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MATHEMATIQUES DE BASE Cours MIS101 2007-2008 Semestre dAutomne.

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1 MATHEMATIQUES DE BASE Cours MIS Semestre dAutomne

2 Notes de cours disponibles sur le site : Autres documents sur le site : Des annales 2004/2005 (DS – Textes dexamen + corrigés) et , (Textes dexamen + corrigés) sont aussi consultables en ligne LES REFERENCES DU COURS Notes de cours sur le site :

3 Et encore, pour ceux que passionne lhistoire des idées, des concepts et de leurs inventeurs … On utilisera aussi pour lillustration du cours des logiciels de calcul formel (MAPLE 10, Mathematica 5) ou de calcul scientifique (MATLAB 7, scilab 3) MAPLE 10 en libre service à lespace alpha ! Quelques postes équipés du logiciel MATLAB !

4 ExplosionDesMathematiques/smf-smai_explo-maths.pdf Pourquoi les mathématiques ? Pour entrevoir quelques exemples illustrant le rôle essentiel des mathématiques là où on ne le soupçonne pas toujours !

5 III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…) (chap 6-10) II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels (chap. 2-5) I. Bases de logique*, théorie des ensembles (chap 1) LE PLAN DU COURS : TROIS PARTIES, 10 chapitres (*) traitées et illustrées en méthodologie mais rappelées ici

6 DS 1 Samedi 20 Octobre (8h30-10h00) DS 1 Samedi 20 Octobre (8h30-10h00) DS 2 Samedi 24 Novembre (10h30-12h00) + trois DM + trois DM Distribués semaines 40, 45, 48

7 I. Bases de logique et théorie des ensembles (chapitre 1) Opérations logiques (fait aussi en méthodologie) Opérations logiques (fait aussi en méthodologie) Apprendre à raisonner : par contraposition Apprendre à raisonner : par contraposition Apprendre à raisonner : par labsurde Apprendre à raisonner : par labsurde Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence Ensembles et parties dun ensemble ; quantificateurs Ensembles et parties dun ensemble ; quantificateurs Axiomatique de la théorie des ensembles Axiomatique de la théorie des ensembles Produit de deux ensembles Produit de deux ensembles Union et intersection de familles de parties Union et intersection de familles de parties Notion dapplication Notion dapplication Dénombrement, éléments de combinatoire Dénombrement, éléments de combinatoire

8 Opérations logiques Opérations logiques Objets, assertions, relations Objets, assertions, relations Vrai et Faux Vrai et Faux Quelques opérations entre assertions Quelques opérations entre assertions Règles de logique Règles de logique

9 Les nombres ( N, Z, Q, R, C, …) Objets, assertions, relations

10 Objets géométriques Les objets géométriques Objets, assertions, relations

11 Les transformations physiques (exemple : la diffraction = transformation de Fourier) Objets, assertions, relations

12 VRAI FAUX Objets, assertions (propositions), relations

13 Les axiomes : la règle du jeu « Et si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à linfini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits » Euclide Les éléments Euclide dAlexandrie (environ avant J.C)

14 Droite du plan = cercle sur le globe passant par le pôle Nord ! Quid en géométrie sphérique ?

15 Etablir grâce à un jeu daxiomes quune assertion est VRAIE Cest prouver un théorème … Cest prouver un théorème … ou prouver un lemme … ou prouver un lemme … ou prouver un corollaire … ou prouver un corollaire …

16 Quelques opérations entre propositions

17 La disjonction : R ou S RS R ou S V V

18 La conjonction : R et S RS R et S V V

19 Limplication : R implique S RS R implique S

20 Léquivalence : R équivaut à S RS R équivaut à S

21 La négation : non R R non R L L

22 Règles de logique (exemples) Règles de logique (exemples)

23 LA REGLE DE CONTRAPOSITION LA REGLE DE CONTRAPOSITION [ R S ] [ (non S) (non R) ]

24 La règle de transitivité La règle de transitivité [ (R S) VRAIE ] [ (S T) VRAIE ] [ (R T) VRAIE ] et

25 [ R S ] [ (non S) (non R) ] Apprendre à raisonner : Le principe de contraposition

