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La résolution de problèmes au cycle 3 Animation pédagogique – Aurillac 2 – Janvier 2011.

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1 La résolution de problèmes au cycle 3 Animation pédagogique – Aurillac 2 – Janvier 2011

2 Sommaire: - Les textes - Quelques définitions: problème/problème mathématique - Les caractéristiques des problèmes mathématiques - Quels problèmes proposer? - La typologie des problèmes mathématiques - Les compétences sollicitées - Les différents niveaux résolutions - La démarche de résolution - Les difficultés rencontrées par les élèves - Quelques pistes

3 Rappel des textes : « Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, lélève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue dapprendre à résoudre des problèmes. » Instructions Officielles de juin Nombres et calculs: La résolution de problèmes liés à la vie courante permet dapprofondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement. 2- Géométrie: Les problèmes de reproduction ou de construction géométriques mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont loccasion dutiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé. 3- Grandeurs et mesures: La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et les capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner sens. 4- Organisation et gestion de données: Les capacités dorganisation et de gestion de données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante….

4 Définitions dun point de vue de la psychologie cognitive : « Par problème, il faut entendre toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités dexploration, dhypothèse et de vérification, pour produire une solution. » G. Vergnaud – Psychologie du développement cognitif et didactique des Mathématiques – Revue Grand N n°38 – 1986 « Il y a problème lorsque le sujet ne dispose pas immédiatement dune réponse de routine applicable à la situation. » M. Richelle, R. Droz

5 Définition du problème mathématique : Un problème mathématique est constitué dun ensemble dinformations… …faisant lobjet dun questionnement ou dune consigne… …ce qui nécessite une recherche ou un traitement… …qui implique lutilisation de notions et doutils mathématiques. La présentation de ces informations peut être variée: texte, tableau, schéma, graphique, dessin… Ce questionnement est souvent explicite: formulation dune question, mais peut être à la charge de celui qui résout le problème. Il faut construire un chemin pour parvenir à une solution. Les notions et les outils en font la spécificité du problème mathématique…

6 Les caractéristiques des problèmes mathématiques: Lénoncé écrit dun problème utilise à la fois des écrits narratifs, informatifs et prescriptifs: Pb1: A la fin dune partie de cartes, Mario et Théo se partagent les 24 cartes quils ont gagnées. Mario en prend 13 et donnent les autres à Théo.« Ce nest pas juste! » dit Théo. Pourquoi? Dans une lecture narrative, il faut imaginer, se représenter lhistoire racontée dans lénoncé, en faisant appel à son vécu ou à ses connaissances. Pb2: La lecture prescriptive nécessite de déterminer le problème posé, de sélectionner les informations et de les traiter à partir de la consigne donnée.

7 La partie injonctive de lénoncé correspond à la consigne à exécuter. La consigne peut être un ordre: la tâche attendue est explicite; des verbes daction sont utilisés à limpératif. La consigne peut être une question: la tâche attendue est implicite. Calcule le nombre de pépites que chaque chercheur dor aura. Trouve le chemin le plus court. Trace le triangle EDF identique à BCD. Combien y avait-il de personnes dans le bus avant larrêt? Pourquoi le fauteuil n°89 devient-il le fauteuil C5? Peut-elle voir son émission préférée?

8 Quels problèmes proposer ? Varier les domaines … Numérique, Géométrique, Logique. … et les formes dénoncés : - Forme écrite: textes, images, dessins, tableaux, graphiques, - Forme orale - Pour introduire ou approfondir des notions nouvelles - Pour vérifier les acquisitions - Pour chercher Dans quel but ? On découpe des rubans de 12 cm dans une bande de 102 cm? Combien de rubans peut-on découper?

9 La typologie des problèmes : TYPEFONCTIONPLACE EXPL La situation problème ou problème de découverte (pour apprendre) Construction dune connaissance nouvelle En début de situation dapprentissage ou de séance Le problème dapplication (pour apprendre) Entraînement à la maîtrise du sens dune connaissance nouvelle Après la construction dune connaissance

