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© The MathWorks, Inc. ® ® Simulations de Monte Carlo en utilisant MATLAB Vincent Leclercq, Ingénieur dApplications

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1 © The MathWorks, Inc. ® ® Simulations de Monte Carlo en utilisant MATLAB Vincent Leclercq, Ingénieur dApplications

2 2 ® ® Agenda Principes et cadre dutilisation des méthodes de Monte Carlo Utilisation des toolbox MATLAB pour réaliser des simulations de Monte Carlo Réaliser ses propres simulations de Monte Carlo Aperçu des méthodes de réduction de la variance

3 3 ® ® Un exemple Calcul de laire dun lac On tire N boulets de canon On compte les n boulets qui ne sont pas tombés dans le lac N- n boulets dans le lac On a alors :

4 4 ® ® Quelques conclusions Importance du générateur de nombres alétaoires Mersenne Twister Nombre de simulations

5 5 ® ® Cas dutilisations des méthodes de Monte Carlo en finance Valorisation de produits dérivés Calcul de risque Titrisation ALM Stochastique

6 6 ® ® Avantages et inconvénients Avantages Domaine d'application très varié Peu d'hypothèses Facile à implémenter Inconvénients Importance des générateurs aléatoires Grande variabilité Temps de calcul peuvent être très importants

7 7 ® ® Pourquoi MATLAB ? Efficacité : chemins en 1 s 20 / 25 fois plus rapide que Excel Qualité des algorithmes Mersenne Twister Algèbre linéaire Support dun grand nombre de distributions (+ de 20 distributions) Déploiement aisé

8 8 ® ® Agenda Principes et cadre dutilisation des méthodes de Monte Carlo Utilisation des toolbox MATLAB pour réaliser des simulations de Monte Carlo Réaliser ses propres simulations de Monte Carlo Aperçu des méthodes de réduction de la variance

9 9 ® ® Quels outils pour les simulations de Monte Carlo ? MATLAB : Fonctionnalités dalgèbre linéaire, factorisation de matrices Statistics toolbox : Générateur de nombres aléatoires, copulas, … Financial toolbox : Fonction Portsim : Monte Carlo simulation of correlated asset returns GARCH Toolbox Fonction garchsim

10 10 ® ® Financial toolbox : portsim Sur un intervalle dt, les performances suivent léquation suivante : Attention aux paramètres dentrée (drift et volatitlité) Si exprimés en base annuelle -> dt en années Si exprimés en base journalière -> dt en jours

11 11 ® ® Démonstration 1: Mouvement brownien géométrique Lognormalité des prix dune action Lecture de données historiques Estimation du drift et de la volatitlité Annuellement Quotidiennement Simulation de réalisations sur un an. Comparaison des résultats

12 12 ® ® Démonstration 2: Utilisation des simulation précédentes pour valoriser une option Vanille Application du payoff Vanille -> Non path dependant Calcul du prix du call pour différents strike Calcul des intervalles de confiance

13 13 ® ® GARCH Toolbox : garchsim volatilité stochastique Simulations de modèles Auto régressifs / GARCH Perform Monte Carlo simulation of univariate returns, innovations,and conditional volatilities Fitting (ajustement du modèle, fonction garchfit) et Simulation Simulation, plusieurs possibilités : Utilisation de données historiques (bootstrapping) Voir Market Risk Using Bootstrapping and Filtered Historical SimulationMarket Risk Using Bootstrapping and Filtered Historical Simulation Utilisation de données aléatoires

14 14 ® ® Agenda Principes et cadre dutilisation des méthodes de Monte Carlo Utilisation des toolbox MATLAB pour réaliser des simulations de Monte Carlo Réaliser ses propres simulations de Monte Carlo Aperçu des méthodes de réduction de la variance

15 15 ® ® Fonctions de base pour Monte Carlo Générateur de nombres aléatoires Rand, randn (MATLAB) -> Choix du générateur (Mersenne Twister) Random (+ de 20 distributions), copularnd -> Statistics toolbox Fonctions dalgèbre : Cholesky factorization cumsum

16 16 ® ® Processus Génération de nombres aléatoires Directement dans la loi de distribution Par lintermédiare dune loi uniforme -> Permet lutilisation de générateurs de nombres pseudo-aléatoires Application du modèle Calcul de la moyenne empirique Ce processus peut être répété (pilot replication), afin destimer les intervalles de confiance

17 17 ® ® Démonstration Simulateur dactifs corrélés Entrées : Horizon NJours NSimulation chemins différents NActifs (2) actifs corrélés (actions), dont on possède les caractéristiques suivantes : Volatilité Corrélations Résultats : Matrice de NJours* NSimulation*NActif Corrélations préservées

18 18 ® ® Agenda Principes et cadre dutilisation des méthodes de Monte Carlo Utilisation des toolbox MATLAB pour réaliser des simulations de Monte Carlo Réaliser ses propres simulations de Monte Carlo Aperçu des méthodes de réduction de la variance

19 19 ® ® Réduction de la variance Problème: Convergence lente des méthodes de Monte Carlo Nécessite un grand nombre de réplications Solution : Utilisation de méthodes de réduction de la variance Plusieurs méthodes possibles

20 20 ® ® Réduction de la variance : Apercu Variables antithétiques Simple à mettre en oeuvre et efficace Ne fonctionne pas toujours (ex : Butterfly) Variables de contrôle Utilisation dune variable corrélée à celle que l on souhaite estimer, dont on connait par avance les caractéristiques statistiques Ex : Calcul du prix dune option Vanille on peut utiliser les formules fermées (Hulll) pour calculer la variance et lesperance du sous jacent à la date de maturité Il faut estimer la covariance entre notre variable de controle (le sous jacent) et la variable à estimer (prix de loption) -> réplications

21 21 ® ® Réduction de la variance : Apercu 2/3 Quasi Monte Carlo Utilisation de séquences quasi aléatoires aux propriétés intéressantes Low-discrepancy sequences Sequences de Halton, séquences de Sobol, … Accélération de la convergence

22 22 ® ® Réduction de la variance : Apercu 3/3 Réduction de la variance par conditionnement Principe: Var(E[X]) < Var(E[X |Y]) Exemple : As You Like It option, A T1, choix dexercer un put ou un call au temps T2, avec un strike fixé davance Au temps T1, on peut utiliser la formule de Black Scholes pour calculer les valeurs possibles des options -> Variance réduite Dautres techniques : Importance sampling Stratified sampling

23 23 ® ® Démonstration Calcul du prix dune option Vanille avec réduction de la Variance Application de plusieurs techniques Variables antithétiques Quasi MonteCarlo (Halton / Sobol) Variable de contrôle Comparaison des résultats obtenus

24 24 ® ® Conclusion Méthode efficace et très générique Attention aux intervalles de confiance Les méthodes de réduction de la variance doivent être utilisées dans des cas adaptés Exemple : option Butterfly mal adaptée pour les variables antithétiques Sujt de recherche très actuel

25 25 ® ® Conclusion, suite MATLAB permet limplémentation de simulations de Monte Carlo très rapidement Généricité Possibilité de passer une fonction payoff en paramètre De nouveaux développements sont en cours sur ce sujets Stochastic Differential Equation

26 26 ® ® Références utilisées pour cette présentation Paolo Brandimarte, Numerical Methods in finance and Economics, A MATLAB ®-based introduction, Second Edition De nombreux exemples présentés sont issus de cet ouvrage Quasi-Monte Carlo Simulation

27 27 ® ® Questions ?


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