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Intégration ; calcul de primitives CHAPITRE 9. Notion dintégrale : Comment calculer laire dun sous-ensemble borné A du plan ? -Les méthodes « probabilistes.

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1 Intégration ; calcul de primitives CHAPITRE 9

2 Notion dintégrale : Comment calculer laire dun sous-ensemble borné A du plan ? -Les méthodes « probabilistes » (Monte Carlo) -Les méthodes numériques -Les formules exactes

3 Le cas des unions de rectangles

4 Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés » Méthode de Monte Carlo

5 Un exemple densemble fractal (de la difficulté de mesurer tout et nimporte quoi !)

6 Mesure « extérieure » dun ensemble borné du plan m *(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A)

7 On peut « mesurer » A si et seulement si : Pour tout e >0, il existe une union de pavés R e telle que : m * (A D R e ) < e aire (A) = inf ( m *(unions de pavés contenant A))

8 a b (b-a)/N (sup Ik f – inf Ik f) 0 Le cas des fonctions continues positives sur un segment [a,b] (b-a)/N (f(x N,1 )+ f(x N,2 )+…+ f(x N,N )) aire de {(x,y) ; 0 b y b f(x)} x N,2 x N,1 IkIkIkIk SkSkSkSk

9 Définition de lintégrale dune fonction continue sur [a,b] f = sup (f,0) – sup (-f,0) = f + - f - ! [a,b] [a,b] f(t) dt := aire {(x,y); 0 b y b f + (x)} – aire {(x,y) ; 0 b y b f - (x)} f(t) dt := aire {(x,y); 0 b y b f + (x)} – aire {(x,y) ; 0 b y b f - (x)} ! a b f(t) dt

10 + - +

11 Le cas des fonctions à valeurs complexes f = Re (f) + i Im (f) f = Re (f) + i Im (f) ! a b f(t) dt = ! a b Re (f(t)) dt +i ! a b Im (f(t)) dt

12 Propriétés de lintégrale ! ! ! a a a b bb ( l f(t)+ m g(t)) dt = l f(t) dt + m g(t) dt f b g sur [a,b] f(t) dt b g(t) dt ! a b ! a b linéarité monotonie | ! a b f(t) dt | b ! a b | f(t) | dt

13 Relation de Chasles Relation de Chasles ! ! ! a a c b cb f(t) dt = f(t) dt + g(t) dt f(t) dt = f(t) dt + g(t) dt ! x y ! y x avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt lorsque y < x (f continue sur I, a, b, c étant trois points de I)

14 Le théorème « fondamental » de lanalyse Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R et a un point de I. La fonction : x e I F(x) := f(t) dt ! a x est dérivable sur I, de dérivée F=f sur I F primitive de f sur I

15 ! a b f(t) dt = f(b) – f(a) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée continue sur I Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors :

16 Application 1 : la formule dintégration « par parties » Soit I un intervalle ouvert de R, f et g deux fonctions dérivables sur I, avec f et g aussi continues sur I ; si [a,b] est un segment de I : ! a b f(t) g(t) dt = f(b) g(b) – f(a) g(a) - ! a b f(t) g(t) dt

17 Application 2 : la formule de changement de variables Soit I et J deux intervalles ouverts de R Soit u : I J, strictement monotone, dérivable et de dérivée continue sur [a,b] c I avec c := u(a), d:= u(b) ; alors: ! c=u(a) d=u(b) f(s) ds = ! a b f( u(t)) u(t) dt pour toute fonction continue f : J R

18 Quelques exemples dapplication de ces méthodes Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliques Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle Fonctions du type t t n exp ( l t) Fonctions du type t t n exp ( l t) Fonctions du type t t n cos ( l t) ou t t n sin ( l t) Fonctions du type t t n cos ( l t) ou t t n sin ( l t) Fonctions du type x F(x, (ax 2 +bx+c) 1/2 ) Fonctions du type x F(x, (ax 2 +bx+c) 1/2 )

19 Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) t e ]- p, p [ t e ]- p, p [ u= tan (t/2), t = 2 Arctan u

20 ! a b P(cos t, sin t) Q(cos t, sin t) dt 1- u u 2 1- u u 2 2u 2u u 2 2u 2u u 2 2du 2du u 2 tan (a/2) tan (b/2) [a,b] c ]- p, p [ [a,b] c ]- p, p [ u = tan (t/2) t = 2 Arctan u t = 2 Arctan u

21 P (cos q, sin q ) = a 0 + (a j cos (k j q ) + b j sin (k j q )) S j=1 j=N Linéarisation des polynômes trigonométriques ! dqdqdqdq a0 qa0 qa0 qa0 q a j sin (k j q ) – b j cos (k j q ) k j k j

22 ! a b P( cosh t, sinh t ) Q(cosh t, sinh t ) dt u +(1/u) u+(1/u) u+(1/u) u-(1/u) u-(1/u) du du u exp (a) exp(b) [a,b] c R [a,b] c R u = exp (t) t = log u t = log u Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques hyperboliques

23 Intégrales abéliennes a > 0, D=-d 2 0, D=-d 2 < 0 a > 0, D = d 2 >0 a > 0, D = d 2 >0 a 0 a 0 F ( x, ax 2 + bx + c ) a [ (x+b/2a) 2 - D /4a 2 ] V ! dx x = -b/2a + ( d /2a) sinh u x = -b/2a + ( d /2a) cosh u ou ou x = -b/2a - ( d /2a) cosh u x = -b/2a + ( d /2a) cos u ou ou x = -b/2a - ( d /2a) sin u b ac

24 Primitives de fractions rationnelles P(x) R(x) ---- = a k x k Q(x) Q(x) S k=0 k=N deg R < deg (Q) ! dx a k x k+1 a k x k k+1 k+1 ! dx Cas particuliers : deg (Q) = 1 et deg (Q) =2 ?

25 a x + b a x + b a x 2 + bx + c a x 2 + bx + c a (x –x 1 ) (x-x 2 ) a (x –x 1 ) (x-x 2 ) Premier cas : b 2 -4ac >0 || || u 1 u 2 u 1 u x-x 1 x- x 2 x-x 1 x- x 2 ! dx u 1 log |x-x 1 | u 2 log |x-x 2 |

26 a x + b a x + b a x 2 + bx + c a x 2 + bx + c a (x –x 0 ) 2 a (x –x 0 ) 2 Second cas : b 2 -4ac = 0 || || a a x 0 + b a a x 0 + b a(x-x 0 ) a (x- x 0 ) 2 a(x-x 0 ) a (x- x 0 ) 2 ! dx a log |x-x 0 | a log |x-x 0 | a - ( a x 0 + b ) - ( a x 0 + b ) a (x-x 0 ) a (x-x 0 )

27 a x + b a x + b a x 2 + bx + c a x 2 + bx + c a [ ( x +(b/2a) ) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] a [ ( x +(b/2a) ) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] Troisième cas : b 2 -4ac = - d 2 < 0 || || x + (b/2a) v x + (b/2a) v u u (x +(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) (x +(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ! dx u log [ (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] u log [ (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] av x + (b/2a) ---- Arctan 2a d d d d

28 Fin du chapitre 9


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