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Évolution de la charge dun condensateur sous tension constante Étude qualitative Étude expérimentale Exploitation des mesures Étude de la tension aux bornes.

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1 Évolution de la charge dun condensateur sous tension constante Étude qualitative Étude expérimentale Exploitation des mesures Étude de la tension aux bornes du condensateur Étude de lintensité du courant électrique Étude de la somme des tensions aux bornes de R et C Étude graphique de la constante de temps du circuit Mise en équation du système Lancer le diaporama F5

2 ETUDE QUALITATIVE

3 12 V 18 V 3 V 9 V 10 Le condensateur C est branché en série avec une résistance R. C R Lorsque linterrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément La brillance de la lampe permet dévaluer qualitativement lintensité du courant avec le temps + -

4 12 V 18 V 3 V 9 V 10 Le condensateur C est branché en série avec une résistance R. C R Lorsque linterrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément + -

5 12 V 18 V 3 V 9 V 10 La lampe brille de moins en moins avec le temps. C R Lintensité du courant électrique diminue progressivement + -

6 12 V 18 V 3 V 9 V 10 La lampe séteint au bout de quelques secondes. C R Lintensité du courant électrique est pratiquement nulle + - Sommaire

7 ETUDE EXPERIMENTALE

8 V 18 V 3 V 9 V 10 La lampe est retirée, elle est remplacée par un ampèremètre. C R Lampèremètre mesure i (t), lintensité du courant dans le circuit électrique A i (t) + -

9 V 18 V 3 V 9 V 10 Un voltmètre est placé aux bornes de lalimentation stabilisée. C R Le voltmètre mesure U, la tension aux bornes de la source de tension, constante et égale à 5 volts A 5.00 V U + -

10 V 18 V 3 V 9 V 10 Un voltmètre est placé aux bornes du condensateur. C R Le voltmètre mesure u c (t), la tension aux bornes du condensateur A 5.00 V 0.00 V u c (t) + -

11 V 18 V 3 V 9 V 10 Un voltmètre est placé aux bornes de la résistance. C R Le voltmètre mesure u R (t), la tension aux bornes de la résistance A 5.00 V 0.00 V V u R (t) + -

12 V 18 V 3 V 9 V 10 Un chronomètre donne le temps entre deux mesures. C R Lévolution des grandeurs i (t), U, u c (t) et u R (t) est donnée en fonction du temps t A 5.00 V 0.00 V V 00:00 min:sec + -

13 V 18 V 3 V 9 V 10 C R On relève toutes les grandeurs proposées, elles seront placées dans un tableau. A 5.00 V 0.00 V V Linterrupteur se ferme à linstant « t = O ». 00:00 min:sec + -

14 V 18 V 3 V 9 V 10 C R Pour t = 0 s A 5.00 V 0.00 V 5.00 V U = 5 V i (t) = 0,22 mA u C (t) = 0 V u R (t) = 5 V 00:00 min:sec Tension aux bornes de lalimentation Tension aux bornes du condensateur Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes de la résistance + -

15 V 18 V 3 V 9 V 10 C R Pour t = 10 s A 5.00 V 0.83 V 4.17 V U = 5 V 00:10 min:sec Tension aux bornes de lalimentation Tension aux bornes du condensateur Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes de la résistance i (t) = 0,19 mA u C (t) = 0,83 V u R (t) = 4,17 V + -

16 V 18 V 3 V 9 V 10 C R Pour t = 20 s A 5.00 V 1.52 V 3.48 V U = 5 V 00:20 min:sec Tension aux bornes de lalimentation Tension aux bornes du condensateur Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes de la résistance i (t) = 0,16 mA u C (t) = 1,52 V u R (t) = 3,48 V + -

17 V 18 V 3 V 9 V 10 C R Pour t = 60 s A 5.00 V 3.32 V 1.68 V U = 5 V 01:00 min:sec Tension aux bornes de lalimentation Tension aux bornes du condensateur Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes de la résistance i (t) = 0,08 mA u C (t) = 3,32 V u R (t) = 1,68 V + -

18 V 18 V 3 V 9 V 10 C R Pour t = 120 s A 5.00 V 4.44 V 0.56 V U = 5 V Tension aux bornes de lalimentation Tension aux bornes du condensateur Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes de la résistance i (t) = 0,03 mA u C (t) = 4,44 V u R (t) = 0,56 V 02:00 min:sec + -

19 V 18 V 3 V 9 V 10 C R Pour t = 180 s A 5.00 V 4.81 V 0.19 V U = 5 V Tension aux bornes de lalimentation Tension aux bornes du condensateur Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes de la résistance i (t) = 5 A u C (t) = 4,81 V u R (t) = 0,19 V 03:00 min:sec + -

20 V 18 V 3 V 9 V 10 C R Pour t = 240 s A 5.00 V 4.94 V 0.06 V U = 5 V Tension aux bornes de lalimentation Tension aux bornes du condensateur Intensité du courant dans le circuit Tension aux bornes de la résistance i (t) = 3 A u C (t) = 4,94 V u R (t) = 0,06 V 04:00 min:sec + -

