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III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…) II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels.

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Nombres réels et propriétés de R CHAPITRE 3. Fractions : développements décimaux le point de vue « concret » (hérité de lenseignement primaire)

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1 III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…) II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels I. Bases de logique, théorie des ensembles LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES

2 II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes Lanneau Z des entiers relatifs Lanneau Z des entiers relatifs Nombres rationnels et nombres réels Nombres rationnels et nombres réels Le plan R 2 et les nombres complexes Le plan R 2 et les nombres complexes

3 Lanneau Z des entiers relatifs Lanneau Z des entiers relatifs Construction de lanneau ordonné (Z,+,x) Construction de lanneau ordonné (Z,+,x) Un exemple de calcul algébrique : lidentité de Bézout Un exemple de calcul algébrique : lidentité de Bézout François Viète 1540 – 1603 Etienne Bézout 1730 – 1783

4 La construction de Z à partir de lensemble N x N des couples dentiers positifs ou nuls : [(a,b)] = { (p,q) ; a + q = b + p } Si b > a, la classe [(a,b)] est notée Si b > a, la classe [(a,b)] est notée b-a b-a Si a > b, la classe [(a,b)] est notée - (a-b) - (a-b) Si a = b, la classe [(a,a)] est notée 0 0 GAIN PERTE

5 N sous-ensemble de Z N sous-ensemble de Z Z [(a,b)], b>a ou a=b N [(a,b)], b>a ou a=b N [(a,b)], b

6 Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à b Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à b Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à –b si et seulement si b est inférieur ou égal à a. Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à –b si et seulement si b est inférieur ou égal à a. … et un ordre total prolongeant lordre sur N en incorporant les deux règles additionnelles suivantes : Lordre est compatible aux deux opérations

7 Commutativité Commutativité x + y=y + x x + y=y + x Associativité Associativité x + (y + z)= (x + y) + z x + (y + z)= (x + y) + z Elément neutre 0 Elément neutre 0 x + 0 = 0 + x = x x + 0 = 0 + x = x Tout élément x admet un « opposé » -x Tout élément x admet un « opposé » -x x + (-x) = (-x) + x = 0 x + (-x) = (-x) + x = 0 Commutativité Commutativité x x y=y x x x x y=y x x Associativité Associativité x x ( y x z )= ( x x y ) x z x x ( y x z )= ( x x y ) x z Elément unité 1=[(0,1)] Elément unité 1=[(0,1)] x x 1 = 1 x x = x x x 1 = 1 x x = x Addition Multiplication Distributivité mult/addition x x (y+z) = (x x y) + (x x z) (Z,+,x) anneau commutatif unitaire (Z,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

8 Propriétés de Z liées à lordre Toute partie non vide et minorée admet en son sein un plus petit élément (borne inférieure) Toute partie non vide et majorée admet en son sein un plus grand élément (borne supérieure)

9 Un exemple de calcul algébrique dans Z : lidentité de Bézout

10 La division dans Z La division dans Z Soient A et B deux entiers relatifs : On dit que B divise A sil existe un entier relatif q tel que A=Bq. PGCD (A,B) := PGCD (|A|,|B|) PGCD (A,B) := PGCD (|A|,|B|) (si A,B non tous les deux nuls) (si A,B non tous les deux nuls)

11 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d leur PGCD Il existe au moins un couple dentiers (u 0,v 0 ) dans Z 2 tel que : a u 0 + b v 0 = d (*) a u 0 + b v 0 = d (*) Le théorème de Bézout Le théorème de Bézout 1. Clause dexistence 1. Clause dexistence

12 Une démarche algorithmique récursive fonction [PGCD,u,v] = bezout (a,b) a = b q 0 + r 0 b = r 0 q 1 + r 1 r 0 = r 1 q 2 + r 2 ….. ……. ……. r N-3 = q N-1 r N-2 + r N-1 r N-2 = q N r N-1 + d r N-1 = q N+1 d + 0 PGCD (r N-1,r N ) = d d = r N-2 – q N r N-1 = r N-2 – q N ( r N-3 – q N-1 r N-2 ) = … = u a + v b x = a ; y = abs(b) ; [q,r] = div (x,y) ; si r == 0 PGCD = y ; u=0 ; v=1 ; sinon [d, u 1,v 1 ] = bezout (y,r) ; PGCD = d ; u = v 1 ; v = signe (b) * (u 1 - q * v 1 ) ; fin

