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1 Thème : ESPACE ET MOUVEMENT Rebond dune balle. 2 Etude du rebond dune balle (1). Expérimentation : Une caméra web permet de filmer le mouvement dune.

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1 1 Thème : ESPACE ET MOUVEMENT Rebond dune balle

2 2 Etude du rebond dune balle (1). Expérimentation : Une caméra web permet de filmer le mouvement dune balle lâchée sans vitesse initiale.

3 3 Etude du rebond dune balle (2). Expérimentation : Sur cette vidéo numérique le logiciel AVIMECA permet deffectuer des mesures de position du centre de la balle, image par image, donc à des dates successives connues.

4 4 On obtient ainsi: Les abscisses y i du centre sur un axe vertical dirigé vers le bas. Les dates de passage t i à ces abscisses.

5 5 Utilisation dun tableur Ce tableau de mesures peut être exporté vers un tableur pour calculer les vitesses v instantanées et pour représenter graphiquement y et v au cours du temps t

6 6 Graphique obtenu avec un tableur

7 7 Deux approches Mathématiques Physique

8 8 En Physique : Les données recueillies (yi;ti) permettent, à laide du tableur, de calculer les composantes de la vitesse instantanée v y en fonction de la date t dans les différentes parties du mouvement.

9 9 Avant le premier rebond v=f(t) f(t)= -9,4.t-0,51

10 10 Entre le premier et le second rebond v = j(t) j(t) = -9,3.t + 7,9

11 11 Après le second rebond 0, 0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3, v=h(t) h(t)= -10,2.t+16,1

12 12 Les deux rebonds consécutifs v en fonction de t

13 13 Conclusion On obtient : des représentations graphiques de v(t) qui sont sensiblement des portions de droite. des coefficients directeurs voisins : g 9,4 m/s² ; g 9,3m/s² ; g 10,2m/s² Ces valeurs devraient être égales à 9,8 m/s 2

14 14 Confrontation des prédictions dun modèle théorique aux résultats expérimentaux Si le mouvement de la balle dans lair seffectue sans frottement, daprès le théorème du centre dinertie, le vecteur accélération du centre de la balle doit être égal au vecteur champ de pesanteur de norme g = 9,8 m/s 2. La composante vy du vecteur vitesse est donc une fonction affine de la date t (entre chaque rebond). Les valeurs expérimentales ne sont pas rigoureusement égales à 9,8 m/s 2 car : – les « pointés » nont pas toujours été bien faits par les élèves, –Limage verticale contient 240 pixels pour une hauteur de 1,2m : 2 pixels sont séparés de 5 mm, distance relativement importante pour ce mouvement de chute libre.

15 15 Activités de lélève en physique Acquérir un film et traiter des images. Programmer le tableur pour le calcul des vitesses instantanées et obtenir la représentation graphique de v y en fonction de t. Conclure : v y est-elle fonction affine de t ?

16 16 Activité de lélève en physique Retrouver la valeur de laccélération de la pesanteur : le coefficient directeur de la droite représentative de vy en fonction de t doit être égal à -g si le frottement peut-être négligé. Retrouver par intégration la loi horaire : si v y = -g t + b alors par intégration : y = (-1/2)g t²+ bt +c

17 17 En mathématiques : Les points semblent appartenir à des courbes qui, immédiatement sont interprétées comme des paraboles. On cherchera donc à obtenir les équations de ces paraboles : y= a t² + b t + c Doù un travail mathématique de résolution de système linéaire de trois équations à trois inconnues.

18 18 Les paramètres de ce système sont des nombres décimaux, la résolution se fera facilement à laide dun moyen de calcul automatisé : calculatrice, par exemple, ou logiciel de calcul formel. Une fois les solutions trouvées, on peut obtenir à laide du tableur la modélisation du mouvement.

