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Nombres complexes CHAPITRE 4. Le plan R 2 et les nombres complexes Le plan R 2 Le plan R 2 Le corps (C, +, x) Le corps (C, +, x) Module et argument Module.

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1 Nombres complexes CHAPITRE 4

2 Le plan R 2 et les nombres complexes Le plan R 2 Le plan R 2 Le corps (C, +, x) Le corps (C, +, x) Module et argument Module et argument La fonction exponentielle complexe et les formules de Moivre et dEuler La fonction exponentielle complexe et les formules de Moivre et dEuler Résolution dans C de léquation algébrique z n =A Résolution dans C de léquation algébrique z n =A Résolution dans C des équations du second degré Résolution dans C des équations du second degré

3 Le plan R 2 : une structure despace vectoriel Addition (loi interne) (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 +x 2, y 1 +y 2 ) (pour (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) dans R 2 ) Action « externe » de R sur R 2 a. (x, y) = (a x x, a x y) (pour a dans R, (x, y) dans R 2 )

4 Les règles régissant les deux opérations (interne et externe) (R 2,+) est un groupe abélien (R 2,+) est un groupe abélien a. ( b. (x,y) ) = (a x b). (x,y) a. ( b. (x,y) ) = (a x b). (x,y) (a+b). (x,y) = a. (x,y) + b. (x,y) (a+b). (x,y) = a. (x,y) + b. (x,y) a. ( (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) ) = a. (x 1,y 1 ) + a. (x 2,y 2 ) a. ( (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) ) = a. (x 1,y 1 ) + a. (x 2,y 2 ) 1. (x,y) = (x,y) 1. (x,y) = (x,y) (R 2, +,. ) R-espace vectoriel

5 Applications linéaires du plan dans lui-même L ( a. (x 1, y 1 ) + b. (x 2,y 2 ) ) = a. L ( (x 1,y 1 ) ) + b. L ( (x 2,y 2 ) )

6 Application linéaire tableau 2 x 2 L ( (1,0) ) = (a, c) L ( (0,1) ) = (b, d) L ( (x,y) ) = (a x + b y, c x + d y) a b c d () Matrice de L

7 Composition des applications linéaires et « produit » de tableaux 2 x 2 a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 L1L1L1L1 L2L2L2L2 a 2 a 1 + b 2 c 1 a 2 b 1 +b 2 d 1 c 2 a 1 +d 2 c 1 c 2 b 1 +d 2 d 1 L 2 o L 1

8 Les complexes ; pourquoi ? Des motivations issues de la physique (et quelques noms) Hydrodynamique, Mécanique des fluides (A. Cauchy, G. Stokes, …) Hydrodynamique, Mécanique des fluides (A. Cauchy, G. Stokes, …) Astronomie et Mécanique Céleste (P. S. Laplace,…) Astronomie et Mécanique Céleste (P. S. Laplace,…) Mécanique Ondulatoire, Thermodynamique, Optique, Electromagnétisme (J. B. J. Fourier, J. C. Maxwell,..) Mécanique Ondulatoire, Thermodynamique, Optique, Electromagnétisme (J. B. J. Fourier, J. C. Maxwell,..) Joseph Fourier Augustin Cauchy Pierre Simon Laplace James C. Maxwell

9 m m q M r Quelles sont les applications linéaires préservant les angles orientés des figures ?? Le principe de moindre action cos q -sin q sin q cos q o r 0 0 r r cos q -r sin q r sin q r cos q a = r cos ( q ) b = r sin ( q ) a -b b a ()

10 Lensemble des nombres complexes (lensemble C ) Lensemble des nombres complexes (lensemble C ) { ( ) ; a, b dans R } a -b b a a -b b a (( ( )) ) =a.=a.=a.=a. + b.+ b.+ b.+ b. 1i a+ib

11 Laddition sur C Laddition sur C a 1 -b 1 b 1 a 1 a 2 -b 2 b 2 a 2 a 1 +a 2 -(b 1 +b 2 ) b 1 +b 2 a 1 +a 2 + = (a 1 + i b 1 )+(a 2 + i b 2 ) := (a 1 +a 2 ) + i (b 1 +b 2 )

12 a 2 -b 2 b 2 a 2 a 1 -b 1 b 1 a 1 a 1 a 2 – b 1 b 2 -(a 1 b 2 +b 1 a 2 ) a 1 b 2 +b 1 a 2 a 1 a 2 -b 1 b 2 (a 1 +i b 1 ) x (a 2 + i b 2 ) = (a 1 a 2 -b 1 b 2 ) + i (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) La Multiplication Sur C

13 Inverse dun élément non nul pour la multiplication (a+ib) x ? = ? x (a+ib) =1 a – ib a – ib a 2 + b 2 a – ib a – ib a 2 + b 2