13 On suppose a et b non nuls, de PGCD égal à d, avec a = d a, b = d b et PGCD(a,b)=1 PGCD(a,b)=1 Les solutions (u,v) dans Z 2 de léquation a u + b v = d (*) a u + b v = d (*) Le théorème de Bézout 2. Clause dunicité 2. Clause dunicité sont exactement les couples de la forme (u 0 + b k, v 0 – a k) (u 0 + b k, v 0 – a k) où k désigne un entier arbitraire et (u 0,v 0 ) une solution particulière de (*)

14 Soient a et b deux entiers relatifs non nuls On suppose PGCD (a,b) =1 Alors, si c est un nombre entier relatif tel que b divise ac, nécessairement b divise c. Le lemme de Gauss Le lemme de Gauss Carl F. Gauss ( )

15 Le théorème dEuclide (élargi à Z) Le théorème dEuclide (élargi à Z) Soient a un entier relatif et b un entier positif non nul. Soient a un entier relatif et b un entier positif non nul. Il existe un UNIQUE couple dentiers (q,r) tels que : a = b q + r a = b q + r et r est entre 0 (inclus) et b-1 (inclus) Définition : le nombre r est dit RESTE dans la division EUCLIDIENNE de a par b. Le nombre q est dit QUOTIENT dans la division EUCLIDIENNE de a par b.

16 Nombres rationnels Nombres réels Fractions et développements décimaux périodiques : deux approches des rationnels Fractions et développements décimaux périodiques : deux approches des rationnels Une approche de lensemble des nombres réels Une approche de lensemble des nombres réels Suites de nombres réels Suites de nombres réels Les opérations sur R Les opérations sur R Le lemme des « gendarmes » Le lemme des « gendarmes » Borne supérieure, borne inférieure dun sous- ensemble de R Borne supérieure, borne inférieure dun sous- ensemble de R Intervalles de R ; la propriété des « segments emboîtés » ; non dénombrabilité de R Intervalles de R ; la propriété des « segments emboîtés » ; non dénombrabilité de R La droite numérique achevée La droite numérique achevée

17 Fractions : la construction de Q à partir de lensemble Z x N* [[(a,b)]] = { (p,q) dans Z x N* ; a q = p b } La classe [[(a,b)]] est notée a/b a/b Numérateur Dénominateur le point de vue « abstrait »

18 Z sous-ensemble de Q Z sous-ensemble de Q [[(a 1,b 1 )]] +[[(a 2,b 2 )]] := [[(a 1 b 2 +a 2 b 1, b 1 b 2 )]] [[(a 1,b 1 )]] x [[(a 2,b 2 )]] := [[(a 1 a 2, b 1 b 2 )]] Deux opérations … Z= { [[(a,b)]] ; a multiple de b } Q\ Z = { [[(a,b)]] ; a non multiple de b }

19 Commutativité Commutativité x+y=y+x x+y=y+x Associativité Associativité x+(y+z)= (x+y) +z x+(y+z)= (x+y) +z Elément neutre 0 : Elément neutre 0 : x+0 = 0 + x = x x+0 = 0 + x = x Tout élément x admet un « opposé » -x Tout élément x admet un « opposé » -x x+ (-x) = (-x) + x = 0 x+ (-x) = (-x) + x = 0 Commutativité Commutativité x x y=y x x x x y=y x x Associativité Associativité x x (y x z)= (x x y ) x z x x (y x z)= (x x y ) x z Elément unité 1 = [[(1,1)]]: Elément unité 1 = [[(1,1)]]: x x 1 = 1 x x = x x x 1 = 1 x x = x Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : [[(a,b)]] x [[(b,a)]] = 1 [[(a,b)]] x [[(b,a)]] = 1 Addition Multiplication Distributivité mult/addition x x (y + z) = (x x y) + (x x z) (Q,+, x) corps commutatif (Q,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

20 Fractions : développements décimaux le point de vue « concret » (hérité de lenseignement primaire)

21 Rationalité développement décimal périodique périodique , Lun des restes possibles !

22 ___ ___ x = 12, ___ ___ 1000 x – = 0, 572 ___ ___ 1000 (1000 x – 12431)= 572, (1000 x ) – 572 = 1000 x x = (999 x )/ x = (999 x )/ Développement décimal périodique rationalité rationalité

23 Fractions : écriture décimale et décimaux x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. Partie entière décimales _ m + O, d 1 d 2 d 3 d 4 … d N 0 _ m + O, d 1 d 2 d 3 d 4 … (d N -1) 9 = nombres décimaux

24 Un « manque » à Q : un ensemble majoré na pas nécessairement de plus petit majorant dans Q ! Exemple : lensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur ou égal à 2 ! Exemple : lensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur ou égal à 2 ! Il faut en connaître une (ou plusieurs) preuves !!

