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Université de Franche-Comté – UFR Sciences et Techniques TRANSFORMÉE EN ONDELETTES : APPLICATIONS AUX PROPRIÉTÉS DIÉLECTRIQUES ET MÉCANIQUES DE NANOSTRUCTURES.

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1 Université de Franche-Comté – UFR Sciences et Techniques TRANSFORMÉE EN ONDELETTES : APPLICATIONS AUX PROPRIÉTÉS DIÉLECTRIQUES ET MÉCANIQUES DE NANOSTRUCTURES CARBONÉES Rachel LANGLET 12 novembre 2004 LPM - UMR 6624, Laboratoire de Mathématiques et Applications – UMR 6623 CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

2 Motivations du travail de thèse I -Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.1 – Modèle dinteractions dipolaires 1.2 – Obtention des paramètres du modèle 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes II -Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz 2.3 – Déflexion de nanotubes III -Transformée en ondelettes 3.1 – Introduction 3.2 – Principes de base 3.3 – Applications Conclusion générale et perspectives

3 (n,0) « zig-zag » (ici un (9,0)) (n,m) « chiral » (ici un (10,5)) (n,n) « armchair » (ici un (5,5)) Motivations du travail de thèse SWNT – nanotubes mono-parois

4 Motivations du travail de thèse MWNT – nanotubes multi-parois Distance entre parois : d = 3,4 Å Notation : (n 1,m 1 2,m 2 3,m 3 )

5 Nombreuses applications et potentialités des nanotubes lélectronique grand public (écrans plats, transistors…) la nano-mécanique (nano-balances, nano-pinces…) les capteurs (détection de traces de molécules dangereuses, de protéines…) le renforcement de fibres la médecine (muscles artificiels…)… Modélisation dun capteur à base de nanotubes (grande sensibilité des nanotubes sous adsorption de molécules) Réponse électromécanique des nanotubes (NEMS) Nanotubes = petits rayons et longueurs souvent importantes Difficulté de prendre en compte la structure atomique Modèle dinteractions dipolaires ( NT SC) Application de la transformée en ondelettes dans nos calculs Modélisations mésoscopiques et/ou multi-échelles Motivations du travail de thèse

6 I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes

7 (2) T R (r i,r j ) C (r j ) (2) T R (r j,r i ) C (r i ) I d 3 3 E loc (r 1 ) E loc (r i ) E loc (r N ) E 0 (r 1 ) E 0 (r i ) E 0 (r N ) = Dipôles ponctuels en interactions : (Silberstein - Applequist) Propagateur électrostatique du vide : I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.1 – Modèle dinteractions dipolaires P mol E 0 C (r i ) N i 1 E loc (r i ) Champ local : i = 1,..,N (2) T R (r i,r j ) E loc (r i ) E 0 N j i C (r j ) E loc (r j ) (2) T R (r i,r j ) E (r i ) p (r j ) Paramètre a x z y Base du nanotube C C C Base locale C C C C ( r i ) = R t R B [E loc ] [E 0 ]

8 Renormalisation a (Å) polarisabilité (Å 3 ) a a I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle

9 a (Å) polarisabilité (Å 3 ) Renormalisation a = 1,2 Å a a I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle

10 a (Å) polarisabilité (Å 3 ) Nanotube (17,0) de 16,8 Å de longC 60 Propagateur non renormalisé Renormalisation a a a = 1,2 Å I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle

11 a (Å) polarisabilité (Å 3 ) Nanotube (17,0) de 16,8 Å de longC 60 Propagateur renormalisé Renormalisation a = 1,2 Å a a I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle

12 C C polarisabilités expérimentales du C 60 et du C 70 C60 76,5 ± 0,5 Å 3 (1) C ± 14 Å 3 (2) I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle (1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999 (2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001 C C C

13 C C (1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å 3 et C70 = 102 ± 14 Å 3 I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle C C C (1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999 (2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001 polarisabilités expérimentales du C 60 et du C 70 C60 76,5 ± 0,5 Å 3 (1) C ± 14 Å 3 (2)

