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L'aléatoire au collège, des expériences aux connaissances Expérience « biberons » Lancer dun dé Articulation avec le cours Expériences à deux épreuves.

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1 L'aléatoire au collège, des expériences aux connaissances Expérience « biberons » Lancer dun dé Articulation avec le cours Expériences à deux épreuves Prolongements et conclusion 1 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

2 Inspiration Nadine et Guy Brousseau, Ginger Warfield Classe de CM Fil rouge sur lannée scolaire Expérience « biberons » 2Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

3 Description de lexpérience Composition Groupes Manipulations autorisées Consignes Expérience « biberons » 3 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

4 Rôle du professeur Consignes décriture Motivation Comparaison Productions Expérience « biberons » 4 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

5 Motivation Donner du sens à « 3 chances sur 5 » Approche « fréquentiste » Prise de risque Accès à une partie des représentations des élèves Expérience « biberons » 5 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

6 6 Copie 4Expérience « biberons »

7 7Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Copie 8Expérience « biberons »

8 8Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Copie 13Expérience « biberons »

9 9Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Copie 1Expérience « biberons »

10 10Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Copie 9Expérience « biberons »

11 11Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Comparaison de procédures Expérience « biberons »

12 Cadre théorique 12 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Expérience « biberons » nombre de boules noires tirées probabilités1%8%23%35%26%8% Pour 5 tirages : parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires probabilités1%7%18%25%24%15%7%2%0,43%0,05%0,003%

13 Cadre théorique 13 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Expérience « biberons » Pour 20 tirages : nombre de boules noires probabilité1%4%7%12%16%18%17%12%7%3%1% parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires Probabilité1%4%11%20%25%21%12%5%1%

14 Cadre théorique 14 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Expérience « biberons » Pour 50 tirages : %2%3%4%6%8%10%11% 10%8%6%4%3%1% parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires probabilité 2%8%19%30%28%12%

15 Cadre théorique 15 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Expérience « biberons » Pour 100 tirages : % 2% 3%4%5%6%7% 8% 7%6%5%4%3%2% 1% parmi 10 groupes, nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires probabilité 0,1%1%8%32%59%

16 Cadre théorique 1000tirages de 10 s_ries de 5.xls Expérience « biberons » 16 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

17 Synthèse Expérience « biberons » 17 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Après 5 tirages Fréquence de boules noires Après 10 tirages Fréquence de boules noires Après 20 tirages Fréquence de boules noires Après 50 tirages Fréquenc e de boules noires G13B 2N4B 6N8B 12N22B 28N G23B 2N4B 6N8B 12N21B 29N G32B 3N5B 5N8B 12N22B 28N G43B 2N7B 3N10B 10N22B 28N G51B 4N1B 9N2B 18N10B 40N G62B 3N5B 5N8B 12N17B 33N G72B 3N4B 6N7B 13N21B 29N G81B 4N5B 5N10B 10N20B 30N G93B 2N4B 6N6B 14N21B 29N G103B 2N3B 8N8B 12N22B 28N G112B 3N4B 6N9B 11N24B 26N G121B 4N3B 7N5B 15N16B 34N G132B 3N5B 5N7B 13N16B 34N G144B 1N8B 2N11B 9N22B 28N

18 Synthèse Expérience « biberons » 18 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège FinalementFréquence dapparition de N G169B 96N G286B 104N G348B 64N G450B 59N G535B 90N G632B 68N G736B 62N G831B 44N G929B 36N G1044B 56N G1146B 59N G1230B 50N G1362B 90N G1439B 57N Total634B 927N

19 Synthèse Expérience « biberons » 19 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège simulation biberon_.xls

20 Expérience « lancer dun dé » 20 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Totaux LM KG LC IP OE EH VLN CM MH ML PM MW CE LB MN QM GN SL JS BB MA LK MT CGS QB OS NF Totaux Fréquences