26 Apprendre à raisonner : Le principe du raisonnement par labsurde BUT : montrer que R est VRAIE PRINCIPE : 1.on suppose R fausse 2.on exhibe (via notre système daxiomes) une certaine assertion S 3.on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est VRAIE] 4.on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est FAUSSE] CONCLUSION : R est VRAIE

27 Compter, calculer, ordonner Raisonner par récurrence (ou induction) BUT : montrer que R {n} est VRAIE à tout cran n PRINCIPE : 1.on montre que R{0} est VRAIE 2.on montre : ([R {n} VRAIE] implique [R {n+1} VRAIE]) à tout cran n CONCLUSION : R {n} est VRAIE à tout cran n

28 Les deux principes de récurrence Données : une proposition R {n} où figure le caractère « n » et un nombre entier n 0 fixé PRINCIPE 1 PRINCIPE 2 Lassertion : est une évidence dans laxiomatique de Peano Lassertion : est une évidence dans laxiomatique de Peano ( R {n 0 } et [ pour tout n plus grand que n 0, R {n} R {n+1} ] ) ( pour tout n plus grand que n 0, R {n} ) R {n 0 } et [ pour tout n plus grand que n 0,[ R {k} OK pour k=n 0,…,n] R{n+1} ] ] ( pour tout n plus grand que n 0, R {n} )

29 Ensembles et parties dun ensemble ; quantificateurs

30 Notion densemble Exemples Les deux quantificateurs : « Quelque soit » « il existe »

31 Quantificateurs Quantificateurs

32 Règles de logique et quantificateurs Règles de logique et quantificateurs

33 Parties dun ensemble ; linclusion A c B E B A

34 Lunion de deux parties A et B dun ensemble E A B E A U B A U B

35 Lintersection de deux parties A et B dun ensemble E A B A n B E

36 Le complémentaire de A Le complémentaire de A A E \ A = A c E

37 Quantificateurs Quantificateurs

38 Règles de logique et quantificateurs Règles de logique et quantificateurs

39 Les axiomes de la théorie des ensembles (Zermelo-Fraenkel) E 1.Axiome de la paire 2.Axiome dextensionnalité 3.Axiome de la somme 4.Axiome des parties E.F.Zermelo( ) A.A.Fraenkel( ) F

40 « Etant donnée une collection densembles non vides de lunivers nayant deux à deux aucun élément commun, on peut construire un nouvel ensemble en prenant un élément dans chacun des ensembles de la collection » Laxiome du choix b a c d

41 Laxiome de fondation Laxiome de fondation « Tout ensemble non vide contient un élément avec lequel il na aucun élément en commun » intuitivement : aucun ensemble ne peut sauto-appartenir

42 Encore quelques opérations entre ensembles ou parties dun ensemble … Le produit de deux ensembles Le produit de deux ensembles Lunion dune famille de parties dun ensemble Lunion dune famille de parties dun ensemble Lintersection dune famille de parties dun ensemble Lintersection dune famille de parties dun ensemble

43 Notion dapplication

44 Définition : on appelle application ou fonction dun ensemble E dans un ensemble F la donnée dun sous ensemble G f de E x F tel que : Lensemble G f est dit graphe de la fonction f ainsi associée à G f et on note y = f(x) y = f(x) lunique élément de F tel que (x,y) soit dans G f GRAPHES ET APPLICATIONS Pour tout x dans E, il existe un UNIQUE élément y de F tel que (x,y) soit un élément de G f FEFE

45 Notions dinjection … E F x f(x) f(x 1 )=f(x 2 ) x1x1x1x1 x2x2x2x2 Pour tout x 1 dans E, pour tout x 2 dans E, f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 =x 2 Pour tout x 1 dans E, pour tout x 2 dans E, x1 R x2 f(x 1 ) R f(x 2 )

46 … et de surjection E F y=f(x) x z Pour tout y dans F, il existe x dans E tel que y=f(x) ?