19 19 Le choix de trois points dans les séries de données précédentes correspondant aux différents rebonds permet dobtenir trois systèmes linéaires à trois inconnues : On cherche a, b, c tels que la parabole déquation : y = at²+bt+c passe par les points de coordonnées (t i, y i ) ci-dessous : (0; 1,17) ; (0,102 ; 1,07) ; (0,238 ; 0,79) (a,b,c ) est solution dun système de trois équations linéaires à trois inconnues: doù y = -4,53 t²-0,52 t +1,17

20 20 De même, pour le premier rebond : Coordonnées des points utilisés : (0,476 ;0,13) ; (0,578 ;0,13) ; (0,714 ;0,72) La solution est : doù, on prendra : y = -4,84 t² +8,24 t – 2,7 Pour le deuxième rebond : Coordonnées des points utilisés : (1,292;0,14) ; (1,394 ;0,39) ; (1,53 ;0,56) La solution est : doù, on prendra : y = -5,05 t² +16,01t –12,12

21 21 Modélisation Le tableur recalcule les abscisses yi à laide de fonctions trouvées

22 22 Activités de lélève en mathématiques Choix des points (y i,t i ) Résolution dun système ( méthode du pivot de Gauss) dont les paramètres dépendent des points choisis. Utilisation de la calculatrice pour la résolution des systèmes : cela permet davoir très rapidement plusieurs courbes, parmi lesquelles on fera le choix des mieux adaptées aux résultats obtenus à laide du tableur.

23 23 Activités de lélève en mathématiques Les fonctions du second degré étant trouvées, il peut calculer les vitesses au moment des rebonds.Ici interviennent les notions de : Fonction non dérivable en un point. Dérivée à gauche et à droite.

24 24 Activités de lélève en mathématiques A linstigation du physicien, il peut être intéressant de calculer la valeur absolue du rapport des vitesses avant et après le rebond, puis de comparer ces rapports au fur et à mesure des rebonds.

25 25 Calculs des vitesses Fonctions modélisant les rebonds : f 1 (t) = -4,5 3 t² - 0,52 t + 1,17 f 2 (t) = -4,84 t² + 8,24 t – 2,70 f 3 (t) = -5,05 t² + 16,01t – 12,12 Calcul des fonctions dérivées(vitesses ) en fonction du temps : f 1 (t) = - 9,06 t – 0,52 f 2 (t) = -9,68 t + 8,24 f 3 (t) = -10,09 t + 16,01

26 26 Vitesses (suite) On recherche les coordonnées des points dintersection des courbes avec laxe des temps. On obtient les valeurs suivantes : Valeurs avant rebond : t 1 = 0,44st 3 =1,25st 5 = 1,92s Valeurs après rebond : t 2 = 0,45st 4 = 1,26s Doù les calculs de vitesses aux points de rebond : V 1 - 4,63m/s ; V 2 3,96m/s V 3 - 3,97m/s ; V 4 3,41m/s

27 27 Calcul des rapports de vitesses r 0,86 r 0,86 Il semble quil y ait un rapport constant entre la valeur absolue de la vitesse avant rebond et celle de la vitesse après rebond.

28 28 Activités de lélève en mathématiques Lorsquon obtient un rapport constant, cela signifie que la suite des valeurs absolues des vitesses v y aux moments des rebonds est une suite géométrique. Admet-elle une limite ? Y a-t-il un lien avec les altitudes auxquelles remonte la balle ?

29 29 Sommet dune parabole f (t) = 2at+ b S a pour coordonnées :

30 30 Suites géométriques f(t) = 0 pour t = Alors : f (t) =

31 31 Si lon observe que :, cela signifie que :, doù :, en appelant y 1, lordonnée du sommet S 1 de la première « parabole » et y 2 celle du sommet S 2 de la deuxième « parabole ».

32 32 Conclusion La suite des valeurs absolues des vitesses Vy est une suite géométrique de rapport 0,86 dans les calculs présents. La suite des ordonnées des sommets des trois paraboles est une suite géométrique de rapport (0,86)², ce que lon doit vérifier sur les courbes du modèle.

