La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique1 Introduction à la Théorie des situations Les situations mathématiques à usage didactique: TSM.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique1 Introduction à la Théorie des situations Les situations mathématiques à usage didactique: TSM."— Transcription de la présentation:

1 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique1 Introduction à la Théorie des situations Les situations mathématiques à usage didactique: TSM Les situations didactiques en mathématiques TSDM But : Assurer la consistance logique et expérimentale de lingénierie didactique:

2 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique2 Les situations mathématiques à usage didactique Lorganisation didactique dune théorie mathématique : - des axiomes aux théorèmes - des théorèmes aux problèmes -des problèmes aux situations

3 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique3 1. Lorganisation didactique dune théorie mathématique

4 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique4 Théories et Théorèmes Une Théorie Mathématique (Logique) est une collection amorphe, finie ou non, dénoncés (propositions et prédicats) qui sont vrais ensemble. Pour une utilisation ésotérique, la Théorie peut nêtre quune collection amorphe de résultats vrais (les démonstrations sont ignorées ou oubliées).Une Théorie Mathématique (Logique) est une collection amorphe, finie ou non, dénoncés (propositions et prédicats) qui sont vrais ensemble. Pour une utilisation ésotérique, la Théorie peut nêtre quune collection amorphe de résultats vrais (les démonstrations sont ignorées ou oubliées). Mais la vérification publique et lutilisation coopérative (exotérique) imposent que les énoncés soient exposés en théories (collections ordonnées), de façon que chacun puisse être, soit accepté (axiome), soit prouvé par une chaîne de déductions à partir des axiomes ou des énoncés déjà démontrés.Mais la vérification publique et lutilisation coopérative (exotérique) imposent que les énoncés soient exposés en théories (collections ordonnées), de façon que chacun puisse être, soit accepté (axiome), soit prouvé par une chaîne de déductions à partir des axiomes ou des énoncés déjà démontrés. Lorganisation dun corpus de savoirs en une théorie est une réponse à une contrainte didactique liée à la communication et au contrôle. Suivant le choix des axiomes et lorganisation des chaînes de démonstrations, lexposé dune théorie est plus ou moins facile à admettre, à comprendre et à apprendre.Lorganisation dun corpus de savoirs en une théorie est une réponse à une contrainte didactique liée à la communication et au contrôle. Suivant le choix des axiomes et lorganisation des chaînes de démonstrations, lexposé dune théorie est plus ou moins facile à admettre, à comprendre et à apprendre. Le travail qui consiste à réorganiser les résultats pour en faciliter la transmission, la fécondité et lutilisation est, par nature, didactique. Il a été sa principale forme pendant des siècles. Limportance de ce travail pour le développement des mathématiques elles-mêmes sest révélée à partir du 19 ième siècle. Il fait désormais partie de lactivité et des savoirs mathématiques.Le travail qui consiste à réorganiser les résultats pour en faciliter la transmission, la fécondité et lutilisation est, par nature, didactique. Il a été sa principale forme pendant des siècles. Limportance de ce travail pour le développement des mathématiques elles-mêmes sest révélée à partir du 19 ième siècle. Il fait désormais partie de lactivité et des savoirs mathématiques.

