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MATHEMATIQUES DE BASE Cours MIS101 2006-2007 Semestre dAutomne.

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1 MATHEMATIQUES DE BASE Cours MIS Semestre dAutomne

2 Notes de cours disponibles (au fil des semaines) sur le site : Autres documents sur le site : Support de cours (à lire à tête reposée …) pour aller plus loin ! MATHEMATIQUES DE BASE, version Octobre 2005, ouvrage collectif Des annales 2004/2005 (DS – Textes dexamen + corrigés) et (Textes dexamen + corrigés) sont aussi consultables en ligne disponible au service des polycopiés LES REFERENCES DU COURS Notes de cours sur le site :

3 Et encore, pour ceux que passionne lhistoire des idées, des concepts et de leurs inventeurs … On utilisera aussi pour lillustration du cours des logiciels de calcul formel (MAPLE 10, Mathematica 5) ou de calcul scientifique (MATLAB 7, scilab 3) MAPLE 10 en libre service à lespace alpha ! Quelques postes équipés du logiciel MATLAB !

4 ExplosionDesMathematiques/smf-smai_explo-maths.pdf Pourquoi les mathématiques ? Pour entrevoir quelques exemples illustrant le rôle essentiel des mathématiques là où on ne le soupçonne pas toujours !

5 III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…) II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels I. Bases de logique*, théorie des ensembles LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES (*) traitées et illustrées en méthodologie mais rappelées ici

6 DS 1 Samedi 21 Octobre (10h30-11h50) DS 1 Samedi 21 Octobre (10h30-11h50) Programme : logique, ensembles, nombres (naturels, rationnels, réels) DS 2 Samedi 18 Novembre (10h30-11h50) Programme : limites (suites et fonctions), continuité, dérivabilité, fonctions réciproques, fonctions usuelles. + trois DM + trois DM Distribués semaines 40, 43, 48

7 I. Bases de logique et théorie des ensembles Opérations logiques (fait aussi en méthodologie) Opérations logiques (fait aussi en méthodologie) Ensembles et parties dun ensemble ; quantificateurs Ensembles et parties dun ensemble ; quantificateurs Axiomatique de la théorie des ensembles Axiomatique de la théorie des ensembles Produit de deux ensembles Produit de deux ensembles Union et intersection de familles de parties Union et intersection de familles de parties Apprendre à raisonner : par labsurde Apprendre à raisonner : par labsurde Raisonner par contraposition Raisonner par contraposition Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence Notion de fonction ; éléments de combinatoire Notion de fonction ; éléments de combinatoire

8 Opérations logiques Opérations logiques Objets, assertions, relations Objets, assertions, relations Vrai et Faux Vrai et Faux Quelques opérations entre assertions Quelques opérations entre assertions Règles de logique Règles de logique

9 Les nombres ( N, Z, Q, R, C, …) Objets, assertions, relations

10 Objets géométriques Les objets géométriques Objets, assertions, relations

11 Les transformations physiques (exemple : la diffraction = transformation de Fourier) Objets, assertions, relations

12 VRAI FAUX

13 Les axiomes : la règle du jeu « Et si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à linfini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits » Euclide Les éléments Euclide dAlexandrie (environ avant J.C)

14 Droite du plan = cercle sur le globe passant par le pôle Nord ! Quid en géométrie sphérique ?

15 Etablir grâce à un jeu daxiomes quune assertion est VRAIE Cest prouver un théorème … Cest prouver un théorème … ou prouver un lemme … ou prouver un lemme … ou prouver un corollaire … ou prouver un corollaire …