14 C C (2) C// / C = 3,5 ± 0,7 (1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å 3 et C70 = 102 ± 14 Å 3 I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle C C C (1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999 (2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001 polarisabilités expérimentales du C 60 et du C 70 C60 76,5 ± 0,5 Å 3 (1) C ± 14 Å 3 (2)

15 C C (2) C// / C = 3,5 ± 0,7 (1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å 3 et C70 = 102 ± 14 Å 3 (1) et (2) I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle C C C (1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999 (2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001 polarisabilités expérimentales du C 60 et du C 70 C60 76,5 ± 0,5 Å 3 (1) C ± 14 Å 3 (2)

16 Permet de retrouver les polarisabilités transverses théoriques de Benedict et al. pour les tubes semi-conducteurs (TB + RPA) C 2,47 Å 3 et C 0,86 Å 3 C C C C C (2) C// / C = 3,5 ± 0,7 (1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å 3 et C70 = 102 ± 14 Å 3 (1) et (2) I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.2 – Obtention des paramètres du modèle (1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999 (2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001 polarisabilités expérimentales du C 60 et du C 70 C60 76,5 ± 0,5 Å 3 (1) C ± 14 Å 3 (2)

17 55 C C 70 Agrégats cfc de55 C 60 C60 = 82,32 ± 0,06 Å 3 (exp : 79 – 83 Å 3 ) 55 C 70 C70 = 98 ± 7 Å 3 (exp : 97 – 103,5 Å 3 ) Valeurs cohérentes avec les résultats sur les couches minces C70 / C60 = 1,19 assez proche des valeurs expérimentales (1,23 – 1,25) I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes

18 SWNT - Tubes de longueur finie Effet de la proximité des bords des tubes pour les plus petits tubes I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

19 SWNT - Tubes de longueur finie I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

20 E0E0 SWNT - Tubes de longueur finie I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

21 E0E0 SWNT - Tubes de longueur finie I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

22 E0E0 SWNT - Tubes de longueur finie I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

23 E0E0 SWNT - Tubes de longueur finie I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

24 E0E0 E0E0 SWNT - Tubes de longueur finie I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

25 E0E0 E0E0 SWNT - Tubes de longueur finie I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

26 SWNT - Tubes de longueur finie E0E0 E0E0 I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes (Ų) L L (Å) (Ų) L L (Å)

27 SWNT - Tubes infinis traités avec des conditions aux limites périodiques Dépendances en R et R² déjà obtenues par Benedict et al. (PRB 52, 1995) Perspectives : optimiser les calculs pour avoir (R,L) et (R,L) ___ = 50,13 R + 10,81 (Å 2 ) L ___ = 0,40 R 2 + 7,95 (Å 2 ) L (Ų) L R (Å) (Ų) L R² (Ų) I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes

28 MWNT - Tubes infinis traités avec des conditions aux limites périodiques N i 1 MWNT SWNT ( i ) MWNT SWNT ( N ) MWNT Interactions dipolaires SWNT SWNT externe / L [Å 2 ] (45,0)129 (36,0)89 (28,0)58 Polarisabilités axiales additives Lécrantage des parois internes accentue lanisotropie des tubes Réponse très forte à un champ électrique extérieur Polarisabilités transverses faibles I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes 1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes

29 Bilan et perspectives Modèle stable après élimination des divergences (renormalisation) Lois phénoménologiques pour NT (SC) en fonction de leur géométrie ( L) polymères linéaires conjugués, pour L petit Additivité de la polarisabilité axiale pour les MWNTs / exalté Applications concrètes du modèle

30 II - Applications

31 Modélisation dun capteur de gaz à base de nanotubes de carbone Modélisation de la déflexion de nanotubes sous champ électrique Capteur expérimental de léquipe de Rao (Clemson University) (S. Chopra et al. APL 83, 2003) II - Applications 0 V20 V (P. Poncharal et al. Science 283, 1999)

