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SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 1 Notion d état interne Solution.

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1 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 1 Notion d état interne Solution générale de l équation d état Discrétisation de la forme de commande Stabilité Gouvernabilité (définition, critère direct) Observabilité (définition et critère direct) Forme de Commande Passage RE donne FT Retour d état Observons le processus du premier ordre A partir de l instant t = 0, on applique l entrée e(t) connue, et on calcule la sortie s(t) qui en résulte soit : Pour t > 0, on voit que s(t) dépend non seulement de e(t) mais encore de la valeur de la sortie à l instant t = 0, ou condition initiale s(0) On dira que s(0) est l état du processus à l instant t = 0. On voit que pour un premier ordre, sortie et état sont confondus. E tendre le résultat si l instant initial est t = t0 non nul : Démontrer le résultat trouvé pour s(t) : Simulation avec Matlab Découplage des variables d état Choix des valeurs propres Asservissement ou

2 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 2 Illustration de la notion d état interne Les deux simulations ci-dessus illustrent l existence d un état interne dans le cas du retour à l équilibre 0 à entrée de commande nulle. Commenter : Simulation gauche ordre1=tf(1,[1 1]) ordre1=ss(ordre1) hold on initial(1,ordre1) initial(2,ordre1) initial(0.5,ordre1) Simulation droite : o2=ss(tf(1,[1.2 1])) hold on initial([0,1],o2,30) initial([1,1],o2,30) initial([-1,1],o2,30)

3 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 3 Forme de commande de la représentation d état Mais il faut noter que tout changement de base dans l espace d état (ici R n ) conduit à une représentation d état différente du même processus Trouver la forme de commande de Cobaye, avec un vecteur d état à préciser, Vérifier que la représentation d état n est pas unique Plus généralement, pour un processus d ordre n, on se ramène à ce cas en constituant le vecteur d état avec la sortie s(t) et les n-1 premières dérivées : On obtient alors la FORME DE COMMANDE de la représentation d état Seconde représentation Cette notion est généralisable à tout processus donné par n équations différentielles du premier degré, en regroupant les n sorties dans un vecteur d état interne. L équation d état est une équation différentielle matricielle de degré un

4 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 4 Solution générale de l équation d état Pour résoudre l équation d état, on peut utiliser la transformée de Laplace comme dans le cas d une équation différentielle scalaire sans oublier qu elle est matricielle : Adapter le résultat si on débute en t = t0 : est une exponentielle de matrice On retrouve les deux termes Calculer l exponentielle matricielle associée au processus Cobaye:

5 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 5 Discrétisation de la forme de commande Discrétiser Cobaye sous la forme de commande si T= 0.01 seconde On aboutit à une représentation d état en temps discret avec le vecteur d état : C est un cas particulier de la solution générale de l équation d état, où l entrée e(t) est constante par morceaux. Si par exemple entre 0 et T, e(t) = e0 constante, on pose : Pour résoudre entre T et 2T, X1 devient la condition initiale, et l entrée devient e1, d où X2, etc... On fera donc en général : On résout alors l équation d état entre 0 et T avec l entrée e0 et la condition initiale X0, on prélève le résultat à l instant T soit X1=X(T) qui donne s1=s(T)

6 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 6 Représentation d état et fonction de transfert en z Cas multivariable, on aboutit à une « matrice de transfert » On calcule la fonction de transfert en transformant l équation d état à conditions initiales nulles : Cas monovariable (une entrée, une sortie), on aboutit à une fonction de transfert: Calculer la fonction de transfert de COBAYE discrétisé à partir de la représentation d état obtenue précédemment Représentation d état et fonction de transfert sont deux représentations équivalentes

7 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 7 Stabilité EBSB Les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs propres de la matrice d état associée, comme on le voit sur la page précédente. En conséquence, Cobaye est-il stable au sens EBSB ? Un système en temps discret est stable au sens EBSB si et seulement si ses valeurs propres sont de module strictement inférieur à un, c est à dire se trouvent toutes à l intérieur du cercle unité strictement. Non, puisqu on trouve une valeur propre de module unité Comparer les valeurs propres et les pôles de COBAYE discrétisé. L ordre n du processus, degré du dénominateur de la fonction de transfert et du polynôme caractéristique, donne les dimensions de la matrice d état (n,n) Comment la page précédente suggère t elle que pôles et valeurs propres sont identiques ? Parce que le dénominateur de la fonction de transfert est nécessairement le déterminant (ou polynôme caractéristique): Ils sont identiques,

8 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 8 Définition de la gouvernabilité (et critère direct) A quelle condition puis-je amener un processus discret de létat X0 jusquà l état XN en N périodes d échantillonnage en utilisant son entrée ? Dans le cas particulier où N est l ordre du processus, et si est carrée, inversible égale de rang N, la solution est : matrice de gouvernabilitévecteur de commande Si le rang de est égal à l ordre du processus, il existe une solution E à ce problème, le processus est alors « entièrement gouvernable ». Cobaye est il entièrement gouvernable ? Calculer la succession des commandes permettant de rejoindre un état final Xf=[1,0] depuis létat X0=[0,0] ? est de rang 2, donc Cobaye est entièrement gouvernable Pour rejoindre Xf quelconque en 2T depuis 0, appliquer : RESULTAT PROBLEME Mise en équation

