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1 « Le loto, cest un impôt sur les gens qui ne comprennent pas les statistiques. » (Anonyme) Journées interacadémiques de Nancy 1er décembre 2009 Statistiques.

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1 1 « Le loto, cest un impôt sur les gens qui ne comprennent pas les statistiques. » (Anonyme) Journées interacadémiques de Nancy 1er décembre 2009 Statistiques et Probabilités en Seconde Trois thèmes de réflexion Robert FERACHOGLOU Académie de DIJON

2 I.Questions de modélisation 2 II. Utiliser des modèles de référence III. Comment décider ? Trois axes de réflexion « Beaucoup de réflexion et non beaucoup de connaissances, voilà à quoi il faut tendre » (Démocrite)

3 I.Questions de modélisation 3 1. De quoi sagit-il ? 2. La question de lobjectivité 3. Quest-ce quun modèle satisfaisant ?

4 I.1. De quoi sagit-il ? 4 Décrire les « issues » finies : x 1, x 2, …, x n (univers ) Leur associer des nombres positifs : p 1, p 2, …, p n avec p 1 + p 2 + …+ p n = 1 Définir un événement et sa probabilité Le modèle Quatre questions sur le modèle Est-il mathématiquement juste ? Est-il unique ? Lexpérience aléatoire induit-elle un modèle objectif ? Comment un modèle peut-il être satisfaisant ?

5 5 A d A B Description du protocole objectivité I.2. Lobjectivité : le paradoxe de Bertrand

6 En seconde : les neuf cases Protocole 1 : on choisit au hasard une case jaune parmi les cinq. Protocole 2 : on choisit au hasard une colonne parmi les trois, puis une case jaune dans la colonne choisie. Protocole 3 : on choisit au hasard une ligne parmi les trois, puis une case jaune dans la ligne choisie

7 En seconde : le problème des bancs 7 Protocole 1 : on place dans une urne trois boules marquées A, B, C correspondant aux trois bancs. Le premier amoureux choisit une boule au hasard, la remet dans lurne, et va sasseoir au hasard sur lune des deux places du banc indiqué. Le deuxième procède de même. Protocole 2 : on place dans une urne six boules marquées 1, 2, 3, 4, 5, 6, correspondant aux six places. La première personne tire une boule au hasard et va sasseoir à la place indiquée ; la deuxième personne procède de même avec les cinq boules restantes. Problème Dans un jardin se trouvent trois bancs publics de deux places chacun. Deux amoureux entrent et sassoient au hasard. Quelle est la probabilité quils sassoient côte à côte ?

8 Le carré parfait au hasard 8 Protocole 1 : on place dans une urne neuf boules numérotées de 1 à 9, on tire une boule au hasard et le carré choisi est le carré du numéro tiré. Protocole 2 : on place dans une urne 99 boules numérotées de 1 à 99, on tire une boule au hasard et le carré choisi est le plus grand carré inférieur ou égal au numéro tiré. Protocole 3 : on place dans une urne cinq boules numérotées 1, 4, 5, 6, 9, on tire une boule au hasard, puis on choisit au hasard un carré ayant pour chiffre des unités le numéro tiré. Problème On choisit au hasard le carré dun entier compris entre 1 et 9. Donner la loi de probabilité des différentes issues : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

9 En seconde : la photo de groupe 9 Protocole 1 : on place les quatre chaises en ligne. Protocole 2 : on place les quatre chaises en carré. Protocole 3 : on place les quatre chaises « en rond ». Problème Le photographe, place quatre amis Anne, Benoît, Corentin et Diane sur quatre chaises pour une photo. Quelle est la probabilité que les deux filles soient placées sur des chaises voisines ?

10 I.3. Approche fréquentiste et modèle satisfaisant 10 Observer statistiquement la stabilisation des fréquences Définir la probabilité comme une « fréquence idéale » (ou valeur limite) Lapproche fréquentiste La loi des grands nombres Bernoulli (1713), Borel (1905), Kolmogorov (1933) n expériences, Cohérence a posteriori : si le modèle est bon, on doit avoir dans « presque » tous les cas.

11 II. Utiliser des modèles de référence Expériences aléatoires de référence 2. Analyse de quelques problèmes 3. Quelques retours dune expérimentation en classe

12 II. 1. Expériences aléatoires de références 12 Lancers de 2, 3, … dés (tableau, arbre des issues) Lancers de pièces : 2, 3, …, n Tirages dans une urne avec remise Modélisations standards avec listes, tableaux, arbres Questions Jusquoù aller dans létude des modèles ? Faut-il envisager des épreuves répétées non identiques ? Faut-il envisager des tirages sans remise ? Doit-on présenter des arbres de probabilité ?