21 Sommaire Lensemble de toutes les valeurs relevées sont rassemblées dans un tableau t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 u R (t) [V] 5 4,17 3,48 2,9 2,42 2,01 1,68 1,4 1,17 0,97 0,56 0,33 0,19 0,11 0,06 i (t) [mA] 0,22 0,19 0,16 0,13 0,11 0,09 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,005 0,003

22 EXPLOITATION DES MESURES

23 EXPLOITATION DES MESURES ETUDE N ° 1 Évolution de la tension aux bornes du condensateur u C (t) = f (t)

24 t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 Toutes les valeurs des mesures de la tension aux bornes du condensateur sont consignées dans un tableau Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

25 Tracé de lévolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps t [s] 10 u c (t) [V] 0, t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

26 t [s] 10 u c (t) [V] 0, t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 Tracé de lévolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps

27 t [s] 10 u c (t) [V] 0, t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 Tracé de lévolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

28 t [s] 10 u c (t) [V] 0, t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 Tracé de lévolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.

29 Lévolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 Lensemble de ces croix permet de traduire lévolution de la tension aux bornes du condensateur.

30 La courbe de la charge dun condensateur soumis à un échelon de tension est la suivante t [s] u c (t) [V] 5 u c (t) = f (t) Sommaire

31 EXPLOITATION DES MESURES ETUDE N ° 2 Évolution de lintensité du courant dans le circuit électrique i (t) = f (t)

32 t [s]i (t) [mA] 00,22 100,19 200,16 300,13 400,11 500,09 600,08 700,06 800,05 900, , , , , ,003 Toutes les valeurs des mesures de lintensité du courant électrique sont consignées dans un tableau Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.

33 Lévolution de lintensité du courant électrique en fonction du temps t [s] i(t) [mA] 00,22 100,19 200,16 300,13 400,11 500,09 600,08 700,06 800,05 900, , , , , ,003 t [s] 10 0,045 0,090 0,135 0, i(t) [mA] 0,225 Lévolution de lintensité du courant électrique est tracée comme précédemment.

34 La courbe de lintensité du courant dans un circuit capacitif soumis à un échelon de tension est la suivante t [s] 0,045 0,090 0,135 0, i (t) [mA] 0,225 i (t) = f (t) Sommaire

35 EXPLOITATION DES MESURES ETUDE N ° 3 Évaluation de la somme des tensions aux bornes des composants u C (t) + u R (t)

36 t [s]u c (t) [V] ,83 201,52 302,1 402,58 502,99 603,32 703,6 803,83 904, , , , , ,94 Toutes les valeurs des mesures des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance sont consignées dans un même tableau u R (t) [V] 5 4,17 3,48 2,9 2,42 2,01 1,68 1,4 1,17 0,97 0,56 0,33 0,19 0,11 0,06

37 Tracé des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance Les tensions aux bornes du condensateur et de la résistance en concordance des temps u c (t) [V] u R (t) [V] t [s]

38 Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance Prenons un point quelconque sur la courbe de u c (t) t [s] u c (t) [V] u R (t) [V]

39 Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance Prenons le point correspondant sur la courbe de u R (t) t [s] u c (t) [V] u R (t) [V]

40 Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance Repérons les deux valeurs sur laxe des tensions. t [s] u c (t) [V] u R (t) [V]

41 Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance t [s] u c (t) [V] u R (t) [V] Faisons la somme des deux valeurs obtenues.

42 Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance t [s] u c (t) [V] u R (t) [V] La somme des deux tensions est égale à la tension dalimentation U.

43 Tracé de la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance t [s] u c (t) [V] u R (t) [V] Cette propriété reste vraie à nimporte quel instant.

44 12 V 18 V 3 V 9 V 10 C R i (t) + - u R (t) u C (t) U Nous venons de vérifier expérimentalement la loi additive des tensions U = u C (t) + u R (t) La somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance Sommaire

45 EXPLOITATION DES MESURES ETUDE N ° 4 Détermination graphique de la constante de temps du circuit = R.C

46 EXPLOITATION DES MESURES Détermination graphique de la constante de temps du circuit PREMIERE METHODE Tangente à lorigine = R.C

47 La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de la courbe u C (t) t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 Tracer la tangente à lorigine de la courbe u C (t).

48 Il est nécessaire de tracer la droite déquation U égale à la tension dalimentation constante. t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 Repérer le point dintersection de cette tangente avec la droite caractérisant la tension dalimentation.

49 La constante de temps du circuit sobtient par projection. t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 Ce point dintersection permet de déterminer la constante de temps du circuit.

