La Statistique Descriptive

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1 La Statistique Descriptive
Professeur François KOHLER

2 Buts Ensembles de méthodes dont le but est de présenter les données pour que l'on puisse en prendre connaissance facilement. Cela peut concerner : une variable à la fois : statistique à une dimension, deux variables à la fois : statistique à deux dimensions, plus de deux variables à la fois : statistique multidimensionnelle.

3 Statistique descriptive
Ces méthodes comportent : Les tableaux : distributions de fréquences. Les diagrammes : graphiques. Les paramètres statistiques : Réduction des données à quelques valeurs numériques caractéristiques.

4 Rappel 3 Types de données :
Qualitatives (présence ou absence d’une caractéristique) Binaires, Nominales. Quantitatives (compte ou mesure) Discontinues, Continues. Ordinales (rang)

5 Distributions de fréquences
Concernent les 3 types de données avec des points communs et des points spécifiques à chacun des types. Séries statistiques (tout type de données) : Enumération des résultats : Exemples : Couleurs des cheveux : blond, brun, blond, noir…. Nombre d’enfants dans les familles : 1, 2, 1, 4, 0 …. Séries statistiques ordonnées : Ne concernent que les données quantitatives et ordinales Enumération du plus petit au plus grand Exemple : Nombre d’enfants : 0, 1, 1, 2, 4 …. Le nombre total d’observations est l’effectif. Il est noté n (certain le note N).

6 Distributions non groupées
Données qualitatives, ordinales, quantitatives discontinues Formellement, ces tableaux ne concernent pas les données quantitatives continues. xi ni fi x1 n1 f1 x2 n2 f2 … xp np fp S1p n 1

7 Distributions non groupées
xi ni fi x1 n1 f1 x2 n2 f2 … xp np fp S1p n 1 Chaque ligne correspond à une valeur observée différente. Il y a p valeurs différentes observées. ni correspond au nombre d’observations (effectif) ayant comme valeur xi fi correspond à la fréquence (pourcentage) d’observations ayant comme valeur xi :

8 Distributions non groupées
xi ni fi Ni Fi x1 n1 f1 N1 F1 x2 n2 f2 N2 F2 … …. xp np fp Np Fp S1p n 1 Données ordinales et quantitatives discontinues. x1 est la plus petite valeur, xp la plus grande des valeurs observées. Effectifs cumulés. N2 = n2+n1 Fréquences cumulées. F2 = f2+f1

9 Distributions non groupées
xi ni fi Ni Fi x1 n1 f1 N1 F1 x2 n2 f2 N2 F2 … …. xp np fp Np Fp S1p n 1 Ni est l’effectif cumulé c’est dire le nombre d’observations ayant des valeurs inférieures ou égales à xi : Fi est la fréquence cumulée c’est à dire la fréquence des observations ayant des valeurs inférieures ou égales à xi :

10 Distributions groupées
Les valeurs sont mises en classes. Toutes les distributions relatives à des variables continues doivent être considérées comme des distributions groupées, puisque l'infinité de valeurs admissibles est condensée en un nombre fini de mesures en fonction de la précision de la méthode de mesure utilisée.

11 A propos des classes Leurs valeurs extrêmes sont appelées bornes des classes. Les classes sont mutuellement exclusives. L'amplitude de la classe ou intervalle ou module de classe : D= borne supérieure - la borne inférieure. Le point central ou encore point médian est situé à mi chemin entre les bornes. Ci = Binfi +Di/2 Dans certains cas la limite inférieure de la première classe ou supérieure de la dernière classe n'est pas précisée. On parle de classes ouvertes. A éviter !...

12 A propos des classes L'intervalle de classe est généralement constant, toutefois, on utilise parfois une amplitude variable notamment pour les classes des valeurs extrêmes. En cas de classes d'amplitudes différentes, la densité de fréquence ni/ Di permet de comparer les effectifs ou les fréquences d'une classe à l'autre. la densité de fréquence est utilisée pour tracer l’histogramme.

13 Données quantitatives continues
Remarques : Si l’on mesure le poids d’un nouveau né avec une précision de 1g, l’enfant qui pèse 3500g a en fait un poids compris entre [3499,5g et 3500,5g[. 3500g représente le centre de la classe. Si l’on mesure l’âge en années pleines des individus, une personne de 20 ans a un âge compris entre [20 ans (inclus) et 21 ans[ (exclu). 20 ans représente la borne inférieure de la classe.

