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Statistiques à une variable. Indicateurs de tendances.

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1 Statistiques à une variable

2 Indicateurs de tendances

3 Sommaire Exemple Indicateurs de tendance centrale –Moyenne arithmétique simpleMoyenne arithmétique simple – Moyenne arithmétique pondéréeMoyenne arithmétique pondérée –La médianeLa médiane –ExercicesExercices Indicateurs de dispersion 1.ÉtendueÉtendue 2.quartilesquartiles Retour

4 Sommaire Autres exemples –Série quantitative discrète avec peu de valeursSérie quantitative discrète avec peu de valeurs –Série quantitative discrète avec de nombreuses valeursSérie quantitative discrète avec de nombreuses valeurs – série quantitative continuesérie quantitative continue Retour

5 Exemple Le tableau suivant regroupe les notes de mathématiques de 3 élèves dune seconde bac pro 3 ans Pour mettre une appréciation, le professeur de mathématiques doit analyser ces résultats. Quelle appréciation mettriez-vous pour chacun de ces trois élèves? Antoine1011,51210,511 Martin Guillaume Retour

6 Réponse: Pour comparer des séries un seul indicateur nest pas suffisant MoyenneMédianeÉtendue Antoine11, = 2 Martin10, = 8 Guillaume11, = 12 Retour

7 En effet la moyenne des trois élèves est autour de 11. Pour Antoine, le travail est régulier: Létendue est faible (2) Toutes ses notes sont autour de 11 Pour Martin, le travail est irrégulier: Et 50 % de ses notes sont inférieures à 8 la note 16 remonte la moyenne Pour Guillaume, le travail est irrégulier, létendue est12 mais 50 % de ses notes sont supérieures à 13. la note 6 fait baisser la moyenne. Conclusion: Si le bulletin ne rendait compte que de la moyenne, cela donnerait une vision partielle du travail dun élève. Retour

8 Indicateurs de tendance centrale 1.Moyenne arithmétique simple Le moyenne arithmétique de N nombres x 1 ; x 2 ; …; x n est: Exemple: La moyenne des notes, 8,15,8, 16, 8, 11,8 est: Retour

9 2. Moyenne arithmétique pondérée Le moyenne arithmétique pondérée de nombres x 1 ; x 2 ; …; x p affectés des effectifs n 1 ; n 2 ; …; n p est: Exemple: La moyenne des notes affectées dun coefficient, (8; 4), (10; 2), (11; 1), (12,5; 3), (11,5; 2) est: Retour

10 3. La médiane La médiane dune série de valeurs rangées par ordre croissant est le nombre qui partage la série en deux séries ayant le même effectif. Ainsi 50% des valeurs de la série sont inférieures à la médiane et 50 % sont supérieures à la médiane. Retour

11 3. La médiane Exemple: Cas où le nombre des valeurs est impair Cas où le nombre des valeurs est pair On a ordonné les retraits dargent (en ) fait par une personne sur un mois Me = 60 On a ordonné les retraits dargent (en ) fait par une personne sur un mois Retour

12 Exercices Retour 1 à 9 page page 30

13 Indicateurs de dispersion 1.Étendue dune série statistique Létendue (E) dune série statistique est la différence entre la plus grande valeur du caractère (Maximum) et la plus petite (Minimum). Exemple: Létendue des notes, 2; 15; 8; 16; 8; 11; 18 est: Retour E = Max - Min E = 18 – 2 = 16

14 Indicateurs de dispersion Le premier quartile Q 1 : plus petite valeur du caractère correspondant au moins au quart de leffectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves dune classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. Retour N = 18; N/4 = 4,5 arrondi à lentier supérieur 5 La 5 e note est 7 Le premier quartile Q 1 = 7: Il y a au moins 25% des notes inférieures ou égales à 7 2. Quartiles

15 Indicateurs de dispersion Le deuxième quartile Q 2 : plus petite valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de leffectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves dune classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. Retour N = 18; N/2 = 9 La 9 e note est 10 Le deuxième quartile Q 2 = 10: Il y a au moins 50% des notes inférieures ou égales à 10

16 Indicateurs de dispersion La médiane Me: valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de leffectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves dune classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. Retour N = 18; est pair donc Ici, la médiane Me = Q 2 = 10 Il y a autant de notes inférieures à 10 que supérieures à 10

17 Indicateurs de dispersion Le troisième quartile Q 3 : plus petite valeur du caractère correspondant au moins au trois quarts de leffectif total Exemple: Notes obtenues par 18 élèves dune classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. Retour N = 18; N×0,75 = 13,5 arrondie à lunité supérieure 14 La 14 e note est 15 Le troisième quartile Q 3 = 15. Il y a au moins 75% des notes inférieures ou égales à 15