25 Une approche de lensemble des nombres réels : les développements décimaux « illimités » x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. Partie entière décimales Q= {développements illimités avec motif périodique} R

26 Un ordre sur R x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x est « inférieur ou égal à x » si et seulement si m est inférieur ou égal à m et si la suite (d n ) n précède la suite (d n ) n pour lordre lexicographique construit à partir des lettres {0,…,9}

27 Suites de nombres réels et convergence x n = m n + 0, d n,1 d n,2 d n,3 d n,4 … d n,p … x n = m n + 0, d n,1 d n,2 d n,3 d n,4 … d n,p … x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p … x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p … La suite de nombres réels (x n ) n converge vers le nombre réel x si et seulement si : 1. La suite dentiers relatifs (m n ) n finit par « stationner » pour n assez grand à lentier relatif m 2. Pour tout entier positif p, la suite de chiffres (d n,p ) n finit par « stationner » pour n assez grand à lentier d p x n = x(n)

28 Une propriété essentielle des suites monotones de nombres réels Toute suite (x n ) n de nombres réels croissante (au sens de lordre) et majorée est convergente Toute suite (x n ) n de nombres réels croissante (au sens de lordre) et majorée est convergente Toute suite (y n ) n de nombres réels décroissante (au sens de lordre) et minorée est convergente Toute suite (y n ) n de nombres réels décroissante (au sens de lordre) et minorée est convergente

29 Les opérations sur R x + y = ? x n x y p = u p,n (décimaux) x n x y p = u p,n (décimaux) x x y p = ? x n + y n = z n (décimaux) x n + y n = z n (décimaux) x+y upupupup x x y = ? xy

30 Ordre et opérations Compatibilité des deux opérations avec lordre Compatibilité des deux opérations avec lordre R est archimédien : étant donnés deux nombres réels x et y avec x >0, il existe un entier N tel que N x > y R est archimédien : étant donnés deux nombres réels x et y avec x >0, il existe un entier N tel que N x > y

31 Commutativité Commutativité x+y=y+x x+y=y+x Associativité Associativité x+(y+z)= (x+y) +z x+(y+z)= (x+y) +z Elément neutre 0 : Elément neutre 0 : x+0 = 0 + x = x x+0 = 0 + x = x Tout élément x admet un « opposé » -x Tout élément x admet un « opposé » -x x+ (-x) = (-x) + x = 0 x+ (-x) = (-x) + x = 0 Commutativité Commutativité x x y=y x x x x y=y x x Associativité Associativité x x (y x z)= (x x y ) x z x x (y x z)= (x x y ) x z Elément unité 1: Elément unité 1: x x 1 = 1 x x = x x x 1 = 1 x x = x Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : x y = y x = 1 x y = y x = 1 Addition Multiplication Distributivité mult/addition x x (y + z) = (x x y) + (x x z) (R,+, x) corps commutatif (R,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

32 Suites adjacentes et lemme « des gendarmes » 1.Pour tout n dans N, les nombres x n, x n+1, y n+1, y n sont rangés dans cet x n, x n+1, y n+1, y n sont rangés dans cet ordre (croissant) ordre (croissant) 2. La suite (y n -x n ) n converge vers 0 Soient deux suites (x n ) n et (y n ) n de nombres réels telles que : Les deux suites (x n ) n et (y n ) n sont dites adjacentes Lemme des gendarmes : « deux suites de nombres réels adjacentes sont toutes deux convergentes vers un même nombre réel »

33 Un exemple dapplication : à la recherche des décimales de p u n = 4 (1- 1/3 + 1/5 + … +1/(4n-3) – 1/(4n-1)) u n = 4 (1- 1/3 + 1/5 + … +1/(4n-3) – 1/(4n-1)) v n = u n + 4 /(4n+1) [deux suites adjacentes !] v n = u n + 4 /(4n+1) [deux suites adjacentes !] ou par la formule de John Machin ( )