5 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique5 Le choix des axiomes est déjà essentiel En géométrie élémentaire, dans laxiomatique dEuclide-Hilbert « il fallait ériger tout un échafaudage complexe et artificiel de constructions de triangles auxiliaires afin de se ramener vaille que vaille aux sacro-saints cas dégalité ou cas de similitude des triangles, points dappui de toute la technique traditionnelles. » (Dieudonné)En géométrie élémentaire, dans laxiomatique dEuclide-Hilbert « il fallait ériger tout un échafaudage complexe et artificiel de constructions de triangles auxiliaires afin de se ramener vaille que vaille aux sacro-saints cas dégalité ou cas de similitude des triangles, points dappui de toute la technique traditionnelles. » (Dieudonné) Après les travaux de Grassmann et Cayley elle devient un espace affine muni dun espace vectoriel, que Choquet introduit avec quelques axiomes synthétiques (dincidence, dordre, de structure affine, despace vectoriel et despace métrique) pour arriver immédiatement aux méthodes les plus puissantes et les plus simples.Après les travaux de Grassmann et Cayley elle devient un espace affine muni dun espace vectoriel, que Choquet introduit avec quelques axiomes synthétiques (dincidence, dordre, de structure affine, despace vectoriel et despace métrique) pour arriver immédiatement aux méthodes les plus puissantes et les plus simples. Dieudonné au contraire détaille ce qui est apporté par chacun des nombreux axiomes les plus faibles – les plus simples à introduire - de façon à fonder la géométrie sur une base commune à toutes les mathématiques.Dieudonné au contraire détaille ce qui est apporté par chacun des nombreux axiomes les plus faibles – les plus simples à introduire - de façon à fonder la géométrie sur une base commune à toutes les mathématiques. Mais les axiomatiques (équivalentes) dune même théorie mathématique peuvent avoir des propriétés didactiques très différentes.Mais les axiomatiques (équivalentes) dune même théorie mathématique peuvent avoir des propriétés didactiques très différentes. Et… suffit-il de « connaître » les références pour résoudre les problèmes ?Et… suffit-il de « connaître » les références pour résoudre les problèmes ?

6 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique6 Lorganisation des textes, aussi Dans le cadre dune même axiomatique, les définitions et les théorèmes peuvent sarticuler en chaînes et en réseaux de façons assez diverses par des relations comme « T 1 figure dans la démonstration de T 2 »Dans le cadre dune même axiomatique, les définitions et les théorèmes peuvent sarticuler en chaînes et en réseaux de façons assez diverses par des relations comme « T 1 figure dans la démonstration de T 2 » Les définitions et les théorèmes dun exposé sont accompagnés didentifications (numéro ou hommage à un mathématicien), de justifications (références, méthode de démonstration…) et de commentaires. Le tout constitue un texte de mathématiques de style standard.Les définitions et les théorèmes dun exposé sont accompagnés didentifications (numéro ou hommage à un mathématicien), de justifications (références, méthode de démonstration…) et de commentaires. Le tout constitue un texte de mathématiques de style standard. Le choix plus ou moins habile des « théorèmes fondamentaux » détermine des exposés plus ou moins faciles à enseigner et à comprendre. Ce choix est donc dordre « didactique »Le choix plus ou moins habile des « théorèmes fondamentaux » détermine des exposés plus ou moins faciles à enseigner et à comprendre. Ce choix est donc dordre « didactique » Un des objets de la didactique consisterait donc à distinguer a priori les propriétés de ces exposés pour lenseignement et pour lapprentissage afin de les comparer : prévoir les temps dexploration, les difficultés, les possibilités derreurs, en les rapportant à la longueur des démonstrations où à leur fréquence dutilisation… Nous en donnerons des exemples dans ce cours.Un des objets de la didactique consisterait donc à distinguer a priori les propriétés de ces exposés pour lenseignement et pour lapprentissage afin de les comparer : prévoir les temps dexploration, les difficultés, les possibilités derreurs, en les rapportant à la longueur des démonstrations où à leur fréquence dutilisation… Nous en donnerons des exemples dans ce cours. Ce genre détudes est actuellement utilisé pour caractériser certains programmes informatiques.Ce genre détudes est actuellement utilisé pour caractériser certains programmes informatiques.

7 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique7 2. Des théories mathématiques aux problèmes