47 f injective et surjective f bijective Exemple : lensemble des parties de E est en bijection avec lensemble des applications de E dans {0,1} A c E A c E Fonction caractéristique de A

48 Image directe, image réciproque f B FE A f(A)= image directe de A = {y, y dans F ; x dans A tel que y= f(x) } E f -1 (B)= image réciproque de B = {x, x dans E ; f(x) est dans B }

49 f B FE A A c f -1 (f(A)) pour toute partie A de E f ( f -1 (B) ) c B pour toute partie B de F f ( f -1 (B) ) c B pour toute partie B de F

50 f B FE A (f injective) ( A = f -1 (f(A)) pour toute partie A de E ) (f injective) ( A = f -1 (f(A)) pour toute partie A de E ) (f surjective) ( f ( f -1 (B) ) = B pour toute partie B de F ) (f surjective) ( f ( f -1 (B) ) = B pour toute partie B de F ) Quelques règles

51 Composition des applications E F G fg g o f (x) : = g (f(x)) pour tout x dans E g o f (x) : = g (f(x)) pour tout x dans E

52 Inverse à gauche … E F E F f g g (f(x)) = x pour tout x dans E et injectivité : et injectivité : << f est injective de E dans F si et seulement si f admet un inverse à gauche >>

53 Inverse à droite … E F E F f g f(g(y)) = y pour tout y dans F et surjectivité : et surjectivité : << f est surjective de E dans F si et seulement si f admet un inverse à droite >>

54 Inverse des applications bijectives E F E F f g2g2g2g2 f(g 2 (y)) = y pour tout y dans F g 1 (f(x)) = x pour tout x dans E g1 g1 g1 g1 g 1 = g 2 = f -1 g 1 = g 2 = f -1 f(f -1 (y))=y pour tout y dans F f -1 (f(x))=x pour tout x dans E

55 Dénombrement (les ensembles finis)

56 Si E et F sont des ensembles finis de cardinaux respectifs p (pour E) et n (pour F), lensemble des fonctions de E dans F est un ensemble de cardinal Card ( F E ) = n p Exemple : E fini de cardinal p, F={0,1} Card ({0,1} E ) = 2 p

57 Eléments de combinatoire

58 Nombre darrangements de p éléments parmi n =nombre dapplications injectives dun ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments A pn

59 f(x 1 ) x1x1x1x1 p éléments n éléments A = pn n x2x2x2x2 f(x 2 ) x (n-1) x (n-2) x … x (n-p+1) Sil existe une injection de E dans F, p est inférieur ou égal à n !

60 Un cas particulier important : A =p x (p-1) …. X 2 x 1= p! pp Le nombre de permutations Le nombre de permutations dun ensemble à p élements vaut :

61 Nombre de combinaisons de p éléments parmi n = nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments ( )=( )+( ) ( )=( )+( ) np n-1p-1 n-1 p ( ) = 1 ( ) =0 n0 01 C pn

62 f(x 1 ) x1x1x1x1 p éléments n éléments A = p! x pn x2x2x2x2 f(x 2 ) Une partie à p éléments dun ensemble F à n éléments correspond à p! injections de {1,…,p} dans lensemble F Cpn

63 Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n vaut : n ! n ! _______ _______ p ! x (n-p) !

64 x x x x x x x x x x 8 x 7 y x 6 y 2 x 5 y 3 x 4 y 4 x 3 y 5 x 2 y 6 xy 7 y 8 x 8 x 7 y x 6 y 2 x 5 y 3 x 4 y 4 x 3 y 5 x 2 y 6 xy 7 y = (x+ y) 8 = (x+ y) 8 Le triangle de Pascal Formule du binôme Blaise Pascal ( )

65 (x+y) n = Cn0 xn Cn0 xn Cn0 xn Cn0 xn + C n 1 x n-1 y … + C n p x p y n-p … … + C n n-1 x y n-1 + C n n y n Si x x y = y x x (clause de commutativité)

66 Fin du Chapitre 1


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