21 Expérience « lancer dun dé » 21 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Simulation_un_d_.xls Simulation

22 Cours 22 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Numéro de la face TOTAL Effectifs Fréquences0,160,260,140,040,20 1 Numéro de la face TOTAL Effectifs Fréquences0,1580,1640,1810,1580,1660,1741 Regard « fréquentiste » sur une expérience

23 Cours 23 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Regard « probabiliste » et synthèse Regard « probabiliste » sur la même expérience Le dé a 6 faces et chaque face a autant de chances de sortir que les autres : chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. On dit que la probabilité dobtenir chaque face est égale à 1/6 Synthèse Plus le nombre de lancers augmente, plus il y a de chances que la fréquence dapparition de chaque face se rapproche de 1/6 soit environ 16,7%

24 Cours 24 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Représentation et traitement dune expérience aléatoire à une épreuve Lancer dun dé équilibré Il y a 6 issues possibles. Les six issues sont équiprobables. On a 1 chance sur 6 dobtenir « 1 » La probabilité dobtenir « 1 » est 1/6 La somme des probabilités est égale à 1 :

25 Cours 25 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Représentation et traitement dune expérience aléatoire à une épreuve On tire une boule au hasard dans ce sac conteant 3 boules noires et deux boules blanches (comme le biberon) Il y a deux issues possibles : « B » et « N ». Elles ne sont pas équiprobables On a 3 chances sur 5 dobtenir « N» La probabilité dobtenir « N » est 3/5. La somme des probabilités est égale à 1:

26 Première expérience Donner les issues possibles. Sont-elles équiprobables ? Pourquoi ? Observer une simulation de cette expérience. Que peut on conjecturer pour les probabilités de chaque issue ? Expérience à deux épreuves 26 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

27 Simulation Boulepi_ce.xls Confiance Comparaison de VF et VP Expérience à deux épreuves 27 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

28 Expérience à deux épreuves 28 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Représentation Représentations possiblesInterprétations La représentation ci-contre permet de montrer quil y a 10 « chemins » possibles. On a colorié en gras les « chemins » conduisant à « VF ». Il y en a 3. La probabilité dobtenir « VF » est donc égale à ou 0,3.

29 Expérience à deux épreuves 29 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Articulation avec le cours Pour un grand nombre dexpériences : En moyenne, 3/5 dentre elles donneront « Vert » pour le « tirage » de boules. Parmi ces dernières, en moyenne, la moitié dentre elles donneront « Face » pour le lancer de pièce. Par conséquent, en moyenne, la moitié des 3/5 des expériences donneront « VF ». La probabilité dobtenir « VF » est donc égale à : V F P 1/2 3/5 2/5 R F P 1/2

30 Expérience à deux épreuves 30 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Limites On lance une pièce parfaitement équilibrée. On note le motif de la face supérieure (P ou F) Si la pièce tombe sur Pile, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et deux boules rouges. Si la pièce tombe sur Face, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et une boule rouge.

31 Expérience à deux épreuves 31 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Autre représentation Patron du dé dAlicePatron du dé de Bertrand

32 Expérience à deux épreuves 32 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège Autre représentation Alice Bertrand BBNAAA 2BBNAAA 2BBNAAA 3BBBAAA 5BBBBAA 5BBBBAA

33 Prolongements et questions Fil rouge Exercices Evaluation Lycée 33 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège

34 Bibliographie Guy Brousseau, Nadine Brousseau et Ginger Warfield (2002) :Une expérience de premier enseignement des statistiques et des probabilités. Joël Briand (2005) : Une expérience statistique et une première approche des lois du hasard au lycée par une confrontation avec une machine simple. Recherches en didactique des mathématiques, Volume 25, n°2 Arthur Engel(1975) : Lenseignement des probabilités et de la statistique. Editions Cedic. Comission Inter-IREM Statistiques et probabilités(2008) : Autour de la modélisation en probabilités. Presses universitaires de Franche-Comté Documents daccompagnement des programmes(2008) : probabilités 34 Journées interacadémiques Reims 2008 – Laléatoire au collège


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