14 Distribution groupée On remplace la colonne xi par une colonne qui comprend soit les bornes de classes, soit le centre de classe ou la borne inférieure de la classe (données temporelles comme l’âge en années pleines).

15 Exemple Classe Ci ni fi Ni Fi [140-160[ 150,0 10 0,05 [160-165[ 162,5
20 0,10 30 0,15 [ [ 167,5 60 0,30 [ [ 172,5 45 0,23 105 0,53 [ [ 177,5 40 0,20 145 0,73 [ [ 182,5 35 0,18 180 0,90 [ [ 187,5 15 0,08 195 0,98 [ [ 195,0 5 0,03 200 1,00 Pour les calculs, le centre de classe Ci est utilisé en remplacement de xi sauf de façon usuelle pour l’âge (données temporelles).

16 Formules p = nombre de valeurs différentes observées

17 En pratique Pour les calculs des paramètres statistiques usuels des données quantitatives et uniquement de ce type de données. On complète la distribution par : Une colonne ni * xi pour calculer le total, Une colonne ni * xi2 pour calculer le total des carrés.

18 Les graphiques représentent les distributions
Distributions non cumulées Distributions non groupées Données qualitatives : Diagramme sectoriel Angle au centre proportionnel à ni (ou fi). Données quantitatives discrètes Diagramme en bâtons On trace parallèlement à l'axe des ordonnées, en regard des xi qui sont portés en abscisse, un segment de longueur proportionnel à ni Polygone des fréquences Ligne brisée joignant les bâtons. Fréquences absolues / fréquences relatives.

19 Exemple : Données qualitatives
Diagramme sectoriel Groupes sanguins ni fi A 35 35% B 9 9% O 40 40% AB 16 16% 100 100%

20 Exemple : Donnée quantitative discontinue
nombre d'enfants (xi) nombre de familles (ni) 10 1 20 2 15 3 5 4 > 4 Polygone des fréquences

21 Les graphiques représentent les distributions
Distributions non cumulées Distributions groupées Données quantitatives Histogramme : Composé de rectangles ayant comme base l'intervalle de classe et comme hauteur la densité de fréquence (ni/Di). La surface est proportionnelle à ni.

22 Les graphiques représentent les distributions
Distributions cumulées Uniquement pour des données quantitatives Polygone des fréquences : Distributions non groupées = escalier. Distributions groupées = ligne brisée. Histogrammes.

23 Exemple : Histogramme Classe ni Densité (*10) [140-160[ 10 5 [160-165[
170 180 190 10 20 30 40 50 60 70 80 90 200 Classe ni Densité (*10) [ [ 10 5 [ [ 20 40 [ [ 30 60 [ [ 45 90 [ [ 80 [ [ 35 70 [ [ 15 [ [

24 Aspects de la distribution
Distribution non cumulée : en forme de : Cloche, J, U ; À une seule bosse, à plusieurs bosses ; ……. Symétrie – Aplatissement.

25 Remarques Autres représentations : Attention :
Diagramme de Pareto et courbe ABC ; Boite à moustache (Box-plot). Attention : Les tableurs comme Excel ou Calc ne permettent pas facilement de faire des histogrammes.

26 Diagramme de Pareto Dans le domaine de la qualité, on étudie les causes de dysfonctionnement d'un système. Quand il s'agit de variables qualitatives binaires, on présente les résultats sous forme de diagramme de Pareto et de courbe ABC. Objectif : Visualiser les causes les plus fréquentes de défaut de qualité.

27 Exemple La tenue des dossiers médicaux fait l'objet de textes règlementaires contraignants. l'évaluation de la qualité des dossiers fait partie du processus de certification. Un dossiers peut avoir plusieurs anomalies. On a étudié les anomalies rencontrées sur 200 dossiers.