34 R vérifie la « propriété de la borne supérieure » Soit A un sous-ensemble non vide et majoré de R ; lensemble des majorants de A admet dans R un plus petit élément (noté sup(A)). Cet élément est appelé borne supérieure de A Caractérisation de sup (A) (deux clauses) 1. Cest un majorant de A 2. Si y< sup(A), il existe toujours au moins un point x de A avec y

35 Une esquisse de preuve via le « lemme des gendarmes » A | | | | | | | k / 10 n ynynynyn xnxnxnxn sup(A) = lim (x n )= lim (y n ) R

36 Idem en ce qui concerne la « propriété de la borne inférieure » Soit A un sous-ensemble non vide et minoré de R ; lensemble des minorants de A admet dans R un plus grand élément (noté inf(A)). Cet élément est appelé borne inférieure de A Caractérisation de inf (A) (deux clauses) 1. Cest un minorant de A 2. Si y > inf (A), il existe toujours au moins un point x de A avec x inf (A), il existe toujours au moins un point x de A avec x

37 La valeur absolue La valeur absolue |x y | = |x| |y| |x y | = |x| |y| |x + y | b |x| + |y| (inégalité triangulaire, volet de droite) |x + y | b |x| + |y| (inégalité triangulaire, volet de droite) | |x| - |y| | b |x – y | (inégalité triangulaire, volet de gauche) | |x| - |y| | b |x – y | (inégalité triangulaire, volet de gauche) |x| : = sup ({ x, -x }) |x| : = sup ({ x, -x })

38 Quantifier la notion de convergence : Une suite (x n ) n de nombres réels converge vers un nombre réel x si et seulement si : Pour tout positif, il existe N dans N, tel que : n r N( ) |x n - x | b |x n - x | b

39 Limites et opérations Limites et opérations lim (x n ) = x et lim (y n )=y lim (x n +y n ) = x+y lim (x n ) = x et lim (y n )=y lim (x n +y n ) = x+y lim (x n ) = x et lim (y n ) =y lim (x n y n ) = x y lim (x n ) = x et lim (y n ) =y lim (x n y n ) = x y lim (x n ) = x et x _ 0 lim (1/x n ) = 1/x * lim (x n ) = x et x _ 0 lim (1/x n ) = 1/x * lim (x n ) =x lim (|x n |) =|x| lim (x n ) =x lim (|x n |) =|x| (*) x n est forcément non nul pour n assez grand

40 Intervalles (bornés) de R Intervalles (bornés) de R Intervalles ouverts : ]a,b[ ={x ; a

41 Intervalles (non bornés) de R Intervalles (non bornés) de R Intervalles ouverts : 3 types {x ; x a}, R Intervalles ouverts : 3 types {x ; x a}, R Intervalles fermés : 3 types {x ; x b b}, {x ; x r a}, R Intervalles fermés : 3 types {x ; x b b}, {x ; x r a}, R

42 Intérieur, adhérence Intérieur, adhérence intérieur (I) : é I \ {bornes (sup et inf)} = I intérieur (I) : é I \ {bornes (sup et inf)} = I adhérence (I) : _ I ( {bornes (sup et inf)} = I adhérence (I) : _ I ( {bornes (sup et inf)} = I

43 R vérifie le principe des « segments emboîtés » [a 1,b 1 ] [a 1,b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3,b 3 ] x Si ([a n,b n ]) n est une suite de segments emboîtés les uns dans les autres (au sens où [a n+1,b n+1 ] est inclus dans [a n,b n ] pour tout n), il existe nécessairement au moins un point dans tous les segments [a n,b n ].

44 Une application du principe des segments emboîtés : la non-dénombrabilité de R x 1 x 3 x 2 x 4 | | | | x S x 1, x 2, … ( (preuve par labsurde)

45 Sous-ensembles ouverts Un ouvert U de R est un sous-ensemble voisinage de chacun de ses points, ce qui signifie : Pour tout x dans U, il existe un intervalle ouvert borné I x contenant x et inclus dans U ] | [ x U

46 Sous-ensembles fermés Un sous-ensemble F de R est dit fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert.

47 Intérieur, adhérence, frontière dun sous-ensemble E de R o Lintérieur E dun sous-ensemble E de R est le plus grand sous-ensemble ouvert de R inclus dans E _ Ladhérence E dun sous-ensemble E de R est le plus petit sous-ensemble fermé de R contenant E _ o _ o Frontière de E : = E \ E

48 Un point x de R est adhérent à un sous-ensemble E si et seulement si on peut latteindre comme limite dune suite de points de E. Caractérisation de ladhérence