14 Commutativité Commutativité z 1 +z 2 =z 2 +z 1 z 1 +z 2 =z 2 +z 1 Associativité Associativité z 1 +(z 2 +z 3 )= (z 1 +z 2 ) +z 3 z 1 +(z 2 +z 3 )= (z 1 +z 2 ) +z 3 Elément neutre 0 : Elément neutre 0 : z+0 = 0 + z = z z+0 = 0 + z = z Tout élément z admet un « opposé » -z Tout élément z admet un « opposé » -z z+ (-z) = (-z) + z = 0 z+ (-z) = (-z) + z = 0 Commutativité Commutativité z 1 x z 2 =z 2 x z 1 z 1 x z 2 =z 2 x z 1 Associativité Associativité z 1 x (z 2 x z 3 )= (z 1 x z 2 ) x z 3 z 1 x (z 2 x z 3 )= (z 1 x z 2 ) x z 3 Elément unité 1: Elément unité 1: z x 1 = 1 x z = z z x 1 = 1 x z = z Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : z z -1 = z -1 z = 1 z z -1 = z -1 z = 1 Addition Multiplication Distributivité mult/addition z 1 x (z 2 + z 3 ) = (z 1 x z 2 ) + (z 1 x z 3 ) (C,+, x) corps commutatif (C,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

15 Module et argument (dun nombre complexe non nul) m m q M r z= a+ib a = r cos ( q ) b = r sin ( q ) r = |z| = (a 2 +b 2 ) 1/2 : module (amplitude) de z q (modulo 2 p ) = arg (z) : argument (phase) de z

16 Conjugaison complexe Conjugaison complexe z=a+ib _ z :=a - ib x x y y

17 Quelques formules utiles (sans ambiguïté) _ |z| = |z| |z 1 z 2 | = |z 1 | x |z 2 | _____ _ _ z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ___ _ _ z 1 z 2 = z 1 z 2 _ 1/z = z /|z| 2 _ |z| 2 = z z

18 Dautres formules (à manier avec précaution !) arg ( z 1 z 2 ) = arg (z 1 ) + arg (z 2 ) _ arg (z) = - arg (z) si z S 0 Attention !! Ce sont des égalités entre classes de nombres réels modulo 2 p

19 La fonction exponentielle La fonction exponentielle sur R : exp (x 1 + x 2 ) = exp (x 1 ) exp (x 2 ) sur C : exp (x+iy) := exp (x) x (cos (y)+i sin(y)) sur C : exp (z 1 + z 2 ) = exp (z 1 ) exp (z 2 ) En particulier : exp (z) = 1/(exp (-z)) S 0

20 e 2 i p = 1 e 2 i p = 1 e=exp(1)= e 1 = i 2 = -1 p= fonction exponentielle

21 Formes trigonométriques, forme cartésienne dun nombre complexe Forme trigonométrique : z = r cos q + i r sin q (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Forme trigonométrique : z = r cos q + i r sin q (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Autre forme trigonométrique : z = r exp (i q ) (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Autre forme trigonométrique : z = r exp (i q ) (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p ]) Forme cartésienne : z = a + i b (avec a = Re (z) [partie réelle] et b= Im (z) [partie imaginaire]) Forme cartésienne : z = a + i b (avec a = Re (z) [partie réelle] et b= Im (z) [partie imaginaire])

22 Les formules de MOIVRE Les formules de MOIVRE (cos q + i sin q ) n = (e i q ) n = cos (n q ) + i sin (n q )

23 Les formules dEuler Les formules dEuler cos q = (e i q + e -i q )/2 sin q = (-i/2) (e i q – e -i q )

24 Résoudre z N =A A = R e iq z = R 1/N e (i q /N + 2ipk/N) z = R 1/N e (i q /N + 2ipk/N) k=0,1,2,..., N-1 (N solutions)

25 Résoudre a z 2 + b z + c = 0 az 2 +b z+c = a ( z 2 + (b/a) z ) + c = a ( ( z+ b/(2a) ) 2 – (b 2 -4ac)/(4a 2 ) ) X 2 = (b 2 -4ac)/(4a 2 ) a (dans C) deux racines X=u et X=–u distinctes si b 2 -4ac est non nul d = discriminant

26 Conclusion : 2 cas à distinguer Si b 2 – 4 ac =0, il y a une seule solution donnée par z = -b/(2a) Si b 2 – 4 ac =0, il y a une seule solution donnée par z = -b/(2a) Si b 2 – 4 ac R 0, il y a deux solutions données par : Si b 2 – 4 ac R 0, il y a deux solutions données par : z 1 = -b/(2a) - u/(2a) z 1 = -b/(2a) - u/(2a) z 2 = -b/(2a) + u/(2a) z 2 = -b/(2a) + u/(2a) u 2 = b 2 – 4 ac

27 d /(4a 2 ) u/(2a) - u/(2a) z2z2z2z2 z1z1z1z1 -b/(2a) Construction q/2 q/2

28 d /(4a 2 ) u/(2a) - u/(2a) z2z2z2z2 z1z1z1z1 -b/(2a) Cas particulier : a,b,c réels et d <0

29 Autres relations utiles pour le calcul de la racine carrée Re( z 2 ) = x 2 -y 2 Re( z 2 ) = x 2 -y 2 |z 2 | = x 2 +y 2 |z 2 | = x 2 +y 2 x 2 = [|z 2 | + Re(z 2 )] /2 x 2 = [|z 2 | + Re(z 2 )] /2 y 2 = [|z 2 | - Re (z 2 )] /2 y 2 = [|z 2 | - Re (z 2 )] /2 Im (z 2 ) = 2 x y Im (z 2 ) = 2 x y signe(Im(z 2 ))= signe (xy) signe(Im(z 2 ))= signe (xy) Détermination des racines De z 2 =A sans ambiguïté

30 Fin du chapitre 4


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