8 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique8 Propriétés didactiques des théories mathématiques 1. Initier les élèves aux mathématiques pourrait consister à seulement leur faire apprendre le texte des énoncés vrais, en fonction de leur utilité pratique par exemple. Chacun fonctionne alors comme un axiome.1. Initier les élèves aux mathématiques pourrait consister à seulement leur faire apprendre le texte des énoncés vrais, en fonction de leur utilité pratique par exemple. Chacun fonctionne alors comme un axiome. 2. Les présenter dans un ordre axiomatique permet de les exposer comme des théorèmes, avec le texte de leur démonstration et ainsi de faire lélève juge de leur validité. Les théorèmes sont alors organisés en théories2. Les présenter dans un ordre axiomatique permet de les exposer comme des théorèmes, avec le texte de leur démonstration et ainsi de faire lélève juge de leur validité. Les théorèmes sont alors organisés en théories Les théories mathématiques issues dun même ensemble consistant dénoncés ont déjà des propriétés didactiques propres, intrinsèques, indépendantes des conditions denseignement: le choix des théorèmes de référence, la longueur des démonstrations, la densité locale en théorèmes etc. (comparer la géométrie et la statistique par exemple).Les théories mathématiques issues dun même ensemble consistant dénoncés ont déjà des propriétés didactiques propres, intrinsèques, indépendantes des conditions denseignement: le choix des théorèmes de référence, la longueur des démonstrations, la densité locale en théorèmes etc. (comparer la géométrie et la statistique par exemple).

9 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique9 Théorèmes et problèmes 3. Cependant lactivité mathématique ne se réduit pas à la récitation des théorèmes avec leur démonstration et à leur utilisation opportune. Être mathématicien consiste aussi à établir la démonstration de textes nouveaux. Pour provoquer les élèves à une activité mathématique similaire, une tradition ancienne a transformé certains théorèmes en problèmes ou en exercices, et certains autres en théorèmes de référence enseignés comme tels.3. Cependant lactivité mathématique ne se réduit pas à la récitation des théorèmes avec leur démonstration et à leur utilisation opportune. Être mathématicien consiste aussi à établir la démonstration de textes nouveaux. Pour provoquer les élèves à une activité mathématique similaire, une tradition ancienne a transformé certains théorèmes en problèmes ou en exercices, et certains autres en théorèmes de référence enseignés comme tels. Un exposé didactique dune théorie mathématique crée donc dans cette théorie quatre catégories dénoncés vrais (assertions) :Un exposé didactique dune théorie mathématique crée donc dans cette théorie quatre catégories dénoncés vrais (assertions) : –les Axiomes, propositions acceptées textes –les théorèmes, propositions démontrées de références –les problèmes, propositions étudiés, mais qui ne seront pas des références –Les propositions ignorées par cet exposé Les problèmes sont théorèmes qui ne serviront pas de référence et qui par divers procédés formels seront dissociés en une « demande » et en une « réponse »Les problèmes sont théorèmes qui ne serviront pas de référence et qui par divers procédés formels seront dissociés en une « demande » et en une « réponse »

10 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique10 Lactivité mathématique Remarque : ce procédé ne représente pas bien lactivité mathématique réelleRemarque : ce procédé ne représente pas bien lactivité mathématique réelle - Il ne prépare pas les élèves à poser eux-mêmes ces questions.- Il ne prépare pas les élèves à poser eux-mêmes ces questions. - Il ne demande aux élèves que de produire des textes empruntés à une théorie de référence : les savoirs.- Il ne demande aux élèves que de produire des textes empruntés à une théorie de référence : les savoirs. - Il ignore de ce fait le rôle des connaissances encore ni vraies ni fausses nécessaires à la réflexion- Il ignore de ce fait le rôle des connaissances encore ni vraies ni fausses nécessaires à la réflexion - Il induit ainsi une conception de lactivité mathématique réduite à la production mécanique dun texte- Il induit ainsi une conception de lactivité mathématique réduite à la production mécanique dun texte Conclusion Ce procédés donne de lactivité mathématique une image stéréotypée et déformée, réduite à des textes et à des mécanismes mathématiques et mentaux généraux (universels)Conclusion Ce procédés donne de lactivité mathématique une image stéréotypée et déformée, réduite à des textes et à des mécanismes mathématiques et mentaux généraux (universels)