28 Résultats Nombre de dossiers analysés 200 Effectif des anomalies Pourcentage de dossiers Dossiers non retrouvés 3 1,50% Absence d'une pièce réglementaire 80 40,00% Délai de la lettre de sortie non respecté 150 75,00% Dossier comportant des pièces non "signées" 180 90,00% Dossier comportant des pièces sans identification du patient 10 5,00% Doosier ne permettant pas de retrouver la démarche clinique 30 15,00% Etude de la qualité du dossier du patient : anomalies rencontrées Effectif % d'anomalies Dossier comportant des pièces non "signées" 180 39,74% Délai de la lettre de sortie non respecté 150 33,11% Absence d'une pièce réglementaire 80 17,66% Doosier ne permettant pas de retrouver la démarche clinique 30 6,62% sans identification du patient 10 2,21% Dossiers non retrouvés 3 0,66% Total 453 100,00% On trie le tableau par ordre décroissant du nombre d'anomalies et on calcule les pourcentages par rapport au nombre total d'anomalies

29 Digramme de Pareto et courbe ABC

30 Les paramètres statistiques
Paramètres de position Valeurs centrales Moyenne arithmétique Les autres moyennes géométrique harmonique quadratique Médiane Mode Médiale Les fractiles Quartiles Percentiles Paramètres de dispersion Amplitude ou étendue Ecart interquartiles Variance, Ecart type Coefficient de variation Paramètre d'aplatissement et de symétrie Paramètres de l’échantillon Estimation Estimation Le + souvent Paramètres de la population

31 Moyenne Arithmétique Appelée moyenne notée
Population m (mean) Echantillon x (average) Appelée moyenne notée Paramètre central qui concerne bien évidemment uniquement des variables quantitatives. Dans l’unité de la variable. Calculable quelque soit la loi qui régit la distribution. Somme des valeurs (T) divisée par le nombre de mesures (n). Suivant la forme de présentation des observations, différentes formules de calcul peuvent être employées.

32 Moyenne arithmétique On note : n : Nombre total de mesures.
p : Nombre de valeurs différentes observées. ni : Nombre d’occurrences de la valeur observée i. fi : Fréquence (pourcentage) de la valeur observée i.

33 Moyenne arithmétique Propriétés :
Centre de gravité de la distribution. La somme des écarts à la moyenne est nulle. Affectée par les changements de variable. Si y = ax + b; on a : y = ax + b La moyenne contrairement à la médiane est très sensible aux valeurs extrêmes. La moyenne d'un groupe résultant de la fusion d'autres groupes n'est égale à la moyenne des moyennes que si tous les groupes ont le même effectif. Dans une distribution en cloche, unimodale et symétrique, moyenne, mode et médiane sont confondus.

34 Distribution des moyennes de plusieurs échantillons
La moyenne de l'échantillon est le meilleur estimateur de la moyenne de la population. La distribution des moyennes de petits échantillons (n<30) indépendants tirés de la même population suit une loi normale si la distribution de la variable est normale. Au-delà de 30, la distribution des moyennes suit une loi normale sans condition sur la distribution de la variable.

35 Exemple Soit la série correspondant aux tailles en cm de 6 étudiants : 160,170,180,180, 190, 200. n = 6; T = = 1080

36 nombre de familles (ni)
Exemple Le nombre de familles enquêtées est de 53. Le nombre total d’enfants est de 77. La moyenne du nombre d’enfants par famille est de 77/53 = 1,45. Attention aux arrondis ici si on arrondit à une décimale la moyenne est de 1,5 enfants par famille. nombre d'enfants (xi) nombre de familles (ni) ni*xi 10 1 20 2 15 30 3 5 4 12 Total 53 77

37 Exemple Les étudiants de première année de L1 santé sont répartis dans 3 amphithéâtres avec les données ci-dessous. Quelle est la moyenne de l’âge en L1 santé ? Effectifs Moyenne de l'âge en années Amphi 1 1000 18,1 Amphi 2 500 19,5 Amphi 3 18,3 Les effectifs étant différents dans les 3 groupes, la moyenne recherchée n’est pas la moyenne des moyennes. On calcule le total de l’âge des 3 groupes réunis : T = 18,1* *19,5+ 18,3*1000 = L’effectif total est de La moyenne recherchée est 46150/2500 =18,5 ans

38 Les autres moyennes Moyenne géométrique d'une série de valeurs positives est la racine nième du produit des n valeurs. Elle est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Moyenne harmonique d'une série de valeurs positives est égale à l'inverse de la moyenne des inverses. Moyenne quadratique est la racine carré de la moyenne arithmétique des carrés.

