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LAME Julien HILLAIRET Co-Directeurs de thèse Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de.

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1 LAME Julien HILLAIRET Co-Directeurs de thèse Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe

2 Page 2/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Champ incident Champ rayonné ? Les méthodes rigoureuses (MoM,...) ne sont pas adaptées à des problèmes de grandes tailles. ONERA : ELSEM3D Les méthodes asymptotiques (lancer de rayons,...) sont adaptées en haute fréquences. ONERA : FERMAT Contexte de l'étude Calcul de champs rayonnés Plusieurs approches : Solution complémentaire : les faisceaux gaussiens (FG) Avantages : Nombre de faisceaux < nombre de rayons Pas de caustiques

3 Page 3/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Sommaire État de l'art : les faisceaux gaussiens (FG) Propriétés principales Problématiques Interactions avec des parois de forte courbure Spectre d'un faisceau gaussien conforme. Diffraction d'un faisceau gaussien Diffraction 2D par un demi-plan infini ; Diffraction 3D par une surface rectangulaire finie. Applications des faisceaux gaussiens Contexte de la propagation EM. Conclusion et perspectives

4 Page 4/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Surface de décomposition État de l'art Décomposition des champs EM en FG Champ EM (connu) Champ initial défini sur une surface courbe Décomposition en FG Propagation des FG Faisceaux gaussiens Interactions des FG avec la scène

5 Page 5/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Décomposition de champs en FG Décomposition de champs peu divergents Décomposition multi-modale : surfaces courbes (F.Minato, O.Pascal, J.Sokoloff). Décomposition de champs divergents Décomposition de Gabor / frames de Gabor : surfaces planes ou cylindriques (L.Felsen,C.Letrou, D.Lugara) ; Décomposition sur une surface sphérique en champ lointain (P.Schott) ; Décomposition multi-faisceau gaussiens : surfaces courbes (A.Chabory).

6 Page 6/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Faisceaux Gaussiens Un FG est un faisceau dont : L'amplitude transverse est gaussienne La propagation peut se formuler analytiquement E(x,y,z=0) Plan transverse Décomposition en spectre d'ondes planes du champ dans le plan initial (analytique) Méthodes asymptotiques Propagation du faisceau Formulations analytiques E(x,y,z=0)

7 Page 7/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 z Propagation d'un FG Plusieurs formulations analytiques Approche classique (multimodale) ; Approche spectrale : paraxiale ; Approche spectrale : champ lointain. R Matrice de courbure complexe du FG Zone de validité formulation champ lointain Zone de validité formulation paraxiale

8 Page 8/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Interaction d'un FG Interaction d'un FG avec une surface courbe 1 FG incident 1 FG Réfléchi et 1 FG Transmis (lois ABCD/phase matching) 1 FG incident Champs Réfléchi et Transmis (coefficients R&T analytiques puis décomposition en FG) Surface très courbe : Faisceaux Gaussiens Conformes

9 Page 9/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Problèmes restés ouverts en début de thèse: Interactions avec des parois de forte courbure (FGC) ; Diffraction d'un FG. Problématiques ? ?

10 Page 10/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Interactions avec des parois de forte courbure

11 Page 11/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Parois de forte courbure Contexte originel : interactions antennes/radômes radômes de forte courbure Surface (virtuelle) de décomposition en FG Décomposition en FG Lorsque l'angle entre : la normale n à la surface en M la direction du vecteur de Poynting P local d'un faisceau, est important : la décomposition en FG n'est plus valide ! zoom Champ Transmis Champ Réfléchi

12 Page 12/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Parois de forte courbure Introduction aux Faisceaux Gaussiens Conformes Des faisceaux adaptés aux surfaces courbes Surface de décomposition très courbe Champ incident Approche : Calcul des courants équivalents J et M sur la surface Décomposition de ces courants en courants « gaussiens » Rayonnement de ces courants « gaussiens » : FGC approximation quadratique de la surface locale hypothèse grande distance Allure gaussienne sur la surface Expression analytique Evolution linéaire de la phase sur la surface

13 Page 13/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Parois de forte courbure Interaction d'un FGC avec un diélectrique Exemple : radôme de pointe r Le champ incident sur la paroi interne est décomposé en FGC La propagation analytique des FGC est valide à grande distance Pour procéder comme avec les FG : spectre d'ondes planes Spectre d'ondes planes d'un FGC Généralement défini sur un plan Un FGC est défini pour une surface courbe ! ?