11 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique11 La transformation de théorèmes en problèmes Tout problème est un ensemble dénoncés de mathématiques dont lélève a la charge détablir la consistance avec ce qui lui a été enseigné.Tout problème est un ensemble dénoncés de mathématiques dont lélève a la charge détablir la consistance avec ce qui lui a été enseigné. Tout théorème peut être transformé en un couple question- réponse attendue. La question détermine est à la charge du professeur, la réponse est à la charge de lélève.Tout théorème peut être transformé en un couple question- réponse attendue. La question détermine est à la charge du professeur, la réponse est à la charge de lélève. La question est elle-même est formée de données et de conclusions qui forment ensemble lénoncé dun théorème dont la réponse attendue constitue la démonstration.La question est elle-même est formée de données et de conclusions qui forment ensemble lénoncé dun théorème dont la réponse attendue constitue la démonstration. Un problème est donc constitué de trois parties : une question, une réponse et un moyen détablir la seconde à partir de la première.Un problème est donc constitué de trois parties : une question, une réponse et un moyen détablir la seconde à partir de la première.

12 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique12 Exemples Lélève doit rétablir un texte,Lélève doit rétablir un texte, quil connaît de mémoire (la « clôsure »)quil connaît de mémoire (la « clôsure ») ou grâce à un algorithme mathématique appris et convenu (exercices)ou grâce à un algorithme mathématique appris et convenu (exercices) ou par une démonstration avec les théorèmes de son répertoire (problèmes) et des relations logiquesou par une démonstration avec les théorèmes de son répertoire (problèmes) et des relations logiques A partir dun énoncé A B dans une théorie T on peut obtenir par exemple:A partir dun énoncé A B dans une théorie T on peut obtenir par exemple: a) Étant donné A et B, établir A B; (les éléments de ont été enseignés) b) Étant donné A C et B C, montrer que A C (dans ce cas précis) c) trouver une condition nécessaire de A; d) trouver une condition suffisante de B Etc. Mais lélève, comme le professeur, peut aussi le faire aussi parfois par des procédés non mathématiques (par analogie par exemple).Mais lélève, comme le professeur, peut aussi le faire aussi parfois par des procédés non mathématiques (par analogie par exemple).

13 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique13 Problèmes et Raisonnements « Savoir » une théorie cest : {pouvoir réciter les théorèmes, les démontrer et les utiliser pour résoudre des problèmes}« Savoir » une théorie cest : {pouvoir réciter les théorèmes, les démontrer et les utiliser pour résoudre des problèmes} Résoudre un problème cest :Résoudre un problème cest : –identifier le théorème correspondant (données et demande), –le prouver en choisissant et en organisant les théorèmes convenus, Un raisonnement est formé de tout ce qui nétait pas convenu : le choix et lorganisation des théorèmes intermédiaires, les raisons de leur choix (vraies ou fausses) etc.Un raisonnement est formé de tout ce qui nétait pas convenu : le choix et lorganisation des théorèmes intermédiaires, les raisons de leur choix (vraies ou fausses) etc. Après coup, la démonstration exprime le moyen de preuve standard.Après coup, la démonstration exprime le moyen de preuve standard. Elle nest donc que le résultat de raisonnements effectifs, plus complexes, qui ont permis de létablir et dont elle est lexplication. Elle en est le résumé, pour préparer son emploi à lavenir. Elle nen est pas la description.Elle nest donc que le résultat de raisonnements effectifs, plus complexes, qui ont permis de létablir et dont elle est lexplication. Elle en est le résumé, pour préparer son emploi à lavenir. Elle nen est pas la description. Puisque les textes de mathématiques ne décrivent que le résultat réorganisé de raisonnements et de réflexion différents et non écrit, comment susciter cette activité chez les élèves qui ne la produisent pas bien spontanément? Comment modéliser et susciter une véritable activité mathématique?Puisque les textes de mathématiques ne décrivent que le résultat réorganisé de raisonnements et de réflexion différents et non écrit, comment susciter cette activité chez les élèves qui ne la produisent pas bien spontanément? Comment modéliser et susciter une véritable activité mathématique?

