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Structures multi-échelles en géographie Approche de la relativité déchelle Maxime Forriez 2 Laurent Nottale 1 Philippe Martin 2 1 Observatoire de Paris.

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1 Structures multi-échelles en géographie Approche de la relativité déchelle Maxime Forriez 2 Laurent Nottale 1 Philippe Martin 2 1 Observatoire de Paris – Meudon LUTH - CNRS 2 Université dAvignon ESPACE - CNRS

2 1 - Problèmes déchelles 2 - La théorie de la relativité déchelle 3 - Application récente de la RE en géographie (indépendance et dépendance déchelle)

3 Échelle et faux synonymes –Niveau(x) Approche essentiellement qualitative (cohérence, nécessité de découper, potentiel dagrégation spatio-temporelle) –Résolution(s) Approche quantitative liée, en géographie à la cartographie, mais plus largement à la mesure

4 Échelles, premières définitions Échelle de référence –Unité de mesure (mètre étalon, la seconde, etc.) Échelle de résolution –Précision de lappareil de mesure et/ou résolution de travail Échelle cartographique (facteur de réduction : 1/x ; 1/25000 è ) –Fenêtre, étendue, zone détude Continuum scalaire (gamme déchelles) –Espace des échelles (relations formelles) Lois déchelle –Lois qui régissent la transformation (variation dune quantité) entre échelles Fractal, fractalité –Entité ou système explicitement structuré en échelles y compris même lespace (espace fractal)

5 Les échelles dans la nature : structuration universelle Biologie Géographie Physique des particules, nucléaire, atomique Astronomie Cosmologie

6 Échelle et géographie classique Constat : Linformation géographique contenue dans une carte et la fenêtre sur laquelle cette information porte, changent en fonction de la résolution de la carte. Extrait dun manuel scolaire de classe de seconde datant de 1926

7 Échelle et problématique géographique Un double changement (de résolution et de taille de fenêtre) conduit à un changement de problème lorsque lon change de carte (ou dimage, etc.) et inversement. Mais la compréhension dun problème défini à une échelle x nécessite de se reporter aux cartes à plus grande et plus petite échelle. Donc à articuler des niveaux discrets. Léchelle est donc une question ancienne en géographie où elle a été instrumentalisée sous une forme liée à la perception et à la représentation des territoires.

8 Échelle et géographie théorique Toute mesure sur un « objet géographique » dépend dune échelle de référence et dune résolution (de lappareil puis de linformation la plus fine utilisée). La mesure doit porter sur attribut totalement défini et représentatif de « lobjet » et plus vraisemblablement du problème choisi. Sa valeur numérique doit ensuite être traitée. Lobjectif générique est de définir la relation qui existe entre 2 entités (échelles, systèmes …)

9 Échelle et fractalité Définition –Une fractale est une entité étudiée structurée en échelle –Cest le mode dorganisation le plus général de, et dans lunivers –Ceci explique lubiquité des fractales –Dun point de vue mathématique, les objets décrits ci-dessous sont appelés « fractals »

10 Organisation en échelles et zooms discrets sur une courbe fractale

11 Courbe de Von Koch (D F constante) F0F0 F1F1 F2F2 F3F3 F4F4 F L0L0 L 1 = L 0 (p/q) L 2 = L 0 (p/q) 2 L 3 = L 0 (p/q) 3 L 4 = L 0 (p/q) 4 L = L 0 (p/q) Générateur: p = 4 q = 3 Dimension fractale:

12 Courbes de dimension fractale variable (dans lespace, le long de la courbe)

13 En 2D : surface fractale k=0 k=2 k=1 k=3

14 Échelles numériques et cartographie Échelle cartographique : rapport entre la mesure dune distance sur la carte et la mesure dune distance sur le terrain Cest un simple rapport homothétique Résolution : notion générique qui désigne léchelle limite de linformation dont on dispose sur un objet géographique (taille dun pixel par ex.). Pour une carte, la résolution est donnée par les possibilités techniques de dessin (environ 1 millimètre)

15 Fractale et géographie Carte géographique 1 En géographie, la longueur mesurée sur une carte entre deux points varie en fonction de léchelle à laquelle on effectue la mesure. Le résultat de la mesure dépend donc de la résolution ε définie, en cartographie, de la manière suivante : Autrement dit : Comment varie la longueur mesurée en fonction de léchelle à laquelle on la mesure ?