9 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 9 Observabilité (définition et critère direct) Si on peut en observant seulement la sortie d un processus en reconstituer l état en un temps fini, le processus sera dit « entièrement observable ». Pour qu un processus soit entièrement observable, le rang de la matrice d observabilité O ci-contre doit être égal à lordre du processus. Cobaye discrétisé précédemment est-il entièrement observable ? est inversible, donc de rang deux, Cobaye est entièrement observable Observabilité et gouvernabilité sont deux propriétés duales: un calcul simplifié où lentrée de commande est nulle mène au critère direct dobservabilité suivant : Comment calculer l état de Cobaye à partir des sorties si l entrée est nulle ? RESULTAT PROBLEME Mise en équation Que devient le critère direct d observabilité si O est carrée ? Il faut que O soit inversible dans ce cas On fera:

10 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 10 Découplage de l équation d état Les informations sur la stabilité, la gouvernabilité et l observabilité se déduisent de l analyse détaillée des couplages des variables d état. Si on opère un changement de base dans l espace d état qui diagonalise la matrice d état, la matrice de changement de base P est constituée de vecteurs propres de F : X étant le nouveau vecteur d état, c est X = P *X et X = inv(P) *X. La représentation détat dans cette base est : Stabilité = composantes de la diagonale de module inférieur à un. gouvernabilité = matrice de commande sans ligne nulle observabilité = matrice d observation sans colonne nulle Pour l exemple suivant, discuter stabilité, gouvernabilité et observabilité sur les équations scalaires correspondantes : avec

11 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 11 Il y a donc autant de représentations d état d un processus que de changements de base dans l espace d état. Cependant, il y a une seule fonction de transfert. Dans une base de vecteurs propres, les informations de stabilité, de gouvernabilité et d observabilité apparaissent en clair dans la représentation d état : s opère avec la matrice adjointe de F : Dans le cas où les valeurs propres sont simples (uniques), le calcul des vecteurs propres Découpler ainsi léquation d état de Cobaye discrétisé et discuter les propriétés de stabilité, d observabilité et de gouvernabilité de ce processus : se lit danspour Puis, on constitue la matrice de changement de base en juxtaposant les vecteurs propres Calcul des vecteurs propres

12 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 12 Asservissement et représentation d état Sous forme matricielle, on pose : Appliquer à l asservissement de Cobaye discrétisé : Etude du lieu des pôles ou valeurs propres de l asservissement : Prenons le cas de la loi de commande suivante pour l asservissement de COBAYE : On en déduit alors que la loi de commande modifie léquation d état : Calculer le polynôme caractéristique du système bouclé :

13 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 13 Retour d état Supposons le vecteur d état de COBAYE entièrement connu et mesuré pour ses deux composantes L équation d état est modifiée comme précédemment, mais les paramètres du retour d état permettent de fixer sans restriction les valeurs propres du système bouclé. Appliquer ce retour d état au cas de Cobaye et placer les valeurs propres en 0. Quel est alors le gain statique du système bouclé ? Pour deux valeur propres nulles, il suffit que le polynôme caractéristique soit La loi de commande suivante dite « retour d état » permet de fixer à volonté les valeurs propres de la matrice d état du système bouclé : D où le retour d état Avec ce retour d état le gain statique est unitaire Note 1 : la réalisation du retour d état implique en pratique la connaissance du vecteur d état (on devra construire un filtre observateur si l état est partiellement inconnu) Note 2 : en régime permanent de l équation d état, Xn=Xn+1. Sous la forme de commande,toutes les dérivées de s sont nulles en plus, d où les équations à écrire:

14 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 14 Choix des valeurs propres ou pôles Pour déterminer les pôles / valeurs propres d un système en temps discret, on utilise les propriétés démontrées pour les pôles et valeurs propres continus sachant que : Discret Continu Calculer les valeurs propres d un processus continu assurant l amortissement et le temps de réponse à 5% : Quel est donc le retour d état K imposant ces pôles à l asservissement de Cobaye ? (Excepté pour le cas particulier de la réponse pile ou valeur propre z = 0) Avec T= 0.01s, quels sont les valeurs propres qui assurent le même comportement ? Un pôle réel deux pôles complexes conjugués

15 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 15 Exemple de simulation avec Matlab clc echo on cobaye=tf(50,[1 10 0]) T=0.01 % en temps continu rect=ss(cobaye) % Matlab choisit une base dans l'EE A=[0 1; 0 -10] B=[0;50] C=[1 0] marect=ss(A,B,C,0) %discrétisation marectd=c2d(marect,T) %stabilité damp(marectd) eig(marectd) %Gouvernabilité Gouv=ctrb(marectd) Gou=[get(marectd,'b')... get(marectd,'a')*get(marectd,'b')] % Observabilité Obs=obsv(marectd) % commande conventionnelle rlocus(marectd) zgrid(sqrt(2)/2,10) zoom on k=rlocfind(marectd) %fonction de transfert ftz=tf(marectd) % calcul d'un retour d'état Ad=get(marectd,'a') Bd=get(marectd,'b') %choix des pôles polc=5*sqrt(2)*[-1-i,-1+i] polz=exp(T*polc) %calcul du retour K=acker(Ad,Bd,polz) %construction du système bouclé retour=ss(Ad-Bd*K,Bd*K(1),C,0,T) step(retour) %comparer avec le bouclage pour k=10 retour10=ss(Ad-Bd*[10,0],10*Bd,C,0,T) step(retour10,'r',retour,'b')

16 SuivantPrécédent ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d état des systèmes en temps discret 16 Comparaison de la commande proportion- nelle pour k=10 et du retour d état


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