14 Page 14/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Ainsi, Spectre d'ondes planes d'un FGC (1) On part des intégrales de courants de Franz : On utilise le développement en ondes planes d'un point source (Weyl, 1919) : avec :

15 Page 15/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Inversion de l'ordre d'intégration Méthode du Point col Spectre d'ondes planes d'un FGC (2) Opérateurs différentiels Expression spectrale d'un FGC

16 Page 16/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Spectre d'ondes planes d'un FGC (3) avec Spectre d'ondes planes d'un FGC : Métrique de la surface courbe Forme (pseudo) quadratique Matrice de courbure complexe

17 Page 17/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Évaluation par la méthode du col Expression analytique en zone proche Évaluation asymptotique du spectre d'ondes planes Obtention d'une expression analytique du champ Problème : validité de l'évaluation asymptotique Valide en zone lointaine Limitations en zone proche dues à la position du point col : une évaluation numérique est possible, mais coûteuse en temps de calcul.

18 Page 18/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction d'un faisceau gaussien

19 Page 19/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction d'un FG Contexte Cas de figure d'un FG interceptant une arête Bibliographie Méthodes de champs (OG/TGD, TUD...) Méthodes de courants (OP/TPD...)

20 Page 20/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Cas d'un plan semi-infini (problème 2D) : Deux solutions exactes : Utilisation du Spectre d'Ondes Planes (SOP) ; Théorie du Point Source Complexe (PSC). Une solution approchée : Hypothèse de l'Optique Physique (OP) Plan conducteur semi-infini Effet de l'arête ? EsEs

21 Page 21/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Utilisation du spectre d'ondes planes Le FG incident est décomposé en ondes planes ; On connaît le champ diffracté par chacune des ondes planes (Sommerfeld, 1896) ; Le champ diffracté par le FG correspond à la somme des ondes planes diffractées. Plan conducteur semi-infini E d FG Formulation exacte et intégrale.

22 Page 22/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG Plan conducteur semi-infini Paramètres : Incidence : 45° Polarisation TE Centre du faisceau sur l'arête Calcul du champ proche Spectre d'ondes planes (intégration numérique) Spectre d'ondes planes

23 Page 23/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Théorie du point source complexe Le rayonnement d'un point source dont les coordonnées sont complexes correspond approximativement à un FG paraxial. L'expression du champ diffracté par un point source complexe correspond à celle d'un point source réel (Stratton, 1941). Plan conducteur semi-infini r Formulation exacte et analytique. ~ ~ ~

24 Page 24/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG Point source complexe (expression analytique) Plan semi-infini : Point source complexe Plan conducteur semi-infini

25 Page 25/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Hypothèse de l'Optique Physique (OP) On calcule le courant électrique OP sur le demi-plan : On calcule le champ rayonné par ce courant : Évaluation asymptotique Expression analytique. Plan conducteur semi-infini ErEr H i (S) n ^ Formulation approchée et analytique.

26 Page 26/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG Optique Physique (expression analytique) Plan semi-infini : Optique Physique Plan conducteur semi-infini

27 Page 27/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 2D d'un FG Plan semi-infini : comparaisons des approches Spectre d'ondes planes (intégration numérique) Optique Physique (expression analytique) Champ rayonné lointain Différences : en zone proche et en dehors des directions principales de rayonnement Φ

28 Page 28/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction d'un FG Plan semi-infini : bilan OP PSC (FG parax.) SOP 2D 3D (vect.) Exact Analytique Approx. Analytique Approx. Analytique Exact 1 intégrale Exact 2 intégrales Astigmatis. Polarisation Compromis entre précision et temps de calcul

29 Page 29/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 S Diffraction 3D par un FG : surface finie et OP OP pour une surface finie (3D) : Évaluation asymptotique. Hypothèses : Point d'observation en zone lointaine ; Matrice de courbure du FG incident constante sur la surface éclairée ; Découpage du domaine d'intégration HHiHHi Courant de l'OP sur la surface S avec EsEs Forme canonique propice à l'utilisation de la méthode du point col

30 Page 30/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Développement asymptotique connu 1 er terme analytique Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique « Découpage » du domaine d'intégration (1)

31 Page 31/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 AB DC Même approche : (4 intégrales doubles avec 2 bornes) approximations uniformes A B C D 4 termes analytiques 2 Développements asymptotiques uniformes en cascade 4 termes an. Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique « Découpage » du domaine d'intégration (2) Finalement : le développement asymptotique global correspond à la somme de 1+4+4=9 termes analytiques.

32 Page 32/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 3D d'un FG Application numérique (1) dB Plaque : taille : 20 x20 FG incident : centre en (x,y,z)=(10,0,10 ) angle zenith : 0° angle azimuth : 0° Observation : angles zenith : -90° à 90° angle azimuth: 0° distance obs : 1000 composante E Légende : Intégration numérique OP Expr. Analytique OP Différence Très bonne correspondance entre intégration numérique et expression analytique.

33 Page 33/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 3D d'un FG Application numérique (2) dB Plaque : taille : 20 x20 FG incident : centre en (x,y,z)=(0,0,50 ) angle zenith : 0° angle azimuth : 0° Observation : angles zenith : -90° à 90° angle azimuth: 0° distance obs : 1000 composante E E Légende : Intégration numérique OP Expr. Analytique OP Méthode des Moments (MoM) Différence entre MoM et OP analytique Très bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique partout. Bonne correspondance entre OP et MoM pour les premiers lobes.