10 Le problème de réinvestisse ment (pour apprendre) Utilisation dune connaissance dans un contexte différent de celui dans lequel on la découverte Pour enrichir le sens dune connaissance et son champ dapplication Un chef de pirates partage équitablement 132 pièces dor entre les 25 hommes de sa bande. Quel sera la part de chacun? Restera-t-il des pièces? Le problème complexe ou dintégration (pour apprendre) Utilisation conjointe de plusieurs connaissances Après un travail sur diverses connaissances La cantinière a reçu 32 lots de 4 yaourts. Elle veut les distribuer équitablement entre les 5 classes de Maternelle. Combien en donnera-t-elle? Lui en restera-t-il? Le problème ouvert (pour chercher) Apprendre à chercher Indépendant des apprentissages notionnels Xavier a le quart de lâge de sa sœur Sonia. Lâge de leur mère est le quadruple de lâge de Sonia. Si on ajoute leur trois âges, on trouve 42 ans. Quel est lâge de chacun? Rallye maths CM Cantal

11 Donc résoudre un problème cest… - Lire lénoncé et lui donner du sens. - Avoir une représentation sémantique globale correcte du problème. - Réaliser le passage entre les informations et les notions ou outils grâce à des reformulations orales et écrites diverses (récit oral de « lhistoire » du problème, des dessins, des schémas, des écritures mathématiques, des opérations…) - Disposer et utiliser convenablement les notions et les outils mathématiques.

12 Les compétences sollicitées : 1 – Les compétences de maîtrise de la langue orale et écrite : - Savoir distinguer un énoncé de problème dun autre type décrit - Savoir identifier le contexte relatif à lénoncé: de quoi sagit-il? - Savoir rechercher des informations dans lénoncé et répondre à des questions posées sur lénoncé - Savoir distinguer des informations utiles et inutiles pour une question donnée ou pour la totalité du problème - Savoir repérer des informations manquantes et compléter un énoncé - Savoir associer diverses informations présentées sur des supports différents (images, tableaux, dessins, textes..) - Savoir ré-agencer un ou plusieurs énoncés dans le désordre - Savoir résumer un énoncé complexe en un énoncé plus simple - Savoir rédiger la réponse à la question posée

13 2 - Les compétences mathématiques : - Savoir choisir les bons outils (de calcul, de tracé..) - Savoir mener à bien les calculs - Savoir déduire de nouvelles informations à partir dinformations présentes - Savoir rédiger la solution du problème - Comprendre quun problème a une ou plusieurs solutions - Comprendre que la démarche de résolution de problème nest pas unique 3 - Les compétences transversales : - Savoir se représenter la situation, ne pas oublier ce quon cherche - Prendre des initiatives, au risque de se tromper - Savoir se concentrer assez longtemps: réfléchir, échanger, changer de point de vue - Savoir expliquer ce quon a fait, communiquer sa démarche - Savoir sorganiser et gérer des données - Valider la plausibilité de son résultat, savoir valider son résultat ou celui dun autre.

14 On comprend mieux la représentation des élèves sur ce quest un problème :

15 Les différents niveaux de résolution Exemple dun problème : Lundi soir, Paul a commencé la lecture dun roman de 128 pages. Chaque soir, il lit 15 pages. Après sa lecture jeudi soir, combien de pages lui restera-t-il encore? 1 er niveau: lélève « mime » lénoncé soit : - en utilisant ses doigts si la quantité recherchée le lui permet, - en utilisant du matériel, - soit en dessinant, en représentant 2 ème niveau: lélève utilise des procédures intermédiaires: De lundi à jeudi : 4 jours donc 15 x 4 = 6O = 68 Il lui reste 68 pages à lire. 3 ème niveau: lélève utilise la procédure experte (il reconnait immédiatement lopération pertinente) 128 – (15 x 4) = 68 Il lui reste 68 pages. Lundi: 15, Mardi: 15 Mercredi: 15, Jeudi: = 60 Jeudi il aura lu 60 pages ….. = 128

16 La démarche de résolution de problèmes Appropriation de lénoncé: -Se représenter lhistoire -Traiter linformation -Rechercher la question Phase de recherche: -Tâtonnements: essais/erreurs -Recherche dune solution, par écrit Mise en commun/Confrontation: -Explicitation des procédures -Argumentation/débat Synthèse et institutionnalisation: -Validation des procédures pertinentes -Institutionnalisation des propriétés découvertes Phase individuelle Phase individuelle ou en groupes Phase collective