16 Quelques opérations entre assertions

17 La disjonction : R ou S RS R ou S V V

18 La conjonction : R et S RS R et S V V

19 Limplication : R implique S RS R implique S

20 Léquivalence : R équivaut à S RS R équivaut à S

21 La négation : non R R non R L L

22 Règles de logique (exemples) Règles de logique (exemples)

23 LA REGLE DE CONTRAPOSITION LA REGLE DE CONTRAPOSITION [ R S ] [ (non S) (non R) ]

24 La règle de transitivité La règle de transitivité [ (R S) VRAIE ] [ (S T) VRAIE ] [ (R T) VRAIE ] et

25 Ensembles et parties dun ensemble ; quantificateurs

26 Notion densemble Exemples Les deux quantificateurs : « Quelque soit » « il existe »

27 Quantificateurs Quantificateurs

28 Règles de logique et quantificateurs Règles de logique et quantificateurs

29 Parties dun ensemble ; linclusion A c B E B A

30 Lunion de deux parties A et B dun ensemble E A B E A U B A U B

31 Lintersection de deux parties A et B dun ensemble E A B A n B E

32 Le complémentaire de A Le complémentaire de A A E \ A = A c E

33 Les axiomes de la théorie des ensembles (Zermelo-Fraenkel) E 1.Axiome de la paire 2.Axiome dextensionnalité 3.Axiome de la somme 4.Axiome des parties E.F.Zermelo( ) A.A.Fraenkel( ) F

34 « Etant donnée une collection densembles non vides de lunivers nayant deux à deux aucun élément commun, on peut construire un nouvel ensemble en prenant un élément dans chacun des ensembles de la collection » Laxiome du choix b a c d

35 Laxiome de fondation Laxiome de fondation « Tout ensemble non vide contient un élément avec lequel il na aucun élément en commun » intuitivement : aucun ensemble ne peut sauto-appartenir

36 Encore quelques opérations entre ensembles ou parties dun ensemble … Le produit de deux ensembles Le produit de deux ensembles Lunion dune famille de parties dun ensemble Lunion dune famille de parties dun ensemble Lintersection dune famille de parties dun ensemble Lintersection dune famille de parties dun ensemble

37 Apprendre à raisonner : Le principe du raisonnement par labsurde BUT : montrer que R est VRAIE PRINCIPE : 1.on suppose R fausse 2.on exhibe (via notre système daxiomes) une certaine assertion S 3.on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est VRAIE] 4.on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est FAUSSE] CONCLUSION : R est VRAIE

38 [ R S ] [ (non S) (non R) ] Apprendre à raisonner : Le principe de contraposition

39 Compter, calculer, ordonner Raisonner par récurrence (ou induction) BUT : montrer que R {n} est VRAIE à tout cran n PRINCIPE : 1.on montre que R{0} est VRAIE 2.on montre : ([R {n} VRAIE] implique [R {n+1} VRAIE]) à tout cran n CONCLUSION : R {n} est VRAIE à tout cran n Vers laxiomatique des entiers …

40 Les axiomes de N (G. Peano) 1. N contient au moins un élément (noté « 0 ») 1. N contient au moins un élément (noté « 0 ») 2. Tout élément n de N admet un successeur S(n) 2. Tout élément n de N admet un successeur S(n) 3. Deux éléments ayant mêmes successeurs sont égaux 3. Deux éléments ayant mêmes successeurs sont égaux 4. « 0 » nest successeur daucun élément 4. « 0 » nest successeur daucun élément 5. Le seul sous-ensemble de N contenant à la fois 0 et les successeurs de tous ses éléments est N tout entier (principe de récurrence) 5. Le seul sous-ensemble de N contenant à la fois 0 et les successeurs de tous ses éléments est N tout entier (principe de récurrence) G. PEANO ( )

41 Deux opérations sur N Deux opérations sur N somme = a somme = a répéter b fois répéter b fois somme = S (somme) somme = S (somme) produit = 0 produit = 0 répéter a fois répéter a fois produit = produit + b produit = produit + b a + b a + b a x b a x b

42 Un ordre total sur N Un ordre total sur N a « est plus petit que b » a « est plus petit que b » Il existe un élément x de N tel que b = a + x Cet ordre est compatible avec addition et multiplication a b b a b b

43 Trois propriétés « clef » de N (équivalentes aux axiomes de Peano) 1. Toute partie A non vide possède un plus petit élément (borne inférieure) 1. Toute partie A non vide possède un plus petit élément (borne inférieure) 2. Toute partie A non vide et majorée admet un plus grand élément (borne supérieure) 2. Toute partie A non vide et majorée admet un plus grand élément (borne supérieure) 3. Lensemble N tout entier na pas de majorant 3. Lensemble N tout entier na pas de majorant (1) Cet ordre est total (on peut toujours comparer deux éléments)