33 33 Vérification Hauteur initiale : y 1 1,15m Premier rebond : y 2 0,81m Deuxième rebond : y 3 0,58m y 2/ y 1 O,70 ; y 3/ y 2 0,72 et 0,86² 0,74

34 34 Activités de lélève en physique Analyser le tableau (v y ;t) et faire des choix : les valeurs de la date et de la vitesse v y juste avant et juste après le rebond sont délicates à déterminer.

35 35 Premier rebond La date « juste avant » le premier rebond est environ égale à 0,44s (ou 0,45s) ( daprès la courbe) La relation v=-9,39t-0,51 donne la vitesse approximative juste avant le premier rebond : V av (0,44) = - 4,6 m/s. La date « juste après » le premier rebond est estimée aussi égale à 0,44s. La relation v=-9,27t+7,9 donne la vitesse approximative juste après le premier rebond : Vap(0,44) = 3,8 m/s. La valeur absolue du rapport V Ap / V Av est environ égale à 0,82.

36 36 Second rebond La date « juste avant » le second rebond est environ égale à 1,25s. La relation v = - 9,27t+7,9 donne la vitesse approximative juste avant le second rebond : V av (1,25) = - 3,7 m/s. On retrouve sensiblement la valeur de la vitesse juste après le premier rebond. La date « juste après » le second rebond est estimée aussi égale à 1,25s. La relation v = - 10,2t + 16,1 donne la vitesse approximative juste après le second rebond : Vap(1,25) = 3,3 m/s La valeur absolue du rapport V Ap / V Av est environ égale à 0,88.

37 37 Conclusion Les mesures des rapports V Ap / V Av sont approximatives car lenregistrement a été effectué à 30 images par seconde : en effet, lintervalle de temps entre 2 images est trop long pour obtenir précisément les dates de contact avec le sol.

38 38 Activités de lélève en physique On peut demander à lélève dappliquer le théorème de lénergie cinétique pour montrer que : V² AP /V² AV h 2 /h 1, où h 1 et h 2 sont respectivement les altitudes auxquelles remonte la balle avant et après un rebond.

39 39 Résultats Y AV étant laltitude maxi avant le rebond et y AP étant laltitude maxi après le rebond, on devrait vérifier : Les calculs donnent pour le premier rebond : =0,67 et pour le second rebond : = 0,77 et 0,72

40 40 Questions Le rapport des vitesses dépend-il de la hauteur initiale de chute? Ne dépend-il que de la balle et de la nature du sol ? On peut suggérer à lélève dutiliser un logiciel de simulation pour avoir une idée de la réponse.

41 41 Utilisation dun logiciel de simulation Utiliser un logiciel de simulation : Interactive physique pour comprendre que le mouvement est déterminé si lon connaît la vitesse initiale, la position initiale et laccélération du centre de gravité. IP

42 42 Méthode dintégration dEuler

43 43 Calcul de la fonction vitesse y est une fonction constante de t : en effet, le mouvement se fait sous laction de la pesanteur seule, et les frottements sont supposés négligeables. Or on peut approcher ypar le quotient : Δy/Δt. La fonction y est donc une fonction affine de t, puisque la variation de cette fonction est proportionnelle à la variation de la variable t

44 44 Approximation de la loi horaire : y= v(t) = -gt puisque la vitesse initiale est nulle Posons y = f(t) Dans le cours de première, on apprend que : pour tout h tel que t i + h soit dans lensemble de définition de f, on a : f(t i +h) f(t i ) + h.f (t i ), lorsque h est »petit » On prend : h = t i+1 -t i

45 45 Méthode dEuler ( suite) On a alors : f(t i+1 ) f(t i ) – 0,05 9,81 t i et f(t 0 ) = 1,2 Doù les calculs faits dans un tableur :

46 46 Méthode dEuler ( suite) On obtient ensuite une ligne polygonale approchant la courbe représentant la fonction f en choisissant loption graphique du tableur : « nuage de points », puis en lui faisant relier les points de coordonnées (t i,y i ) par des segments de droite.

47 47 Graphique obtenu avec la méthode dEuler

48 48 Analyse de lerreur de méthode :

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