17 Quelques difficultés rencontrées par les élèves : Le champ sémantique et le lexique : Expl1: Régis vend sa récolte de pêches. Il fait 15 caissettes de 24 pêches au prix de 4 la caissette. Sachant que lachat de toutes les caissettes vides lui a coûté 5, quel est son bénéfice? Expl2: A lécole il y a 622 élèves. Parmi les 341 filles, 149 mangent à la cantine, tandis que 135 garçons déjeunent chez eux. Combien y a-t-il délèves dans chaque catégorie? Des informations inutiles : Expl: Marie est partie 15 jours à la mer avec ses 2 amies. Elle a fait 124 photos quelle veut ranger dans un album de 20 pages. Elle peut ranger 5 photos par page. Rangera-t-elle toutes ses photos? Explique. Laccumulation dinformations : Expl: Le mercredi matin, lémission de télévision préférée de Léa commence à 8h35. Elle dure 20 min. Léa a un cours de danse 10 min après la fin de lémission. Il dure 1h. A quelle heure son cours de danse commence-t-il ? Sera-t-elle chez elle à 10h? Justifie ta réponse. Les calculs intermédiaires : Expl: Un vigneron a dans sa cave 10 fûts de 2hL de vin quil doit mettre en bouteilles de 75 cL. On lui a livré 2600 bouteilles. En aura-t-il assez ?

18 Autres difficultés récurrentes, recensées par lINRP : - Manque de familiarité avec lénoncé proposé: trop décontextualisé, pas intéressant, rapport à la réalité faussé - Difficultés opératoires: techniques non maîtrisées, pas destimation dordre de grandeur du résultat, manque de pratique en calcul mental - Non mémorisation des données à court terme - Difficultés dans le domaine du raisonnement - Manque de concentration suivie: abandon rapide « Plus lélève est en difficulté, plus il va chercher à trouver des indices qui vont lui permettre de répondre à la question, plutôt que de chercher à répondre au problème. » Jean Paul Collette – Histoire des mathématiques – Ed du Renouveau Pédagogique

19 Comment aider les élèves ? - Le cas particulier des problèmes pour chercher : Énoncé généralement court. Pas de problème de lexique ou de tri dinformations. Pas de réponse immédiate possible: passage par la manipulation, la représentation Démarche: appropriation individuelle, recherche en groupe et mise en commun Le problème à chercher a avant tout des objectifs méthodologiques On rencontrera des problèmes dont la résolution privilégie le recours à la déduction, ou nécessite une organisation pour obtenir toutes les possibilités ou encore lélève procèdera par essais : Jai tiré 15 cartes dun paquet qui avait des ou des Jai compté le nombre de côtés : 54. Combien y a-t-il de cartes avec des carrés et de cartes avec des triangles ?

20 Recherche de quelques élèves:

21 - Le cas des problèmes pour apprendre: Travailler la forme écrite de lénoncé: le champ sémantique, le lexique, les informations, les données…lénoncé Mais aussi la forme orale: penser aux petits problèmes oraux qui requièrent attention, sélectionpetits problèmes oraux

22 Bibliographie : - Maths en mots CM1 – CM2 - Des mots pour comprendre et résoudre des problèmes - Jean-Luc Brégeon – BORDAS - ERMEL – Apprentissages numériques et résolution de problèmes - Dossier réalisé par lIREM de la Réunion: fichier daide à la résolution de problèmes en cycle 3fichier daide à la résolution de problèmes en cycle 3 - Concepts clés et situations-problèmes – Tomes 1 et 2 – Odette Bassis - HACHETTE - La résolution de problèmes au CM – N. Denizart, A. Desort, A. Jacquart – HACHETTE - Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes – A. Descaves – HACHETTE - Résolution de problèmes au cycle 3 – Sylvie Gamo – Enseigner aujourdhui BORDAS

23 Ressources internet : - Lecture et compréhension dénoncés – Editions Jocatop – Classeurs:CD Rom - Les enquêtes de lInspecteur Lafouine – Ch Souchard – Editions Buissonières - Des progressions pour le cycle 3 construites à partir des ERMEL : sud/pedagogie/ressources/ResProb/progressions/progressions.htm - Les liens de Pernoux en maths incontournables : - Liste de liens en maths pour enseignants et élèves : - Exercices en ligne pour élèves : - Liste de liens en maths à lAcadémie de Dijon pour enseignants et élèves : - Jean Louis Sigrist : Site très complet pour les élèves comme pour les enseignants - Le rallye maths Cantal et les valises spécifiques disponibles dans les circonscriptions :


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