13 II. 2. Analyse de quelques problèmes 13

14 II. 3. Quelques retours dune expérimentation en classe 14 Classe de 2 nde de 31 élèves dont 20 en difficulté – Lycée Henri Parriat – MONTCEAU LES MINES (ZEP) Le recours aux modèles est laborieux au début, réussi et apprécié à la fin de létude Les problèmes se ramenant à des lancers de pièces sont bien réussis Problèmes du joueur de fléchettes, de la galette des rois, des pains aux raisins : réussis par 25 élèves sur 31 Problème des huîtres : lidée est trouvée, certains élèves se lassent par la longueur de la recherche Le retour aux modèles a été vécu comme « rassurant » par lensemble des élèves

15 III. Comment décider ? Enjeu et difficultés 2. Quelques propositions 3. Quelques situations

16 III 1. Enjeux et difficultés 16 Objectif : initier les élèves à la notion de preuve statistique : prise de décision à partir dun échantillon Les mathématiques sous-jacentes : la théorie des tests Elaboration du test (relatif à une fréquence) : définition dune hypothèse nulle H 0 (hasard), repérage dune loi de probabilité, détermination dun intervalle critique K avec un seuil donné, règle de décision énoncée. Application : si la fréquence observée sur un échantillon donné appartient à K, on accepte H 0 (léchantillon est bien aléatoire). Le programme : observer que pour n 25 et 0,2 p 0,8, la fréquence observée sur des échantillons statistiques de taille n est située dans lintervalle pour 95% de ces échantillons. Réfuter (au seuil de 95%) le caractère aléatoire dun échantillon donné si la fréquence observée nest pas située dans cet intervalle

17 III 1. Enjeux et difficultés 17 Remarques La notion de seuil ne sera bien comprise que si lon en change La notion dintervalle de fluctuation nest pas simple en soi, lintervalle donné résulte soit de la théorie (théorème de la limite centrée + connaissance de la loi normale) soit dune simulation Assujettir la prise de décision à cette seule situation est à la fois compliqué et réducteur

18 III 2. Quelques propositions Sensibiliser à la problématique de la décision de façon plus simple : dabord avec des lois exactes ; ensuite avec des lois simulées ; enfin en utilisant lintervalle de fluctuation de la loi normale au seuil de 95%. 2. Sans aborder la notion de test qui est très calibrée : préciser que lon base les calculs sur lhypothèse du hasard ; sensibiliser à la notion dintervalle critique à un seuil donné ; cela impose que lon fasse parfois varier ce seuil dans des problèmes ; énoncer clairement la règle de décision, qui ne relève pas des mathématiques mais dun jugement sur la situation ; dissocier cette règle de son application ; éventuellement, ne pas se limiter à une fréquence.

19 III. 3. Quelques situations 19 Exemple : le problème de lœnologue (à consommer avec modération) Pour recruter un postulant à un emploi dœnologue, une chambre dagriculture lui fait subir un test de reconnaissance de deux vins quun béotien distingue très difficilement : un monthélie (M) et un auxey-duresses (A). Les vins sont goûtés sans être absorbés, mais pour éviter que la quantité naltère le goût, on sen tient à 8 verres. i01234 P(Ai)P(Ai)10,93750,68750,31250,0625 A i : « au hasard, le candidat a identifié les vins dans au moins i paires » Au seuil de 5% : aucune prise de décision Au seuil de 10% : on recrute si les 4 vins sont reconnus b)a) On lui présente 4 paires de verres, chaque paire comprenant un vin M et un vin A. À partir de combien de verres identifiés peut-on le recruter ?

20 III. 3. Quelques situations 20 Exemple : le problème de lœnologue (à consommer avec modération) b)b) On lui présente 8 verres alignés dont chacun est rempli au hasard soit avec du vin M soit du vin A. À partir de combien de verres identifiés peut-on le recruter ? A i : « au hasard, le candidat a identifié au moins i vins » Au seuil de 5% : lintervalle critique est [0 ; 6] On recrute le candidat sil a identifié 7 ou 8 vins i P(Ai)P(Ai)1………… …0,1450, ,0039

21 21 Avez-vous le sens de laléatoire ? Série 1Série 2Série 3Série (Nombre moyen de blocs = 50,5) nombre de blocs25nombre de blocs62nombre de blocs66nombre de blocs53 nombre de 0 :18nombre de 0 :51nombre de 0 :48nombre de 0 :42 nombre de 1 :82nombre de 1 :49nombre de 1 :52nombre de 1 :58


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