32 Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable à léchelle nanométrique 1 [ r NT ] [ ] I d [P][E] 1 + I d 0 V 1 r NT Tr [ r NT ] 3 II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées nanotube cylindre creux : SWNT V = 2 RLd avec d = 3,4 Å (distance inter-feuillets du graphite) MWNT V = 2 R Ld avec R rayon moyen, N nombre de parois

33 Résolution du système : Champ local E loc Dipôle global P C (r i ) E loc (r i ) N i 1 1 Champ macroscopique E E loc (r i ) N i 1 Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable à léchelle nanométrique 1 [ r NT ] [ ] I d [P][E] 1 + I d 0 V 1 r NT Tr [ r NT ] 3 II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées

34 E 0 suivant trois directions principales : P E Résolution du système : Champ local E loc Dipôle global P C (r i ) E loc (r i ) N i 1 Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable à léchelle nanométrique 1 [ r NT ] [ ] I d [P][E] 1 + I d 0 V 1 r NT Tr [ r NT ] 3 II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées 1 Champ macroscopique E E loc (r i ) N i 1

35 E 0 suivant trois directions principales : E0xE0x P x (1) P y (1) P z (1) P E x (1) E y (1) E z (1) E Résolution du système : Champ local E loc Dipôle global P C (r i ) E loc (r i ) N i 1 Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable à léchelle nanométrique 1 [ r NT ] [ ] I d [P][E] 1 + I d 0 V 1 r NT Tr [ r NT ] 3 II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées 1 Champ macroscopique E E loc (r i ) N i 1

36 E 0 suivant trois directions principales : P x (2) P y (2) P z (2) E0yE0y E x (2) E y (2) E z (2) Résolution du système : Champ local E loc Dipôle global P C (r i ) E loc (r i ) N i 1 Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable à léchelle nanométrique 1 [ r NT ] [ ] I d [P][E] 1 + I d 0 V 1 r NT Tr [ r NT ] 3 P x (1) P y (1) P z (1) P E x (1) E y (1) E z (1) E 1 Champ macroscopique E E loc (r i ) N i 1 II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées

37 E 0 suivant trois directions principales : Résolution du système : Champ local E loc Dipôle global P C (r i ) E loc (r i ) N i 1 P x (1) P y (1) P z (1) P x (2) P y (2) P z (2) P x (3) P y (3) P z (3) E0zE0z P E x (1) E y (1) E z (1) E x (2) E y (2) E z (2) E x (3) E y (3) E z (3) E Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable à léchelle nanométrique 1 [ r NT ] [ ] I d [P][E] 1 + I d 0 V 1 r NT Tr [ r NT ] 3 II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées 1 Champ macroscopique E E loc (r i ) N i 1

38 r NT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6 (3) ) graphite ABAB : 4, r gr 0 4, ,18 3, r NT 0 3, ,39 r gr = 3,65 (exp : 3 (1) – 3,3 (2) ) Nanotube (17,0) : Valeurs cohérentes avec la bibliographie II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées (1) Modestov et al. Surf. Sci 417, 1998 (2) Ergun et al. Verlag Chemie, Winchheim, 1968 (3) Li et al. Nano Lett. 3, ,39 2,18 4,39 3,81

39 R (Å) r NT R r NT r gr Pour R donné, L r NT Cste II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées r NT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6 (3) ) graphite ABAB : 4, r gr 0 4, ,18 3, r NT 0 3, ,39 r gr = 3,65 (exp : 3 (1) – 3,3 (2) ) Nanotube (17,0) : graphite 3,65

40 R (Å) r (2 C C )/3 1,93 Å 3 II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées r NT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6 (3) ) graphite ABAB : 4, r gr 0 4, ,18 3, r NT 0 3, ,39 r gr = 3,65 (exp : 3 (1) – 3,3 (2) ) Nanotube (17,0) :

41 R (Å) graphite C C II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées r NT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6 (3) ) graphite ABAB : 4, r gr 0 4, ,18 3, r NT 0 3, ,39 r gr = 3,65 (exp : 3 (1) – 3,3 (2) ) Nanotube (17,0) : r (2 C C )/3 1,93 Å 3