16 Fractale et géographie Carte géographique 2 Solution la plus simple : où N 0 correspond à la longueur de référence et ε 0 correspond à la résolution initiale (le millimètre pour les cartes) D : dimension fractale D T : dimension topologique Cf. méthode dite du compas

17 2. La théorie de la relativité déchelle

18 Relativité déchelle Principes premiers 1.Le principe de relativité : Philosophie : tout phénomène est définie relativement à un système de référence Mathématique : les lois fondamentales sont valides quel que soit létat du système de coordonnées 2.Le principe de covariance correspond à linvariance de forme des équations sous les changements de système de coordonnées 3.Le principe déquivalence correspond aux conditions de relativité de tel ou tel « objet » détude (gravitation en relativité générale dEinstein)

19 RELATIVITÉ COVARIANCEEQUIVALENCE faible / forte ActionGéodésique CONSERVATION Noether Principes premiers

20 Abandon de lhypothèse de différentiabilité de lespace-temps Dépendance explicite des coordonnées en fonction des variables déchelle + divergence Généraliser la relativité du mouvement ? Transformations de coordonnées non-différentiables Théorème ESPACE-TEMPS FRACTAL Compléter les lois de la physique par des lois déchelle Continuité + Relativité déchelle

21 Origine Orientation Mouvement Vitesse Accélération Echelle Résolution États dun système de coordonnées : Angles Position

22 Relativité déchelle Définition RelativitéVariables qui caractérisent létat du système de coordonnées Variables qui définissent le système de coordonnées MouvementVitesse Accélération Espace Temps ÉchelleRésolution (vitesse déchelle) Accélération déchelle Logarithme de la longueur sur une fractale Dimension fractale variable

23 Relativité déchelle (RE) Objectif : –Trouver les lois régissant les transformations dans lespace des échelles (au sens des changements de résolution) –Trouver les lois du mouvement dans un espace temps fractal (mécanique de type quantique)

24 RE : Postulat de base Description des lois de transformation déchelle par des équations différentielles agissant dans lespace des échelles Zoom différentiel ; effet de ce zoom sur une variable

25 RE : Méthode Construction dun opérateur de dilatation (méthode de Gell-Mann-Lévy) Méthode par étapes –Recherche des lois déchelle par un développement limité de Taylor

26 Quelles sont les lois de transformation déchelle de 1 er ordre, possibles ? Mathématiquement, la Relativité dEchelle (RE) de LN (1993 ; 1998 ; 2011 sous presse) montre que la possibilité de lois déchelle est infinie Physiquement, la RE montre également quelles sont limitées à quelques cas 1.La loi sans transition (invariance déchelle) 2.La loi avec une transition fractal – non fractal 3.La loi avec deux transitions fractal – non fractal 4.Etc.

27 Relativité déchelle et géographie Invariance déchelle Loi avec une transition Loi avec deux transitions

28 Loi déchelle auto-similaire (D F constante) puis transition Fractal Non-Fractal Solution de léquation différentielle déchelle dL /d ln r = a + b L

29 Loi déchelle avec 2 transitions Solution de léquation différentielle déchelle dL /d ln r = a + b L + c L 2

30 Équation du 2 ème ordre Dimension fractale variable Dynamique déchelle

31 Dépendance déchelle de la longueur et de la dimension déchelle effective dans le cas dun comportement log- périodique (invariance déchelle discrète, exposant complexe) avec transition Fractal Non - Fractal. Loi log-périodique (Petites fluctuations)

32 (asymptotique) Dépendance déchelle de la longueur et de la dimension déchelle effective dans le cas dune force déchelle constante: « Dynamique déchelle » : force déchelle constante

33 3. Application récente de la RE en géographie (indépendance et dépendance déchelle

34 Invariance déchelle : flocon de von Koch et lame de roche en siphon (calcaire corrodé)

35 Cas de multifractalité (transition Fractal – Fractal) La ville de Montbéliard (méthode des boîtes)

36 Transition Fractal – Non - Fractal : le réseau hydrographique du Gardon (échelle de coupure)

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44 Avignon : variation de linformation Image 1 : ε = 344,8 m ; Ln(E) de 6 à 8,5 D = 1,533 ± 0,016À léchelle

45 Avignon : variation de linformation Image 2 : ε = 99 m ; Ln(E) de 6 à 10 D = 1,568 ± 0,011 À léchelle

46 Avignon : variation de linformation Image 3 : ε = 24,8 m ; Ln(E) de 4 à 10 D = 1,642 ± 0,011À léchelle

47 Avignon : variation de linformation Image 4 : ε = 7,9 m ; Ln(E) de 2 à 10 D = 1,709 ± 0,010 Divisée par 4

48 Avignon : variation de linformation Image 5 : ε = 3 m ; Ln(E) de 1 à 10 D = 1,749 ± 0,010 Divisée par 10

49 Avignon : variation de linformation Image 6 : ε = 1 m ; Ln(E) de 0 à 10 D = 1,792 ± 0,009 Divisée par 30

50 Avignon : synthèse La dimension fractale varie selon les échelles de résolution utilisées. D f vs ln(ε)

51 Avignon exemple daccélération déchelle Accélération déchelle D f vs ln(N)

52 Conclusion Universalité de la structuration en échelle De nombreux et différents cas en géographie La RE : une théorie formelle de ce mode dorganisation Une application à la géographie qui nécessite une déconstruction de certaines questions (niveaux vs continuum scalaire ; relativité ; etc.)


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