39 La médiane  La médiane notée x (tilde) est telle que la moitié des observations lui sont inférieure (ou égale) et la moitié supérieure (ou égale) : xi tel que Fi = 0,5. Sur les distributions symétriques unimodales en cloche (normales par exemple) la médiane est égale à la moyenne et au mode. Paramètre peu sensible aux valeurs extrêmes. Peut être utilisée pour des données ordinales.

40 La médiane : calcul Sur une distribution non groupée :
Si n impair, la médiane est l'observation de rang (N+1)/2 Si n est pair, tout nombre entre xN/2 et xN/2+1 convient. On prend la moyenne (pondérée en cas d'ex-aequo) entre ces deux valeurs. Sur une distribution groupée, la classe médiane est celle qui contient la médiane. Détermination graphique. En admettant que les observations soient réparties uniformément dans cette classe, on réalise une approximation linéaire.

41 Exemple Classe ni Ni Fi [140-160[ 10 0,05 [160-165[ 20 30 0,15
[ [ 60 0,30 [ [ 45 105 0,53 [ [ 40 145 0,73 [ [ 35 180 0,90 [ [ 15 195 0,98 [ [ 5 200 1,00 Total La classe qui contient la médiane est [170-[175. On pose les 2 équations : 0,53 = a*175 +b 0,30 = a*170+b => 0,23 = a*( ) a = 0,046 et b= -7,52 => y = 0,046x – 7,52 Cherchons x tel que y = 0,5 Médiane = 174,35

42 Mode Mode encore appelé valeur dominante : Rappel :
Correspond à la valeur la plus fréquente. xi correspondant au ni (ou fi)maximum. Il peut y avoir un ou plusieurs modes. Rappel : Dans les distributions en cloche, unimodales symétriques, mode, médiane et moyenne sont confondus.

43 Fractiles Quartiles Percentiles
Q1: xi tel que Fi = 0,25 => 1/4 des valeurs lui sont inférieures, 3/4 lui sont supérieures. Q2 = Médiane. Q3 : xi tel que Fi = 0,75 => 3/4 des valeurs lui sont inférieures, 1/4 lui sont supérieures. Détermination graphique. Interpolation linéaire (cf médiane). Percentiles 10ième percentile : xi tel que Fi = 0,10

44 Remarques On a : 50% des individus qui ont des valeurs en dehors de l’intervalle Q1-Q3 et 50% à l’intérieur. 25% des individus qui ont des valeurs comprises entre Q1 et médiane. 25% des individus qui ont des valeurs comprises entre médiane et Q3. 25% des individus qui ont des valeurs inférieure à Q1 25% des individus qui ont des valeurs supérieures à Q3 Ceci permet rapidement de se rendre compte si la distribution est symétrique ou non.

45 Paramètres de dispersion
Amplitude ou étendue. Ecart interquartiles. Variance et écart type. Coefficient de variation.

46 Amplitude ou étendue Ecart entre la valeur de l'observation maximale et celle de l'observation minimale. Non définie pour les distributions groupées (tolérance pour les variables quantitatives continues de la précision de la mesure). On montre que l'écart type est toujours inférieur ou égal à la moitié de l'amplitude. Dans les distributions unimodales en cloche l'écart type est égal : au tiers de l'amplitude pour n de l'ordre de 10, au quart de l'amplitude pour n entre 15 et 50, au cinquième pour des effectifs de 50 à 200, au sixième pour des effectifs de 200 à 1000.

47 Ecart interquartiles (EIQ)
EIQ = Q3 -Q1. Englobe 50% des observations. On utilise parfois l'écart semi-interquartile (Q3-Q1)/2.

48 Variance et écart type La variance (variance) d'une série ou d'une distribution de fréquences est la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne C'est par rapport à la moyenne que la somme des carrés des écarts est la plus faible. La variance de l'échantillon est souvent notée S2. Ce n'est pas un bon estimateur de la variance de la population souvent notée s2. L’estimation de la variance est notée s2. ^

49 Variance et écart type Le numérateur de la variance est appelé somme des carrés des écarts et noté SCE. L'écart type est la racine carré de la variance. On l'appelle également déviation standard (standard deviation). Il est dans l'unité de la variable. Variance et écart type sont indépendants des translations (changement d ’origine) mais pas des multiplications (changement d'unité). Si y = a * x + b, on a Sy = |a| * Sx Pour les distributions en cloche, la variance calculée à partir des classes est surestimée, certain réalise la correction de Sheppard.