42 R (Å) graphite C C anneau datomes II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées r NT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6 (3) ) graphite ABAB : 4, r gr 0 4, ,18 3, r NT 0 3, ,39 r gr = 3,65 (exp : 3 (1) – 3,3 (2) ) Nanotube (17,0) : C C r (2 C C )/3 1,93 Å 3

43 R (Å) graphite C C anneau datomes nanotube infini C C II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées r NT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6 (3) ) graphite ABAB : 4, r gr 0 4, ,18 3, r NT 0 3, ,39 r gr = 3,65 (exp : 3 (1) – 3,3 (2) ) Nanotube (17,0) : C C r (2 C C )/3 1,93 Å 3

44 R (Å) graphite C C anneau datomes nanotube infini C C II - Applications 2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées dépend de lanisotropie de r NT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6 (3) ) graphite ABAB : 4, r gr 0 4, ,18 3, r NT 0 3, ,39 r gr = 3,65 (exp : 3 (1) – 3,3 (2) ) Nanotube (17,0) : C C C r (2 C C )/3 1,93 Å 3

45 Modélisation dun nanotube avec N d molécules adsorbées avec, (1) Hypothèse :– admolécules fixes pas de polarisabilités orientationnelles – faibles taux de recouvrement Volume V cste P 1 -1 P Polarisation = 0 ( r NT-mol Id ) B ii E 0 V N N d V N+N d i,i II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz (r i ) (r i ) B i,i superposition des (N+N d ) 2 matrices A 3 3 avec A ii = I d 3 3 et A ij indépendant du dipôle permanent des admolécules (2) T R (r i,r j ) (r j ) (2) T R (r i,r j ) E loc (r i ) E 0 N+N d j i (r j ) E loc (r j ) (2) T R (r i,r j ) N d j i (r j ) i = 1,..,N+N d (1) M. Arab et al. PRB 69, 2004, R. Langlet et al. JCP 121, 2004

46 1 L Effets de bords pour les plus grosses molécules : la portée de linteraction dipolaire dépasse la taille du tube Pentes dépendantes de la polarisabilité de ladmolécule II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz C 3 H 7 Br12,3 Å 3 NH 3 2,26 Å 3 O 2 1,57 Å 3 He0,2 Å 3 1/L (Å -1 ) 1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 0,000,050,10 r NT-mol r NT Étude du rapport = nanotube (17,0), R = 6,748 Å

47 mol xx + mol yy t = 2 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0, polarisabilité de l'adsorbat (ų) L( 1) (en Å) Z X Y abscisse : t II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = t 1 L

48 E0E0 E0E0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0, polarisabilité de l'adsorbat (ų) L( 1) (en Å) abscisse : t II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = t 1 L

49 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = R (Å) (en Ų) t f(R) = ––––– L( 1) 1 t 1 f(R) L

50 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = R (Å) (en Ų) t f(R) = ––––– L( 1) 1 t 1 f(R) L P E V

51 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = R (Å) (en Ų) t f(R) = ––––– L( 1) 1 t 1 f(R) L P E V E varie avec R

52 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = R (Å) (en Ų) t f(R) = ––––– L( 1) 1 t 1 f(R) L P E V V = 2 RLd E varie avec R

53 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = R (Å) (en Ų) t f(R) = ––––– L( 1) 1 t 1 f(R) L 1 dS r 3 P E V V = 2 RLd E varie avec R NT

54 1 dS r 3 P E V V = 2 RLd NT II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Étude du rapport = E varie avec R R (Å) (en Ų) t f(R) = ––––– L( 1) 1 t 1 f(R) L 1 1 – – L R(R+2h)

55 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz Calcul analytique simple confirmant les résultats obtenus r NT-mol r NT Étude du rapport = hauteurs moyennes dadsorption des admolécules 3,1 – 3,2 Å f(R) = 0,591R(R+2 3,23) R (Å) (en Ų) t f(R) = ––––– L( 1) 1 t 1 R(R+2h) L 1 dS r 3 P E V V = 2 RLd NT 1 1 – – L R(R+2h) E varie avec R