49 La droite numérique « achevée » Adjonction à R de deux éléments Adjonction à R de deux éléments R - linfini + linfini

50 La droite numérique « achevée » (une autre manière de procéder) Adjonction à R dun élément Adjonction à R dun élément R x m Linfini 0

51 Une suite (x n ) n de nombres réels tend vers « plus linfini » si et seulement si : Pour tout A > 0, il existe un entier N=N(A) dans N tel que : n r N(A) x n r A Retour au premier point de vue (deux points à linfini)

52 Une suite (x n ) n de nombres réels tend vers « moins linfini » si et seulement si : Pour tout A > 0, il existe un entier N=N(A) dans N tel que : n r N(A) x n b - A

53 Attention aux formes indéterminées ! Lim (a 0 n p + a 1 n p-1 + … + a p ) = + linfini si a 0 > 0 - linfini si a 0 < 0 n 2 – n (log n) /n = (1/n) x log n ? ? quand n tend vers + linfini

54

55 Le plan R 2 et les nombres complexes Le plan R 2 Le plan R 2 Le corps (C, +, x) Le corps (C, +, x) Module et argument Module et argument La fonction exponentielle complexe et les formules de Moivre et dEuler La fonction exponentielle complexe et les formules de Moivre et dEuler Résolution dans C de léquation algébrique z n =A Résolution dans C de léquation algébrique z n =A Résolution dans C des équations du second degré Résolution dans C des équations du second degré

56 Le plan R 2 : une structure despace vectoriel Addition (loi interne) (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 +x 2, y 1 +y 2 ) (pour (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) dans R 2 ) Action « externe » de R sur R 2 a. (x, y) = (a x x, a x y) (pour a dans R, (x, y) dans R 2 )

57 Les règles régissant les deux opérations (interne et externe) (R 2,+) est un groupe abélien (R 2,+) est un groupe abélien a. ( b. (x,y) ) = (a x b). (x,y) a. ( b. (x,y) ) = (a x b). (x,y) (a+b). (x,y) = a. (x,y) + b. (x,y) (a+b). (x,y) = a. (x,y) + b. (x,y) a. ( (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) ) = a. (x 1,y 1 ) + a. (x 2,y 2 ) a. ( (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) ) = a. (x 1,y 1 ) + a. (x 2,y 2 ) 1. (x,y) = (x,y) 1. (x,y) = (x,y) (R 2, +,. ) R-espace vectoriel

58 Applications linéaires du plan dans lui-même L ( a. (x 1, y 1 ) + b. (x 2,y 2 ) ) = a. L ( (x 1,y 1 ) ) + b. L ( (x 2,y 2 ) )

59 Application linéaire tableau 2 x 2 L ( (1,0) ) = (a, c) L ( (0,1) ) = (b, d) L ( (x,y) ) = (a x + b y, c x + d y) a b c d () Matrice de L

60 Composition des applications linéaires et « produit » de tableaux 2 x 2 a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 L1L1L1L1 L2L2L2L2 a 2 a 1 + b 2 c 1 a 2 b 1 +b 2 d 1 c 2 a 1 +d 2 c 1 c 2 b 1 +d 2 d 1 L 2 o L 1

61 Les complexes ; pourquoi ? Des motivations issues de la physique (et quelques noms) Hydrodynamique, Mécanique des fluides (A. Cauchy, G. Stokes, …) Hydrodynamique, Mécanique des fluides (A. Cauchy, G. Stokes, …) Astronomie et Mécanique Céleste (P. S. Laplace,…) Astronomie et Mécanique Céleste (P. S. Laplace,…) Mécanique Ondulatoire, Thermodynamique, Optique, Electromagnétisme (J. B. J. Fourier, J. C. Maxwell,..) Mécanique Ondulatoire, Thermodynamique, Optique, Electromagnétisme (J. B. J. Fourier, J. C. Maxwell,..) Joseph Fourier Augustin Cauchy Pierre Simon Laplace James C. Maxwell

62 m m q M r Quelles sont les applications linéaires préservant les angles orientés des figures ?? Le principe de moindre action cos q -sin q sin q cos q o r 0 0 r r cos q -r sin q r sin q r cos q a = r cos ( q ) b = r sin ( q ) a -b b a ()

63 Lensemble des nombres complexes (lensemble C ) Lensemble des nombres complexes (lensemble C ) { ( ) ; a, b dans R } a -b b a a -b b a (( ( )) ) =a.=a.=a.=a. + b.+ b.+ b.+ b. 1 i a+ib