50 Formules

51 Ecart type de la moyenne
Si l’on considère plusieurs échantillons indépendants, issus d’une population, on obtient plusieurs moyennes. La distribution des moyennes a un écart type appelé écart type de la moyenne ou erreur standard de la moyenne (ESM) (standard deviation of the mean – SDM).

52 Représentation en Box Plot
Résume la distribution en terme de paramètres de position et de dispersion.

53 Coefficient de variation
CV est le rapport écart type divisé par la moyenne. CV est un nombre pur, sans unités. CV est totalement indépendant des unités. Le CV permet de comparer la variabilité de distributions de variables qui ne sont pas dans les mêmes unités.

54 Moments centrés d’ordre k. Symétrie et aplatissement
moyenne arithmétique des écarts à la moyenne élevée à la puissance k. si k pair => paramètre de dispersion. si k impair => paramètre de symétrie. Coefficient de Pearson et de Fisher b1 pour caractériser la symétrie de la courbe; b2 pour caractériser l'aplatissement. b1 = M32 / M23 : est voisin de 0 si la distribution est symétrique. b2 = M4 / M22 : est voisin de 3 si la distribution suit une loi normale (plus aplatie qu'elle si b2 < 3). cf Loi Normale.

55 Statistique descriptive à 2 dimensions
Objectif : mettre en évidence les relations qui existent entre deux séries d'observations. Nature des variables : les deux variables peuvent être quantitatives, qualitatives ou l'une quantitative et l'autre qualitative. Deux variables mesurées chez le même individu par exemple poids et taille; poids et couleur des yeux, présence d’un cancer et éthylisme... Situations : Séries appariées : même variable mesurée dans deux circonstances : Avant - Après traitement. Cas - Témoins on apparie un témoin dépourvu de la maladie que l'on veut étudier sur différents points que l'on sait lier au phénomène étudié (par exemple pour une étude de la mortalité on apparie sur âge, sexe, ... Séries non appariées : Même variable mesurée dans des groupes différents.

56 Tableaux à 2 dimensions Série, distribution de fréquences : tables de contingence. Sujet Poids Taille 1 70 170 2 80 180 3 65 165 4 75 175 5 90 182 6 73 7 60 162 8 68 9 83 …. … Poids Taille Tot. Tot

57 Table de contingence Nombre de mesures totale n
Total de chaque ligne = li Total de chaque colonne = cj Effectif d'une cas = nij Fréquences relatives: nij / li : % en ligne nij / cj % en colonne nij / n % li / n cj / n Cheveux Yeux Blonds Bruns Autres Tot. (li) Clairs Foncés Tot. (cj)

58 Attention Cheveux Yeux Blonds Bruns Autres Tot. (li)
Clairs Foncés Tot. (cj) 300 = Nombre total de mesures. 100 = Nombre d'individus ayant les yeux clairs. 110 = Nombre d'individus ayant les cheveux blonds. 50 / 300 = % d'individus ayant les cheveux blonds et les yeux clairs. 50 / 110 = % d'individus parmi les blonds ayant les yeux clairs. 50 / 100 = % d'individus parmi les yeux clairs ayant les cheveux blonds.

59 Représentation graphique 2 variables quantitatives
Nuage de points 55 60 65 70 75 80 85 90 160 165 170 175 180 185

60 Covariance

61 Covariance S S Calcul T * T x * y - N N x * y x y Cov (x,y) =
= Txy = somme des produits i = 1

62 Table de contingence de 2 caractères binaires
Très utilisées en santé : Recherche de facteur de risque : exemple enquêtes exposés/non exposés. Evaluation d’un test diagnostic.