56 {1 nanotube + 1 admolécule } r NT-mol t r NT 0,591 L R(R+2h) additivité assez-bien vérifiée pour plusieurs admolécules Effets coopératifs faibles II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz t t1 + t2 + t3 …

57 Capteur expérimental de léquipe de Rao (Clemson University) 1 f 0 r NT adsorption f 0 f f 0 r NT-mol f r NT II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz

58 Résultats obtenus par Rao et al. sous 1500 ppm 1,012 1,010 1,008 1,006 1,004 1,002 1,000 HF N 2 O 2 CO CO 2 NH 3 H 2 O C 3 H 7 Br He Ar II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz f 0 2 f 2

59 Capteur modèle : Nanotube mono-paroi fini 1,012 1,010 1,008 1,006 1,004 1,002 1,000 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT (17,0) + 1 admolécule 27,36 Å HF N 2 O 2 CO CO 2 NH 3 H 2 O C 3 H 7 Br He Ar

60 1,012 1,010 1,008 1,006 1,004 1,002 1,000 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT (17,0) infini + 1 admolécule/période (25,9 Å) période = 25,9 Å Capteur modèle : Nanotube mono-paroi périodique HF N 2 O 2 CO CO 2 NH 3 H 2 O C 3 H 7 Br He Ar

61 1,012 1,010 1,008 1,006 1,004 1,002 1,000 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Bi-parois + 1 admolécule 27,36 Å Capteur modèle : Nanotube bi-paroi fini HF N 2 O 2 CO CO 2 NH 3 H 2 O C 3 H 7 Br He Ar

62 1,012 1,010 1,008 1,006 1,004 1,002 1,000 II - Applications 2.2 – Modélisation dun capteur de gaz r NT-mol r NT Bi-parois + 1 admolécule 27,36 Å Capteur modèle : Nanotube bi-paroi fini HF N 2 O 2 CO CO 2 NH 3 H 2 O C 3 H 7 Br He Ar

63 Bilan et perspectives Loi phénoménologique de sensibilité dun capteur (vérifiée analytiquement) grande sensibilité pour les petits tubes mono-parois Insensibilité aux dipôles permanents Effet additif sur 1 pour plusieurs admolécules Bon accord de nos résultats avec les résultats expérimentaux et théoriques Meilleur accord en considérant les taux de recouvrement par une loi de type Langmuir Accroître la sélectivité du capteur Désorption programmée en température pour différencier les admolécules par leurs énergies dadsorption Passer à un modèle continu avec les données issues du modèle atomistique, afin de pouvoir traiter des systèmes plus complexes (surface, fagots de tubes…)

64 Nanotube mono-paroi ouvert fixé à une extrémité Potentiel de Brenner entre atomes Champ extérieur statique et uniforme OPTIMISATION (M.J.D. Powell) E 0 P P II - Applications 2.3 – Déflexion de nanotubes Moment de flexion qui tend à aligner P avec E Énergie totale F E B E P Potentiel de Brenner Énergie de polarisation E 0 P

65 Nanotube Poutre cylindrique creuse continue R 2 - R 1 = 0,66 Å ~ épaisseur des orbitales P z Hypothèses : - contrainte répartie linéairement suivant laxe de la poutre - faibles déflexions II - Applications 2.3 – Déflexion de nanotubes 2 ( ) E x E z z (x) (3Lx ² x ³ ) 3 Y (R 2 4 R 1 4 ) L Équation de la ligne neutre

66 II - Applications 2.3 – Déflexion de nanotubes Nanotube (5,0) de 100 atomes ( L = 21 Å ) | z (x) | (Å) x (Å) E 0x 0,54 V.Å -1 E 0z 0,054 à 0,54 V.Å -1 // 361 ų 83 ų Déflexion sous champ électrique