14 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique14 3. Des Problèmes aux Situations

15 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique15 Problèmes et définitions Considérons une forme habituelle de « problème » : Le professeur propose des données: « voici A et B », et une question: « démontrez que A B »Considérons une forme habituelle de « problème » : Le professeur propose des données: « voici A et B », et une question: « démontrez que A B » Généralement « A B » est un théorème qui na pas été démontré dans le cours, et la solution demandée consiste à en donner la démonstration. Celle-ci combine des théorèmes de référence (qui ont été « enseignés » par le professeur) en une chaîne déductive.Généralement « A B » est un théorème qui na pas été démontré dans le cours, et la solution demandée consiste à en donner la démonstration. Celle-ci combine des théorèmes de référence (qui ont été « enseignés » par le professeur) en une chaîne déductive. La responsabilité de lélève consiste à choisir et à organiser les éléments de cette démonstration.La responsabilité de lélève consiste à choisir et à organiser les éléments de cette démonstration. Remarque. Lénoncé A B pourrait sexprimer sans faire apparaître de déduction : « non(A et non(B)) » est équivalent à A B. Un des moyens de construire des questions consiste à utiliser les différentes expressions équivalentes dun même énoncé. Mais inversement tout énoncé bien formé peut se mettre sous la forme dune implication.Remarque. Lénoncé A B pourrait sexprimer sans faire apparaître de déduction : « non(A et non(B)) » est équivalent à A B. Un des moyens de construire des questions consiste à utiliser les différentes expressions équivalentes dun même énoncé. Mais inversement tout énoncé bien formé peut se mettre sous la forme dune implication. Mais pour pouvoir effectivement manipuler les énoncés dune théorie, il est nécessaire de les raccourcir en remplaçant certains gros assemblages de signes fréquemment utilisés par des plus petits à laide de définitionsMais pour pouvoir effectivement manipuler les énoncés dune théorie, il est nécessaire de les raccourcir en remplaçant certains gros assemblages de signes fréquemment utilisés par des plus petits à laide de définitions

16 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique16 Une définition explicite est constituée par une équivalence telle que : déf: A assemblage de signes déjà définisUne définition explicite est constituée par une équivalence telle que : déf: A assemblage de signes déjà définis Mais dans le cas ou lexplicitation de A pose un problème, une définition implicite permet une forme de définition plus générale (opération de Hilbert): A est lobjet qui rend valide un énoncé.Mais dans le cas ou lexplicitation de A pose un problème, une définition implicite permet une forme de définition plus générale (opération de Hilbert): A est lobjet qui rend valide un énoncé. A : = (X) où (X) est une expression comprenant plusieurs occurrence dun signe (X) A : = (X) où (X) est une expression comprenant plusieurs occurrence dun signe (X) Lobjet est alors défini par sa place et son rôle dans une expression au lieu dêtre défini par sa constitution elle-même. Lobjet est alors défini par sa place et son rôle dans une expression au lieu dêtre défini par sa constitution elle-même. La méthode mathématique consiste ainsi à définir un objet par une liste de conditions quil doit satisfaire.La méthode mathématique consiste ainsi à définir un objet par une liste de conditions quil doit satisfaire. Exemple : la définition des nombres naturels par les axiomes de Peano.Exemple : la définition des nombres naturels par les axiomes de Peano. Mais cette méthode est elle utilisable à lécole primaire? Celle-ci utilise plus volontiers des définitions ostensives (des sortes de descriptions).Mais cette méthode est elle utilisable à lécole primaire? Celle-ci utilise plus volontiers des définitions ostensives (des sortes de descriptions). Des définitions explicites aux implicites