18 Indicateurs de dispersion Le quatrième quartile Q 4 : plus petite valeur du caractère correspondant au moins à leffectif total; cest le Max Exemple: Notes obtenues par 18 élèves dune classe, rangées par ordre croissant: 2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20. Retour N = 18; La 18 e note est 20 Le quatrième quartile Q 4 = % des notes sont inférieures ou égales à 20

19 Autres exemples de calculs dindicateurs Série quantitative discrète avec peu de valeurs Exemple 1: Notes dun élève, rangées par ordre croissant: Retour 12×0,25 = 3 donc Q1 = 3 qui est la 3 e valeur; 12×0,50 = 6 donc Q2 = 12 qui est la 6 e valeur; 12×0,75 = 9 donc Q3 = 15 qui est la 9 e valeur;

20 Autres exemples de calculs dindicateurs Retour N = 12: Le quatrième quartile Q 4 = % des notes sont inférieures ou égales à 20

21 Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Exemple 2: Des jeunes de 12 à 25 ans ont été interrogés sur le temps découte des radios musicales chaque semaine (que ce soit sur baladeur, sur autoradio ou dans des lieux publics). Lenquête a fourni la répartition ci-dessous. Comment décrire la répartition des réponses de ces auditeurs? Retour

22 Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Questionnaire: Lécoute de la radio chez les adolescents et les jeunes adultes a beaucoup baissé ces dernières années. Daprès vous, quel critère principal peut expliquer cette diminution? Quelle est la population de cette enquête? Est-il possible de déterminer une durée moyenne découte? Pour quelle durée découte la moitié des auditeurs sont concernés? À partir de quelle valeur atteint-on ¾ des réponses, soit 75%? Retour

23 Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) Produits ni×xi Effectif cumulé total 145 1, , , , TotalN = ×1 = ×1,5 = ×2 = ×2,5 = ×3 = ×3,5 = ×4 = ×4,5 = 292,5 71×5 = , La moyenne: Le temps moyen est de 2,98 heures soit ( 2h58min48s) Retour

24 Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) Produits ni×xi Effectif cumulé total 145 1, , , , TotalN = ×1 = ×1,5 = ×2 = ×2,5 = ×3 = ×3,5 = ×4 = ×4,5 = 292,5 71×5 = , Leffectif total est 860 (nombre pair), donc la médiane Me est la moyenne des valeurs des 430 e et 431 e rangs. Cette médiane, ici, est égale à 3 heures 524 Retour

25 Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) Produits ni×xi Effectif cumulé total 145 1, , , , TotalN = ×1 = ×1,5 = ×2 = ×2,5 = ×3 = ×3,5 = ×4 = ×4,5 = 292,5 71×5 = , Létendue de cette série est: E = Max – Min = 5 – 1 = 4 heures 524 Retour

26 Premier quartile Q1 Temps d'écoute en heure (xi) Effectif cumulé total 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Total On prend comme rang du premier quartile Q1 leffectif cumulé qui suit immédiatement 215; soit 225; donc Q1 = 2 h 524 Retour

27 Deuxième quartile Q2 Temps d'écoute en heure (xi) Effectif cumulé total 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Total On prend comme rang du deuxième quartile Q2 leffectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 524; donc Q2 = 3 h 524 Retour

28 Troisième quartile Q3 Temps d'écoute en heure (xi) Effectif cumulé total 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Total On prend comme rang du troisième quartile Q3 leffectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 646; donc Q3 = 3,5 h = 3h 30 min 524 Retour

29 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11 [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 On commence par compléter la colonne des effectifs cumulés et la cellule de leffectif total N. Retour Calcul des quartiles dune série quantitative à valeurs continues Exemple: Calculons les quartiles de la série suivante

30 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11 [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 Donc Q1 est compris dans lintervalle Retour Calcul du premier quartile Q [20; 30[

31 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11 [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 Retour Calcul du premier quartile Q

32 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11 [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 Retour Calcul du deuxième quartile Q Donc Q2 est compris dans lintervalle[20; 30[

33 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11 [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 Retour Calcul du deuxième quartile Q

34 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11 [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 Retour Calcul du troisième quartile Q Donc Q3 est compris dans lintervalle[40; 50[

35 Caractère Effectif Effectifs cumulés [10; 20[ 11 [20; 30[ 15 [30; 40[ 10 [40; 50[ 14 Total 50 Retour Calcul du troisième quartile Q


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