50 La constante de temps du circuit sobtient par projection sur laxe des temps. t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 La constante de temps du circuit est notée. Elle est égale au produit = R.C Seconde méthode : Clic

51 EXPLOITATION DES MESURES Détermination graphique de la constante de temps du circuit DEUXIEME METHODE Pourcentage de la tension finale = R.C

52 La constante de temps du circuit peut se déterminer à partir de deux droites t [s] 10 0, u c (t) [V] 5

53 La première droite est celle qui correspond à la tension finale de u c (t) t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 Tracer lasymptote à la courbe u C (t) lorsque t tend vers linfini.

54 Cette droite donne la tension finale de u c (t) t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 la valeur de la tension finale de u c (t) est égale à la valeur de lalimentation. Valeur finale de la tension u c (t)

55 La seconde droite correspond à 95 %la tension finale de u c (t) t [s] 10 0, u c (t) [V] 5 Calculer la valeur égale à 95 % de la valeur de lalimentation. 100 % de la valeur finale 95 % de la valeur finale

56 Cette droite coupe la courbe u c (t) à un instant particulier correspondant à 3. t [s] 10 0, Linstant t permet de déterminer la valeur du triple de la constante de temps. 95 % de la valeur finale u c (t) [V] 5 3

57 La grandeur peut donc être déterminée avec cette seconde méthode t [s] 10 0, Un simple calcul permet de déterminer la valeur de la constante de temps u c (t) [V] 5

58 Linstant 3. permet de différentier deux modes de fonctionnement t [s] 10 0, Les deux régimes, transitoire et permanent, sont déterminés graphiquement u c (t) [V] 5 3 Régime transitoire Régime établi Sommaire

59 ETUDE MATHEMATIQUE

60 12 V 18 V 3 V 9 V 10 C R i (t) + - u R (t) u C (t) U Le montage réel Le montage équivalent électrique R C u R (t) u C (t) U i (t) Le montage à étudier est le suivant Les grandeurs électriques utilisées sont les suivantes q (t)

61 Quelques définitions : Les éléments du circuit électrique RLa valeur de la résistance en ohms [ ] CLa capacité du condensateur en farads [F] Dans létude expérimentale : R = 22 k C = 2 5OO F

62 Quelques définitions : La source de tension du circuit électrique ULa valeur de la tension dalimentation en volts [V] Avant linstant initial : La tension U est nulle A linstant t = O La tension prend instantanément la valeur constante E Dans létude expérimentale : La tension E est égale à 5 volts

63 Quelques définitions : Lintensité du courant dans le circuit électrique i (t)La valeur instantanée de lintensité du courant électrique en ampères [A] Les deux composants R et C du circuit électrique sont en série Ils sont donc traversés par la même intensité du courant électrique.

64 Quelques définitions : Les tensions aux bornes des composants R et C u C (t)La valeur instantanée de la tension aux bornes du condensateur en volts [V] u R (t)La valeur instantanée de la tension aux bornes de la résistance en volts [V]

65 Quelques définitions : La charge instantanée dans le condensateur C q (t)La valeur instantanée de la charge dans le condensateur en coulombs [C] Lorsque le courant i (t) circule dans le circuit, le condensateur se charge Il accumule des charges positives et négatives sur ses différentes plaques La charge q (t) rend compte de létat électrique de cette charge.

66 Nous obtenons donc la relation : U = u R (t) + u C (t) R C u R (t) u C (t) U i (t) Appliquons la loi des mailles sur ce circuit q (t) Suivant le sens de parcours donné : U - u R (t) - u C (t) = O

67 La loi dOhm aux bornes de la résistance : u R (t) = R.i (t) Quelques relations utiles : R C u R (t) u C (t) U i (t) q (t)

68 La charge du condensateur : q (t) = C.u C (t) Quelques relations utiles : R C u R (t) u C (t) U i (t) q (t)

69 Lintensité du courant électrique : i (t) = Quelques relations utiles : R C u R (t) u C (t) U i (t) q (t)

70 R C u R (t) u C (t) U i (t) q (t) U = u R (t) + u C (t) u R (t) = R.i (t) q (t) = C.u C (t) i (t) = = U = u R (t) + u C (t)= + u C (t) A t = O, la tension U prend la valeur E, léquation différentielle devient : u C (t) += E

71 1 ère étapeRappel mathématique dt dy Léquation est de la forme:= a.y + b La solution sécrit donc: y= K.e - Pour K, a et b Ici : La tension u c (t) sécrit donc: = u C (t) + dt (t)du c a.t u C (t) = K.e + E

72 2 ème étapeÉtude des conditions initiales La tension aux bornes du condensateur est nulle à linstant initial donc u C (O) = OdoncA + E = O Nous en déduisons la valeur de A = - E u C (t) = E.( 1 – e )

73 Étude de lintensité du courant i (t) i (t) = e i (t) = = C. dt (t)du c u C (t) est de la forme u C (t) = E.(1 – e ) est donc de la forme =.e ) dt (t)du c dt (t)du c Sommaire


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