17 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique17 Des définitions implicites aux situations La définition des objets et des propriétés mathématiques par une situation est un moyen comparable à celui de lopération de Hilbert pour définir un objet mathématique.La définition des objets et des propriétés mathématiques par une situation est un moyen comparable à celui de lopération de Hilbert pour définir un objet mathématique. Une situation met en scène des personnages fictifs (mathématiciens ou élèves en théorie des situations mathématiques) que nous appelons actants ou joueurs.Une situation met en scène des personnages fictifs (mathématiciens ou élèves en théorie des situations mathématiques) que nous appelons actants ou joueurs. Ils agissent dans un milieu (objets, actants, textes), avec lintention de réaliser un certain projet, en respectant des règles qui leur sont données ou de nécessités quils découvrent. Les décisions quils prennent sont commandées par des connaissances. (comme nous lavons vu dans qui dira 20?)Ils agissent dans un milieu (objets, actants, textes), avec lintention de réaliser un certain projet, en respectant des règles qui leur sont données ou de nécessités quils découvrent. Les décisions quils prennent sont commandées par des connaissances. (comme nous lavons vu dans qui dira 20?) Seules certaines décisions permettent de parvenir au but recherché.Seules certaines décisions permettent de parvenir au but recherché. Les connaissances qui – seules - permettent dobtenir le résultat sont dites « déterminées » par la situation.Les connaissances qui – seules - permettent dobtenir le résultat sont dites « déterminées » par la situation. Les connaissances sont déterminées pour lobservateur, mais le résultat nest pas certain pour lactant. Cette définition élargit la notion de « problème ».Les connaissances sont déterminées pour lobservateur, mais le résultat nest pas certain pour lactant. Cette définition élargit la notion de « problème ». Note : En Intelligence Artificielle, les situations sont appelées « modèles à agents »Note : En Intelligence Artificielle, les situations sont appelées « modèles à agents »

18 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique18 Situation : consigne et milieu Il sagit donc de déterminer des conditions qui susciteront chez les élèves une activité aboutissant à létablissement dune connaissance mathématique.Il sagit donc de déterminer des conditions qui susciteront chez les élèves une activité aboutissant à létablissement dune connaissance mathématique. Si cette activité pouvait se limiter à la production dun texte de mathématique, elle serait la solution classique dun problème classique, … et une assez mauvaise représentation de lactivité mathématique effective.Si cette activité pouvait se limiter à la production dun texte de mathématique, elle serait la solution classique dun problème classique, … et une assez mauvaise représentation de lactivité mathématique effective. La résolution dun problème requiert certainement de lélève lagitation dun flot de connaissances, mais celles qui ne participent pas au texte final, en particulier celles qui sont fausses, sont considérées comme des erreurs. Elles sont imputables à lélève et à ce titre, elles ne doivent pas laisser de trace.La résolution dun problème requiert certainement de lélève lagitation dun flot de connaissances, mais celles qui ne participent pas au texte final, en particulier celles qui sont fausses, sont considérées comme des erreurs. Elles sont imputables à lélève et à ce titre, elles ne doivent pas laisser de trace. Toutes les raisons recevables doivent être internes aux mathématiques. De sorte quà travers les problèmes, les mathématiques ne rencontrent jamais officiellement ni question ni difficulté autre que linsuffisance humaine.Toutes les raisons recevables doivent être internes aux mathématiques. De sorte quà travers les problèmes, les mathématiques ne rencontrent jamais officiellement ni question ni difficulté autre que linsuffisance humaine. Une situation au contraire peut déléguer officiellement à un milieu le rôle de porter certaines conditions non dévoilées dans les règles. Il se révèle alors comme une sorte de « réalité » qui laisse un espace propice aux aventures, aux expériences, à un questionnement, à une histoire légitime et honorable des actes du sujet. Il reste à déterminer les plus fructueuses et les plus signifiantes.Une situation au contraire peut déléguer officiellement à un milieu le rôle de porter certaines conditions non dévoilées dans les règles. Il se révèle alors comme une sorte de « réalité » qui laisse un espace propice aux aventures, aux expériences, à un questionnement, à une histoire légitime et honorable des actes du sujet. Il reste à déterminer les plus fructueuses et les plus signifiantes. « Ouvrir » les problèmes nest pas une nouveauté. Mais contrôler cette ouverture et lui donner un statut change beaucoup le rapport des activités et des textes, les rôles de connaissances et des savoirs.« Ouvrir » les problèmes nest pas une nouveauté. Mais contrôler cette ouverture et lui donner un statut change beaucoup le rapport des activités et des textes, les rôles de connaissances et des savoirs.