34 Page 34/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 3D d'un FG Application numérique (3) dB Plaque : taille : 10 x10 FG incident : centre distant de 30 angle zenith : 45° angle azimuth : 0° Observation : angles zenith : -90° à 90° angle azimuth: 0° distance obs : 1000 composante E E i =45° E Légende : Intégration numérique OP Expr. Analytique OP Méthode des Moments (MoM) Différence entre MoM et OP analytique E Légende : Intégration numérique OP Expr. Analytique OP Méthode des Moments (MoM) Différence entre MoM et OP analytique E Bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique partout. Bonne correspondance entre OP et MoM pour les premiers lobes.

35 Page 35/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 3D d'un FG Application numérique (4) Plaque : taille : 10 x10 FG incident : centre distant de 50 angle zenith : 45° angle azimuth : 0° Observation : angles zenith : -90° à 90° angle azimuth: 37° distance obs : 1000 composantes E et E dB i =45° obs =37° E E Légende : Intégration numérique OP Expr. Analytique OP Méthode des Moments (MoM) Différence entre MoM et OP analytique Bonnes correspondances entre OP numérique et OP analytique. Correspondances entre OP et MoM uniquement pour les premiers lobes.

36 Page 36/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Diffraction 3D d'un FG : synthèse Domaine de validité de la solution analytique Hypothèses : Haute-fréquence ; Optique Physique ; Observation en zone lointaine ; Matrice de courbure constante sur la surface Type de surface : conductrice et rectangulaire ; Taille minimum : 5λ x 5λ (OP) ; Pas de taille maximum ; Faisceaux gaussiens : Angle d'incidence maximum : environ 60° ; formulations pour FG paraxiaux ou champ lointain. Exemple de temp de calcul : MoM (référence) : 30 min OP numérique : 2 min OP analytique : 1 sec

37 Page 37/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Applications des FG

38 Page 38/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Applications des FG Utilisation du lancer de faisceaux gaussiens : Radômes diélectriques mono/multi-couches Propagation EM indoor Propagation EM outdoor (couverture telecom) ε r 3 ε r 2 ε r 1

39 Page 39/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Applications des FG : propagation Exemple : propagation EM sur de grandes distances Le champ incident sur le plan est décomposé en FG (paraxiaux); On compare avec la résolution de l'équation parabolique (code ONERA-LAME, EPEE3D) ; Le sol conducteur est modélisé par le théorème des images ; Indice de réfraction de l'atmosphère = 1 plan conducteur (1 GHz)

40 Page 40/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Faisceaux Gaussiens (45 min) Équation parabolique (6h30) Plan parallèle à la direction de propagation Applications des FG : propagation Champ réfléchi Champ procheChamp lointain

41 Page 41/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Applications des FG : propagation Plan transverse à la direction de propagation (Composante principale (E x ), à 500m du plan) coupe

42 Page 42/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Application des FG : propagation Exemple : Propagation dans une vallée dB ouverture circulaire uniforme ; décomposée en 472 FG(lointain) ; =30° (>20°).

43 Page 43/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Conclusion et perspectives

44 Page 44/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Conclusion Parois diélectriques très courbes : formulation du spectre d'ondes planes d'un FGC ; calcul numérique des interactions ; calcul analytique pour des parois en zone lointaine. Diffraction d'un FG 2D : 2 formulations exactes : SOP/PSC 1 formulation approchée : OP 3D : 2 formulations approchées : OP non uniforme Uniforme (sans singularités ou discontinuités) Applications des FG radômes contexte de propagation EM

45 Page 45/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Perspectives Mathématiques : Développements asymptotiques possibles ? Modification de la forme des FGC ? Diffraction 3D : triangle Physiques : Utilisation des FGC pour des radômes très courbes Applications des FG à des problèmes complets

46 Page 46/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Lancer de faisceaux gaussiens Surface de faible courbure diélectriques ou métalliques : faisceaux gaussiens « classiques ». Surface de forte courbure diélectrique ou métallique: faisceaux gaussiens conformes. Arête diffractante métallique : diffraction dun faisceau gaussien « classiques ». Radôme diélectrique/multicouches : f.g. « classiques » et conformes.

47 Page 47/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Merci pour votre attention

48 Page 48/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Re[exp(j k g(x))] pour g(x) = x^2 - 4x x Développement asymptotique d'intégrales Principe (phase stationnaire) x s Point stationnaire :

49 Page 49/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Configuration des mesures

50 Page 50/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Configuration des mesures Mesures de champs diffractés Dipôle

51 Page 51/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Application du spectre d'ondes planes d'un FGC Configuration

52 Page 52/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Application du spectre d'ondes planes d'un FGC Champs incidents sur la surface

53 Page 53/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Application du spectre d'ondes planes d'un FGC Champs transmis


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