67 II - Applications 2.3 – Déflexion de nanotubes Nanotube (5,0) de 100 atomes ( L = 21 Å ) | z (x) | (Å) x (Å) E 0x 0,54 V.Å -1 E 0z 0,054 à 0,54 V.Å -1 // 361 ų 83 ų Module dYoung moyen : Y = 1,8 TPa Déflexion sous champ électrique

68 II - Applications 2.3 – Déflexion de nanotubes Nanotube (5,0) de 100 atomes ( L = 21 Å ) | z (x) | (Å) x (Å) E 0x 0,54 V.Å -1 E 0z 0,054 à 0,54 V.Å -1 // 361 ų 83 ų Module dYoung moyen : Y = 1,8 TPa Déflexion sous champ électriqueDéflexion mécanique circulaire 4 E B Y d (R 2 (d/2) 2 ) 2,62 Ų/atome d 0,66 Å (n,m) L [Å] [Å] E B 1 [eV] E B 2 [eV] Y [TPa] (5,5)11, ,17-690,084,60 (5,5)11, ,17-690,154,60 (5,5)23, , ,504,77 (5,5)23, , ,664,78 (10,10)23, , ,74,93 (10,10)72, , ,34,86 Module dYoung moyen : Y 4,8 TPa (Z. Xin et al PRB 62, 2000)

69 Bilan et perspectives Première approche de la déflexion de tubes sous champ électrique Lissage possible des résultats par un modèle continu Permet daccéder aux données mécaniques (module dYoung…) Résultats corrects dans le cas de la déflexion purement mécanique Complexifier le modèle continu Contrainte non linéaire suivant la ligne neutre Accélérer le modèle atomistique en passant à un modèle multi-échelles Localement : modèle atomistique Globalement : modèle continu utilisant les lois de variations obtenues Extension à des tubes de tailles plus réalistes, nano-balances…

70 III - Transformée en ondelettes

71 3.1 – Introduction Algorithmes en N³ algorithmes en ~N og (N)

72 III - Transformée en ondelettes 3.1 – Introduction Transformée en ondelettes rapide (FWT) convolution avec une gaussienne discrétisation + f(t)e i t dt Transformée de Fourier continue f( ) = ^ Transformée de Fourier fenêtrée + f(t) g(t-t 0 )e i t dt f(t 0, ) = ^ + Transformée en ondelettes continue da,b =da,b = f(t) dt ~ 1 ___ a t b ___ a ^ + Transformée en ondelettes discrète dj,k =dj,k = 2 j/2 f(t) (2 j t k) dt ~ ^ FT WT Transformée de Fourier rapide (FFT) (a,b) = 1 k __, __ 2 j discrétisation

73 III - Transformée en ondelettes 3.1 – Introduction La transformée en ondelettes mesure la similitude entre le signal et londelette pour ses différentes dilatations ( résolution) et translations ( localisation temporelle) V j+1 V j W j échantillonnage de départ Approximation Détails Dans le cas diadique V j Fonctions déchelles jk (x) 2 j/2 (2 j x k) } k Z approximation W j Ondelettes jk (x) 2 j/2 (2 j x k) } k Z détails V j W j {0} Bases bi-orthogonales ~ ~ j Z V j W j et V j W j = Ex : Haar ANALYSES MULTI-RÉSOLUTIONS {0} … V j V j+1 … L²

74 III - Transformée en ondelettes 3.2 – Principes de base ^ ^ ^ f (t) c j+1,k (2 j+1 t k) c j,k (2 j t k) + d j,k (2 j t k) k VjVj V j+1 WjWj f(t) échantillonnage comportant 2 points détailsapproximation k j,k (t) = h k j+1,2k+k (t) k k j,k (t) = g k j+1,2k+k (t) Relations de la double échelle :relient les ondelettes et les fonctions déchelle entre deux niveaux de résolution successifs Espace direct : Idem pour lespace dual… ~ h ^ c j+1,2k+ ^ c j,k ~ g ^ c j+1,2k+ ^ d j,k ^ d j, ^ c j, ^ c j+1,k h k 2 + g k 2 Relations de reconstruction :Relations de décomposition : k détails approximation