19 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique19 Modèles mathématiques, situations et jeux Une situation et un actant constituent un « automate » dont le type reste à déterminer: S-R model, automate fini, automate à pile de mémoire (machine de Türing) etc. (réf.)Une situation et un actant constituent un « automate » dont le type reste à déterminer: S-R model, automate fini, automate à pile de mémoire (machine de Türing) etc. (réf.) La situation et lactant peuvent rester invariants et produire un résultat de façon déterministe ou probabiliste.La situation et lactant peuvent rester invariants et produire un résultat de façon déterministe ou probabiliste. Mais ils peuvent aussi évoluer, lun et lautre. Les actants étant alors « instruits » par leurs actions sur le milieu : ils sadaptent comme nous lavons vu avec la C20.Mais ils peuvent aussi évoluer, lun et lautre. Les actants étant alors « instruits » par leurs actions sur le milieu : ils sadaptent comme nous lavons vu avec la C20. Dans ce cas la situation est dite « dapprentissage ».Dans ce cas la situation est dite « dapprentissage ». Lapprentissage peut concerner des savoirs, des langages ou des réactions des habitudes inconscientes des connaissances non explicitables.Lapprentissage peut concerner des savoirs, des langages ou des réactions des habitudes inconscientes des connaissances non explicitables. Si le milieu est une société humaine ladaptation à sa culture sera dite « acculturation ».Si le milieu est une société humaine ladaptation à sa culture sera dite « acculturation ». Encouragés par les travaux du logicien Paul Lorenzen, nous avons étudié des situations interprétables comme des situations de jeu. (réf.)Encouragés par les travaux du logicien Paul Lorenzen, nous avons étudié des situations interprétables comme des situations de jeu. (réf.)

20 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique20 Ouverture des problèmes à des paramètres nouveaux Cette définition permet de représenter lactivité mathématique en référence avec des personnages qui lexercent, dans des conditions, et avec des intentions quil est possible de représenter.Cette définition permet de représenter lactivité mathématique en référence avec des personnages qui lexercent, dans des conditions, et avec des intentions quil est possible de représenter. Elle permet donc dintroduire et étudier formellement et expérimentalement, comme nous lavons vu, des caractères de cette activité qui napparaissent pas dans les textes de mathématiques :Elle permet donc dintroduire et étudier formellement et expérimentalement, comme nous lavons vu, des caractères de cette activité qui napparaissent pas dans les textes de mathématiques : - Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités,- Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités, - Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation des stratégies et des tactiques (longueur des solutions, incertitude, fatigue, effets, …)- Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation des stratégies et des tactiques (longueur des solutions, incertitude, fatigue, effets, …) - Caractères des actants et de leurs enjeux : répertoires linguistiques ou mathématiques, et leur taille, fatigue, possibilités derreur etc.- Caractères des actants et de leurs enjeux : répertoires linguistiques ou mathématiques, et leur taille, fatigue, possibilités derreur etc. Lobjet de la modélisation nest pas de décrire finement les élèves… Au contraire ce sont les cohortes délèves qui révèlent les propriétés didactiques dune situations, et des savoirs qui sy rapportent.Lobjet de la modélisation nest pas de décrire finement les élèves… Au contraire ce sont les cohortes délèves qui révèlent les propriétés didactiques dune situations, et des savoirs qui sy rapportent.