44 Les deux principes de récurrence Données : une assertion R {n} où figure le caractère « n » et un nombre entier n 0 fixé PRINCIPE 1 PRINCIPE 2 Lassertion : est une évidence dans laxiomatique de Peano Lassertion : est une évidence dans laxiomatique de Peano ( R {n 0 } et [ pour tout n plus grand que n 0, R {n} R {n+1} ] ) ( pour tout n plus grand que n 0, R {n} ) R {n 0 } et [ pour tout n plus grand que n 0,[ R {k} OK pour k=n 0,…,n] R{n+1} ] ] ( pour tout n plus grand que n 0, R {n} )

45 Les nombres premiers : illustration de deux modèles de raisonnement Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier (preuve par récurrence) Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier (preuve par récurrence) Il y a une infinité de nombres premiers (preuve par labsurde) Il y a une infinité de nombres premiers (preuve par labsurde)

46 Le théorème dEuclide Le théorème dEuclide Soient a et b deux entiers positifs avec b non nul. Soient a et b deux entiers positifs avec b non nul. Il existe un UNIQUE couple dentiers (q,r) tels que : a = b q + r a = b q + r et r est entre 0 (inclus) et b-1 (inclus) Définition : le nombre r est dit RESTE dans la division EUCLIDIENNE de a par b. Le nombre q est dit QUOTIENT dans la division EUCLIDIENNE de a par b.

47 Quelques applications du théorème dEuclide Quelques applications du théorème dEuclide La recherche du PGCD La recherche du PGCD Le développement en base b Le développement en base b Le développement en fraction continue dune fraction Le développement en fraction continue dune fraction Trois « programmes » basés sur lalgorithme dEuclide fonction PGCD = PGCD (a,b) fonction X= newbase (a,b) fonction DVLP= fraccont (a,b)

48 fonction PGCD=PGCD (a,b) Lalgorithme dEuclide x=a ; y=b ; tant que y>0 [q,r] = div(x,y); si r==0 PGCD = y; y = 0 ; sinon [q1,r1] = div(y,r); x = r; PGCD = x ; y=r1 ; fin Al-Khwarizmi (780 – Bagdad 850) a = b q 0 + r 0 PGCD (a,b) = PGCD (b,r 0 ) b = r 0 q 1 + r 1 PGCD (b,r 0 ) = PGCD (r 0,r 1 ) r 0 = r 1 q 2 + r 2 PGCD (r 0,r 1 ) = PGCD (r 1,r 2 ) ….. ……. ……. …… ……. …….. r N-2 = q N r N-1 + r N PGCD (r N-2,r N-1 ) = PGCD(r N-1,r N ) r N-1 = q N+1 r N + 0 PGCD (r N-1,r N ) = r N

49 fonction X=newbase (a,b) Comment écrire a «en base b » ? X=[ ] ; x=a ; tant que x > 0 [q,r]= div (x,b); x=q; X=[r, X] ; fin ; a = b q + d 0 = b (b q 1 + d 1 ) + d 0 = b (b (b q 2 + d 2 ) + d 1 ) + d 0 = d 0 + d 1 b + … + d N-1 b N-1 a : [ d N-1 d N-2 … d 2 d 1 d 0 ]

50 fonction DVLP = fraccont (a,b) Comment développer une fraction a/b en « fraction continue » ? DVLP=[ ] ; x=a ; y=b ; tant que y > 0 [q,r] = div (x,y) ; DVLP=[DVLP,q] ; x = y ; y = r ; fin a b q + r --- = b b r = q + -- b 1 1 = q = q b/r r 1 q r etc ….

51 Notion de fonction Eléments de combinatoire

52 Définition : on appelle fonction dun ensemble E dans un ensemble F La donnée dun sous ensemble G f de E x F tel que : Lensemble G f est dit graphe de la fonction f ainsi associée à G f et on note y = f(x) y = f(x) lunique élément de F tel que (x,y) soit dans G f GRAPHES ET FONCTIONS Pour tout x dans E, il existe un UNIQUE élément y de F tel que (x,y) soit un élément de G f FEFE

53 Notions dinjection … E F x f(x) f(x 1 )=f(x 2 ) x1x1x1x1 x2x2x2x2 Pour tout x 1 dans E, pour tout x 2 dans E, f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 =x 2 Pour tout x 1 dans E, pour tout x 2 dans E, x1 R x2 f(x 1 ) R f(x 2 )

54 … et de surjection E F y=f(x) x z Pour tout y dans F, il existe x dans E tel que y=f(x) ?