75 signal ondelette d = 0,0041 Niveau de résolution J+1 Translations

76 signal ondelette d = 0,0041 Niveau de résolution J+1 d = 0,7195 Translations

77 signal ondelette d = 0,0041 Niveau de résolution J+1 d = 0,7195d = 0,5001 Translations

78 signal ondelette d = 0,0041 Niveau de résolution J+1 d = 0,7195d = 0,5001 signal ondelette d = 0,0003 Niveau de résolution J DilatationsTranslations

79 signal ondelette Niveau de résolution J+1 signal ondelette d = 0,8287 d = 0,0041d = 0,7195d = 0,5001 d = 0,0003 Niveau de résolution J DilatationsTranslations

80 signal ondelette Niveau de résolution J+1 signal ondelette d = 0,7463d = 0,8287 d = 0,0041d = 0,7195d = 0,5001 d = 0,0003 Niveau de résolution J DilatationsTranslations

81 III - Transformée en ondelettes 3.2 – Applications matrice caractérisant les interactions dipolaires (2) T R (r i,r j ) C (r j ) (2) T R (r j,r i ) C (r i ) I d 3 3 E loc (r 1 ) E loc (r i ) E loc (r N ) E 0 (r 1 ) E 0 (r i ) E 0 (r N ) =

82 III - Transformée en ondelettes 3.2 – Applications matrice caractérisant les interactions dipolaires => partition (Y. Li) WT(colonnes) WT(lignes)

83 III - Transformée en ondelettes 3.2 – Applications matrice caractérisant les interactions dipolaires => partition (Y. Li) Transformée en ondelettes dinterpolation de la matrice 1er niveau (spline dordre 4) Niveau maximal (spline dordre 4) WT(colonnes) WT(lignes)

84 III - Transformée en ondelettes 3.2 – Applications Faible erreur sur méthode Inefficacité de la décomposition sur un seul niveau Précision conservée pour la décomposition complète même à 70 – 80 % de compression

85 Bilan et perspectives Transformée en ondelettes efficace avec une décomposition sur plusieurs niveaux précision meilleure que 3% sur jusquà % de compression Algorithme de résolution linéaire en N og(N) au lieu de N 3 Exprimer directement les opérateurs (propagateur électrostatique) dans une base dondelettes (T. A. Arias - DFT ) Seuillage : seuls les coefficients de la matrice > seuil sont calculés doù libération de la mémoire vive Restriction : varier la précision de la représentation en ondelettes en fonction des besoins Extension à des modélisations plus réalistes par gain de mémoire et de temps

86 Conclusion générale Modèle dinteractions dipolaires renormalisé Passer à un modèle de polarisabilités dynamiques voir hyperpolarisabilités… (L. Jensen, thèse de doctorat, 2004) Résultats vérifiés par lexpérience (capteur, Rao et al.) loi de sensibilité Passer à un modèle continu utilisant les résultats du code Étudier des géométries plus complexes (fagots de tubes, « spaghettis ») Transformée en ondelettes : outil performant pour réduire la taille mémoire nécessaire et accélérer les calculs ( % de compression) Exprimer directement les opérateurs (propagateur électrostatique) dans une base dondelettes adaptée à la géométrie du problème

87 LPM - UMR 6624, Laboratoire de Mathématiques et Applications – UMR 6623 REMERCIEMENTS Cl. Girardet, D. Hoffmann J.-M. Vigoureux M. Devel et M. Meyer Ph. Lambin, P. Senet et J.-P. Salvetat F. Picaud, M. Arab pour leur collaboration V. Pouthier, S. Picaud et Ch. Ramseyer pour leurs réponses à mes questions Toute léquipe du LPM pour son accueil Toute léquipe du LPS de Namur pour leur accueil Le Conseil Régional pour son soutien financier …et enfin tous les membres de lAFFDU ainsi que Cl. Filiatre


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