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Les algorithmes arithm é tiques II. Les nombres premiers 1- Activit é n°1 É crire une sp é cification puis un algorithme qui permet de v é rifier si un.

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1 Les algorithmes arithm é tiques II. Les nombres premiers 1- Activit é n°1 É crire une sp é cification puis un algorithme qui permet de v é rifier si un nombre donn é est premier ou non.

2 Les algorithmes arithm é tiques II. Les nombres premiers 2- d é finition: Un nombre premier est un entier naturel strictement sup é rieur à 1, n'admettant que deux entiers naturels diviseurs : 1 et lui- même. Ceci constitue la d é finition même (et unique) des nombres premiers.entier naturel1diviseurs Question: Quelle est la somme des diviseurs d un nombre premier sauf lui-même?

3 Les algorithmes arithm é tiques II. Les nombres premiers 3- Sp é cification: Sp é cification de la fonction verif_premier(n:entier): bool é en R é sultat: verif_premier Traitement : verif_premier sd=1 sd= [ sd 1 ] Pour i de 1 à n div 2 faire Si n mod i = alors sd := sd+i Fin Si Fin Pour

4 Les algorithmes arithm é tiques II. Les nombres premiers 4- Algorithme: 0) fonction verif_premier(n:entier): bool é en 1) sd 1 Pour i de 1 à n div 2 faire Si n mod i = alors sd := sd+i Fin Si Fin Pour 2) verif_premier sd=1 3) Fin verif_premier

5 Les algorithmes arithm é tiques II. Les nombres premiers Remarque: Voici la liste des nombres premiers inf é rieurs à 100 : Pour obtenir cette liste, il suffit d'observer une table de multiplication de Pythagore, à partir de 2 jusqu' à 10. Tous les nombres qui n'apparaissent pas sont les nombres premiers. Par opposition, les autres sont dits "compos é s" (sous-entendu compos é s par un produit d'au moins deux nombres premiers). Un nombre compos é est donc factorisable en un produit de puissances de facteurs de nombres premiers de fa ç on unique à l'ordre pr è s (voir l'article th é or è me fondamental de l'arithm é tique). Par exemple 12 = 2×2×3 est compos é, tout comme 21 = 3×7 ou 7×3, mais 11 est premier car la seule factorisation possible est 1×11 = 11.nombre compos é factorisableth é or è me fondamental de l'arithm é tique

6 Les algorithmes arithm é tiques II. Les nombres premiers L'Algorithme d' É ratosth è ne Pour rechercher une liste de tous les nombres premiers inf é rieurs à une limite n pas trop grande, le crible d' É ratosth è ne est une m é thode simple et efficace : on part de la liste des entiers de 2 à n. On prend le premier nombre non barr é de cette liste, 2 ( à ce stade aucun nombre n'est barr é ), et on barre tous les entiers multiples de 2. On r é p è te l'op é ration en consid é rant chaque fois le prochain nombre non barr é et en barrant ses multiples. Les nombres qui restent non barr é s à la fin du processus sont les nombres premiers inf é rieurs à n. On peut en fait arrêter le processus d è s que les nombres non barr é s encore à consid é rer sont sup é rieurs à la racine carr é e de n, car leurs multiples auront d é j à é t é barr é s.crible d' É ratosth è ne

7 Les algorithmes arithm é tiques III. Les nombres premiers 5- Activit é Utiliser l algorithme d' É ratosth è ne pour afficher tous les nombres premiers inf é rieurs ou é gales à n. n < 200.d' É ratosth è ne

8 Les algorithmes arithm é tiques IV. La d é composition en facteurs premiers 1- Activit é n°1 É crire un programme qui stocke la d é composition en facteurs premiers d'un nombre entier strictement positif dans un tableau et ensuite affiche les é l é ments de ce tableau sous la forme 18 = 2*3*3.

9 Les algorithmes arithm é tiques IV. La d é composition en facteurs premiers 2- D é finition La d é composition d un entier en produit de facteurs premiers consiste à é crire cet entier sous la forme d un produit de ces diviseurs premiers.

10 Les algorithmes arithm é tiques IV. La d é composition en facteurs premiers 3- Sp é cification Sp é cification de la proc é dure remplir(var nb: entier; n : entier; var t: tab) R é sultat= nb,T Traitement = [nb 0 i 2] R é p é ter Si n mod i = 0 then n n div i nb nb +1 t[nb] i Sinon i i+1 Jusqu à n=1

11 Les algorithmes arithm é tiques IV. La d é composition en facteurs premiers 4- Algorithme 0) proc é dure remplir(var nb: entier; n : entier; var t: tab) 1)nb 0 i 2 R é p é ter Si n mod i = 0 then n n div i nb nb +1 t[nb] i Sinon i i+1 Jusqu à n=1 2) Fin remplir


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