55 f injective et surjective f bijective Exemple : lensemble des parties de E est en bijection avec lensemble des applications de E dans {0,1} A c E A c E Fonction caractéristique de A

56 Image directe, image réciproque f B FE A f(A)= image directe de A = {y, y dans F ; x dans A tel que y= f(x) } E f -1 (B)= image réciproque de B = {x, x dans E ; f(x) est dans B }

57 f B FE A A c f -1 (f(A)) pour toute partie A de E f ( f -1 (B) ) c B pour toute partie B de F f ( f -1 (B) ) c B pour toute partie B de F

58 f B FE A (f injective) ( A = f -1 (f(A)) pour toute partie A de E ) (f injective) ( A = f -1 (f(A)) pour toute partie A de E ) (f surjective) ( f ( f -1 (B) ) = B pour toute partie B de F ) (f surjective) ( f ( f -1 (B) ) = B pour toute partie B de F ) Quelques règles

59 Composition des applications E F G fg g o f (x) : = g (f(x)) pour tout x dans E g o f (x) : = g (f(x)) pour tout x dans E

60 Inverse à gauche … E F E F f g g (f(x)) = x pour tout x dans E et injectivité : et injectivité : << f est injective de E dans F si et seulement si f admet un inverse à gauche >>

61 Inverse à droite … E F E F f g f(g(y)) = y pour tout y dans F et surjectivité : et surjectivité : << f est surjective de E dans F si et seulement si f admet un inverse à droite >>

62 Inverse des applications bijectives E F E F f g2g2g2g2 f(g 2 (y)) = y pour tout y dans F g 1 (f(x)) = x pour tout x dans E g1 g1 g1 g1 g 1 = g 2 = f -1 g 1 = g 2 = f -1 f(f -1 (y))=y pour tout y dans F f -1 (f(x))=x pour tout x dans E

63 Le cas des ensembles finis

64 Si E et F sont des ensembles finis de cardinaux respectifs p (pour E) et n (pour F), lensemble des fonctions de E dans F est un ensemble de cardinal Card ( F E ) = n p Exemple : E fini de cardinal p, F={0,1} Card ({0,1} E ) = 2 p

65 Nombre darrangements de p éléments parmi n =nombre dapplications injectives dun ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments A pn

66 f(x 1 ) x1x1x1x1 p éléments n éléments A = pn n x2x2x2x2 f(x 2 ) x (n-1) x (n-2) x … x (n-p+1) Sil existe une injection de E dans F, p est inférieur ou égal à n !

67 Un cas particulier important : A =p x (p-1) …. X 2 x 1= p! pp Le nombre de permutations Le nombre de permutations dun ensemble à p élements vaut :

68 Nombre de combinaisons de p éléments parmi n = nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments ( )=( )+( ) ( )=( )+( ) np n-1p-1 n-1 p ( ) = 1 ( ) =0 n0 01 C pn

69 f(x 1 ) x1x1x1x1 p éléments n éléments A = p! x pn x2x2x2x2 f(x 2 ) Une partie à p éléments dun ensemble F à n éléments correspond à p! injections de {1,…,p} dans lensemble F Cpn

70 Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n vaut : n ! n ! _______ _______ p ! x (n-p) !

71 x x x x x x x x x x 8 x 7 y x 6 y 2 x 5 y 3 x 4 y 4 x 3 y 5 x 2 y 6 xy 7 y 8 x 8 x 7 y x 6 y 2 x 5 y 3 x 4 y 4 x 3 y 5 x 2 y 6 xy 7 y = (x+ y) 8 = (x+ y) 8 Le triangle de Pascal Formule du binôme Blaise Pascal ( )

72 (x+y) n = Cn0 xn Cn0 xn Cn0 xn Cn0 xn + C n 1 x n-1 y … + C n p x p y n-p … … + C n n-1 x y n-1 + C n n y n Si x x y = y x x (clause de commutativité)

73 Fin du Chapitre 1


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