64 Laddition sur C Laddition sur C a 1 -b 1 b 1 a 1 a 2 -b 2 b 2 a 2 a 1 +a 2 -(b 1 +b 2 ) b 1 +b 2 a 1 +a 2 + = (a 1 + i b 1 )+(a 2 + i b 2 ) := (a 1 +a 2 ) + i (b 1 +b 2 )

65 a 2 -b 2 b 2 a 2 a 1 -b 1 b 1 a 1 a 1 a 2 – b 1 b 2 -(a 1 b 2 +b 1 a 2 ) a 1 b 2 +b 1 a 2 a 1 a 2 -b 1 b 2 (a 1 +i b 1 ) x (a 2 + i b 2 ) = (a 1 a 2 -b 1 b 2 ) + i (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) La Multiplication Sur C

66 Inverse dun élément non nul pour la multiplication (a+ib) x ? = ? x (a+ib) =1 a – ib a – ib a 2 + b 2 a – ib a – ib a 2 + b 2

67 Commutativité Commutativité z 1 +z 2 =z 2 +z 1 z 1 +z 2 =z 2 +z 1 Associativité Associativité z 1 +(z 2 +z 3 )= (z 1 +z 2 ) +z 3 z 1 +(z 2 +z 3 )= (z 1 +z 2 ) +z 3 Elément neutre 0 : Elément neutre 0 : z+0 = 0 + z = z z+0 = 0 + z = z Tout élément z admet un « opposé » -z Tout élément z admet un « opposé » -z z+ (-z) = (-z) + z = 0 z+ (-z) = (-z) + z = 0 Commutativité Commutativité z 1 x z 2 =z 2 x z 1 z 1 x z 2 =z 2 x z 1 Associativité Associativité z 1 x (z 2 x z 3 )= (z 1 x z 2 ) x z 3 z 1 x (z 2 x z 3 )= (z 1 x z 2 ) x z 3 Elément unité 1: Elément unité 1: z x 1 = 1 x z = z z x 1 = 1 x z = z Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : z z -1 = z -1 z = 1 z z -1 = z -1 z = 1 Addition Multiplication Distributivité mult/addition z 1 x (z 2 + z 3 ) = (z 1 x z 2 ) + (z 1 x z 3 ) (C,+, x) corps commutatif (C,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

68 Module et argument (dun nombre complexe non nul) m m q M r z= a+ib a = r cos ( q ) b = r sin ( q ) r = |z| = (a 2 +b 2 ) 1/2 : module (amplitude) de z q (modulo 2 p ) = arg (z) : argument (phase) de z

69 Conjugaison complexe Conjugaison complexe z=a+ib _ z :=a - ib x x y y

70 Quelques formules utiles (sans ambiguïté) _ |z| = |z| |z 1 z 2 | = |z 1 | x |z 2 | _____ _ _ z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ___ _ _ z 1 z 2 = z 1 z 2 _ 1/z = z /|z| 2 _ |z| 2 = z z

71 Dautres formules (à manier avec précaution !) arg ( z 1 z 2 ) = arg (z 1 ) + arg (z 2 ) _ arg (z) = - arg (z) si z S 0 Attention !! Ce sont des égalités entre classes de nombres réels modulo 2 p

72 La fonction exponentielle La fonction exponentielle sur R : exp (x 1 + x 2 ) = exp (x 1 ) exp (x 2 ) sur C : exp (x+iy) := exp (x) x (cos (y)+i sin(y)) sur C : exp (z 1 + z 2 ) = exp (z 1 ) exp (z 2 ) En particulier : exp (z) = 1/(exp (-z)) S 0

73 e 2 i p = 1 e 2 i p = 1 e=exp(1)= e 1 = i 2 = -1 p= fonction exponentielle

74 Formes trigonométriques, forme cartésienne dun nombre complexe Forme trigonométrique : z = r cos q + i r sin q (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Forme trigonométrique : z = r cos q + i r sin q (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Autre forme trigonométrique : z = r exp (i q ) (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Autre forme trigonométrique : z = r exp (i q ) (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Forme cartésienne : z = a + i b (avec a = Re (z) [partie réelle] et b= Im (z) [partie imaginaire]) Forme cartésienne : z = a + i b (avec a = Re (z) [partie réelle] et b= Im (z) [partie imaginaire])


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