63 Recherche de facteurs de risques : paramètres utilisés
Cancer du poumon et éthylisme. Fréquences relatives : Risques : - Cancer chez les éthyliques : R1 = 73/1000 - Cancer chez les non éthyliques: R0 = 37/1000 Cancer + Cancer - Total Ethylisme + 73 927 1 000 Ethylisme - 37 963 110 1 890 2 000

64 Risque relatif et odds ratio
RR est le rapport du risque chez les exposés (R1) sur le risque des non exposés (R0). RR = R1/R0 = 0,073/0,037 =1,97 Cote (Odds) (cf course de chevaux). Chez les éthyliques R1/(1-R1) = 0,79 Chez les non éthyliques R0/(1-R0) = 0,038 Odds ratio (OR) ou rapport de cotes. OR = 0,79/0,038 = 2,05 L’OR est souvent utilisé en épidémiologie. Si la fréquence de la maladie est faible, les valeurs de OR et de RR sont très proches.

65 Recherche de facteurs de confusion
On a montré que l’on avait 1,97 fois plus de chance de faire un cancer du poumon si l’on boit que si l’on ne boit pas… Mais ? Un facteur de confusion est simultanément facteur de risque pour la maladie et est une variable associée à l'exposition. Les facteurs de confusion potentiels sont le tabagisme et le sexe. La première variable à considérer est le « tabagisme ». 

66 Table de contingence à 3 variables
Cancer du poumon + Cancer du poumon - Total Tabagisme + Ethylisme + 70 630 700 Ethylisme - 30 270 300 100 900 1 000 Tabagisme - 3 297 7 693 10 990 110 1 890 2 000

67 Calcul des différents risques
Chez les fumeurs, la fréquence du cancer est de 100/1000 = 0,1 contre 10/1000 = 0,01; RR = 10 Le tabagisme est un facteur de risque pour le cancer du poumon, car les fumeurs ont 10 fois plus de risque de développer un cancer du poumon que les non-fumeurs. Quel est le RR d'être alcoolique pour les fumeurs par rapport aux non fumeurs ? RR = 700/1000 / 300/1000 = 2,3 Il existe une association entre le tabagisme et l'éthylisme. Les fumeurs ont 2,3 fois plus de chance d'être alcooliques que les non-fumeurs. Le tabagisme est un facteur de confusion dans cette étude, les données doivent être analysées en tenant compte de cette variable. Calculer le RR (éthylisme) dans chaque strate Tabagisme+ RR = 70/700 / 30/300 = 1 Tabagisme - RR = 3/300 / 7/700 = 1 L'association entre éthylisme et cancer du poumon dans les données brutes (RR = 1,97) est le produit d'un biais de confusion. Car à l'intérieur des différentes strates du "tabagisme" il n'existe aucune association entre éthylisme et le cancer du poumon : RR = 1. Cancer + Cancer - Total Tabagisme + Ethylisme + 70 630 700 Ethylisme - 30 270 300 100 900 1 000 Tabagisme - 3 297 7 693 10 990 110 1 890 2 000

68 Quelques indicateurs utilisés en statistiques hospitalières
Lits. Entrées et Sorties. Durée moyenne de séjour : DMS. Coefficient (taux d’occupation) des lits, Lits occupés. Effectifs et équivalents temps pleins.

69 Lits Comment compter les lits dans un hôpital ?
Lits Installés au 1er janvier. Lits disponibles pendant un période : Comment comptabiliser l’indisponibilité ? Fermeture pour désinfection, Fermeture par manque d’effectifs soignants, Fermeture par manque de malades, …..

70 Entrées, sorties, malades présents
On parle d’entrées ou de sorties pendant une période donnée. Date de début Date de fin 2 4 3 1 10 30 Chaque trait représente un malade. - 3 entrées - 4 sorties - 6 présents Et pour les journées ? - 21 j (entrants) - 23 J (sortants) - 52 J (présents)

71 Durée moyenne de séjours :
Durée de séjour PMSI = DS-DE + 1 si décès. DMS :

72 Taux d’occupation des lits et lits occupés

73 Effectifs, Equivalents temps plein
Les effectifs correspondent au nombre de personnes employées par la structure. Les équivalents temps plein (ETP) représentent la force de travail. Une personne travaillant à temps partiel est comptabilisée en fonction de son temps de travail. Par exemple un hospitalo-universitaire compte pour 0,5 ETP.

74 L1 SANTE