21 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique21 Situations effectives et métaphores Les situations peuvent être utilisées réellement: les sujets sont des actants qui cherchent effectivement à atteindre les objectifs donnés dans les conditions données.Les situations peuvent être utilisées réellement: les sujets sont des actants qui cherchent effectivement à atteindre les objectifs donnés dans les conditions données. Comme nous lavons montré dans lexpérience C20, les connaissances esquissées dans ces situations – dites daction- doivent être suivies assez rapidement dune formulation et elles doivent voir explicitée et établie leur valeur de vérité. Des situations de formulation et des situations de « validation » peuvent conduire les élèves à franchir eux-mêmes ces étapes.Comme nous lavons montré dans lexpérience C20, les connaissances esquissées dans ces situations – dites daction- doivent être suivies assez rapidement dune formulation et elles doivent voir explicitée et établie leur valeur de vérité. Des situations de formulation et des situations de « validation » peuvent conduire les élèves à franchir eux-mêmes ces étapes. Mais les situations peuvent évidemment aussi servir comme métaphores pour la définition dune connaissance. Elles ne sont alors que décrites ou même seulement quévoquées. Par exemple elles permettent de vérifier ou de doubler linterprétation dune autre forme de définition.Mais les situations peuvent évidemment aussi servir comme métaphores pour la définition dune connaissance. Elles ne sont alors que décrites ou même seulement quévoquées. Par exemple elles permettent de vérifier ou de doubler linterprétation dune autre forme de définition. Lutilisation des situations effectives est soumise à une règle déconomie.Lutilisation des situations effectives est soumise à une règle déconomie. Elle est souvent très coûteuses en temps de mise en scène, elles doivent être réservées aux connaissances fondamentales et complexes, difficiles à comprendre ou souvent appliquées de façon erronée. La rapport entre le temps de la mise en scène et le temps passés par les élèves à une réflexion mathématique utile est un indicateur essentiel.Elle est souvent très coûteuses en temps de mise en scène, elles doivent être réservées aux connaissances fondamentales et complexes, difficiles à comprendre ou souvent appliquées de façon erronée. La rapport entre le temps de la mise en scène et le temps passés par les élèves à une réflexion mathématique utile est un indicateur essentiel.

22 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique22 Conclusions Nous avons utilisé lanalyse de situationsNous avons utilisé lanalyse de situations a. Pour déterminer les conditions typiques des principaux concepts mathématiques de lenseignement commun (TSM)a. Pour déterminer les conditions typiques des principaux concepts mathématiques de lenseignement commun (TSM) b. Pour déterminer les conditions dans lesquelles des observateurs pouvaient construire des connaissances objectives relatives à lenseignement, en particulier pour construire notre dispositif dobservation le COREMb. Pour déterminer les conditions dans lesquelles des observateurs pouvaient construire des connaissances objectives relatives à lenseignement, en particulier pour construire notre dispositif dobservation le COREM c. Pour décrire et analyser les situations denseignement spécifiques des questions de mathématiques (TSDM)c. Pour décrire et analyser les situations denseignement spécifiques des questions de mathématiques (TSDM)

23 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique23 Exercice de recherche en TSM Sujet 1.Sujet 1. Dans tout quadrilatère convexe inscriptible dans un cercle, les produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. (« théorème de Ptolémée »)Dans tout quadrilatère convexe inscriptible dans un cercle, les produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. (« théorème de Ptolémée ») Question de mathématiques : Trouver 10 démonstrations « différentes » de cette assertion de Géométrie Euclidienne.Question de mathématiques : Trouver 10 démonstrations « différentes » de cette assertion de Géométrie Euclidienne. Question de didactique : En quoi sont elles différentes ? Quelles conséquences didactiquesQuestion de didactique : En quoi sont elles différentes ? Quelles conséquences didactiques (sujet détude de didactique présenté par Lucienne Félix ( )(sujet détude de didactique présenté par Lucienne Félix ( ) Sujet 2 : Construire une typologie des procédés de transformation dénoncés en questions-réponses et en exercices ou en problèmes.Sujet 2 : Construire une typologie des procédés de transformation dénoncés en questions-réponses et en exercices ou en problèmes.

24 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique24 Références Textes dappui du coursTextes dappui du cours Ouvrages citésOuvrages cités BibliographieBibliographie

25 ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique25 Pour continuer … Exemple : Construction dune situation pour définir un objet mathématique : désignation, égalité Exemple : Construction dune situation pour définir un objet mathématique : désignation, égalité Exemple : Construction dune situation pour mettre en jeu un théorème : la linéarité Exemple : Construction dune situation pour mettre en jeu un théorème : la linéarité Généralités sur les situations mathématiques Généralités sur les situations mathématiques


Télécharger ppt "ULYSSE Lorganisation didactique dune théorie mathématique1 Introduction à la Théorie des situations Les situations mathématiques à usage didactique: TSM."

Présentations similaires


Annonces Google