » International Journal of Computer Vision 60-2 pp


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