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Fonctions numériques CHAPITRE 6. Le plan du chapitre Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée, opérations et théorèmes sur.

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1 Fonctions numériques CHAPITRE 6

2 Le plan du chapitre Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée, opérations et théorèmes sur les limites Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée, opérations et théorèmes sur les limites Continuité dune fonction en un point et sur un ensemble Continuité dune fonction en un point et sur un ensemble Opérations sur les fonctions continues Opérations sur les fonctions continues Fonctions strictement monotones sur un intervalle Fonctions strictement monotones sur un intervalle Dérivabilité dune fonction sur un intervalle Dérivabilité dune fonction sur un intervalle Extréma (maxima ou minima) locaux Extréma (maxima ou minima) locaux Dérivées successives Dérivées successives

3 Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ a e D f admet une limite finie l e R au point a si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D : lim (x n ) n = a lim (f(x n )) n = l Cas 1

4 Pour tout e >0, il existe h >0, tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) |f(x) – l | < e f admet une limite finie l e R au point a

5 Le cas particulier où le point a est un point de D f : D ----> R f : D ----> R a point de D a point de D lim a f existe dans R (et vaut nécessairement f(a)) lim a f existe dans R (et vaut nécessairement f(a)) f est continue en a

6 Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ a e D \ D f tend vers + linfini au point a si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D : lim (x n ) n = a lim (f(x n )) n =+ linfini Cas 2

7 Pour tout A >0, il existe h >0, tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) f(x) > A f tend vers + linfini au point a

8 Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ a e D \ D f tend vers - linfini au point a si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D : lim (x n ) n = a lim (f(x n )) n =- linfini Cas 3

9 Pour tout A >0, il existe h >0, tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) f(x) < - A f tend vers - linfini au point a

10 Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ +infini e D \ D +infini e D \ D f tend vers l lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D lim (x n ) n = +infini lim (f(x n )) n = l Cas 4

11 Pour tout e >0, il existe B >0, tel que : (x appartient à D et x > B ) |f(x) – l | < e f admet une limite finie l e R en + linfini

12 Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ +infini e D \ D +infini e D \ D f tend vers + infini lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D lim (x n ) n = +infini lim (f(x n )) n =+ infini Cas 5

13 Pour tout A >0, il existe B >0, tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) > A f tend vers + linfini lorsque x tend vers + linfini

14 Pour tout A >0, il existe B >0, tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) < - A f tend vers - linfini lorsque x tend vers + linfini

15 Composition des limites (1) D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lim a f= l e E _ lim l g=L e R lim a (g o f) = L

16 Composition des limites (2) D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lim a f=+infini e E _ lim +infini g=L e R lim a (g o f) = L

17 Composition des limites (3) D R E R f g f(D) l E _ + infini e D \ D _ lim + linfini f=+infini e E _ lim + infini g=L e R Lim +linfini (g o f) = L

18 Attention aux formes indéterminées ! Lim (a 0 x p + a 1 x p-1 + … + a p ) = + linfini si a 0 > 0 - linfini si a 0 < 0 x 2 – x (log x) /x = (1/x) x log x ? ? quand x tend vers + linfini

19 Attention aux formes indéterminées ! (a 0 x p + a 1 x p-1 + … + a p ) 1/k = a 0 1/k x p/k ( 1 + (a 1 /a 0 ) x -1 + … ) 1/k P(x)/Q(x) (P(x)) 1/k – Q(x), k dans N*, en + linfini ? ? b 0 x q + b 1 x q-1 + … + b q = b 0 x q (1+ (b 1 /b 0 )x -1 + …)

20 Rappel de règles concernant les limites de suites

21 Limite à droite en un point a a est adhérent à V a + := {x dans D ; x >a} a est adhérent à V a + := {x dans D ; x >a} La restriction de f à V a + admet pour limite l au point a La restriction de f à V a + admet pour limite l au point a

22 Limite à gauche en un point a a est adhérent à V a - :={x dans D ; x

23 « Une fonction monotone (cest-à-dire croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert ]a,b[ (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite en tout point de ]a,b[»

24 Fonction continue en un point (rappel) f : D ----> R f : D ----> R x 0 point de D x 0 point de D lim x0 f existe dans R (et vaut nécessairement f(x 0 )) lim x0 f existe dans R (et vaut nécessairement f(x 0 )) Continuité à droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(x 0 )) Continuité à gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à f(x 0 ))

25 Fonctions continues sur un segment [a,b] I. Une fonction f continue sur un segment [a,b] (cest-à-dire en tout point de ce segment) et à valeurs réelles est à la fois minorée et majorée sur [a,b]. II. Les deux bornes inf [a,b] f et sup [a,b] f sont atteintes par f en des points de [a,b]

26 Théorème des valeurs intermédiaires Une fonction f continue sur un segment [a,b] (cest-à-dire en tout point de ce segment) prend (sur ce segment) au moins une fois toute valeur intermédiaire y du segment [inf [a,b] f, sup [a,b] f]. Preuve par labsurde !

27 Fonctions strictement monotones et continues sur un intervalle (1) I intervalle de R m=inf {f(x), x dans I} M = sup {f(x), x dans I} f(I) intervalle de R (du même type) (du même type) I f(I) f : I f(I) bijective f admet une application inverse f -1 : f(I) I

28 Fonctions strictement monotones sur un intervalle (2) I f(I) y f -1 (y - ) c f -1 (y) c f -1 (y + ) == f continue f continue f -1 continue f -1 strictement monotone (même type que f)

29 Fonction réciproque dune fonction strictement monotone f : I J=f(I) [ (x e I) et (y=f(x)) ] [ (y e J) et (x=f -1 (y)) ] Graphe (f) = { (x,y) e I x J ; y =f(x) } Graphe (f -1 ) = { (y,x) e J x I ; y=f(x) }

30 (x 0,y 0 ) (y 0,x 0 ) Droite miroir y=x

31 Dérivabilité en un point et sur un intervalle f définie dans un intervalle ouvert contenant un point donné x 0 f définie dans un intervalle ouvert contenant un point donné x 0 f(x 0 +h) = f(x 0 ) + a(x 0 ) h + h e (h) pour tout h de valeur absolue assez petite f(x 0 +h) = f(x 0 ) + a(x 0 ) h + h e (h) pour tout h de valeur absolue assez petite e défini dans un intervalle ]- h, h [ (privé de 0) et lim 0 e = 0 e défini dans un intervalle ]- h, h [ (privé de 0) et lim 0 e = 0

32 Interprétation géométrique (x 0 +h, f(x 0 +h)) (x 0, f(x 0 )) y=a(x 0 )(x-x 0 )+ f(x 0 )

33 Dérivabilité en un point Continuité en ce point Isaac Newton ( )

34 Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x 0 f+ g dérivable en x 0, (f+g)(x 0 )= f(x 0 )+g(x 0 ) f+ g dérivable en x 0, (f+g)(x 0 )= f(x 0 )+g(x 0 ) fg dérivable en x 0, (fg)(x 0 )= f(x 0 ) g(x 0 )+g(x 0 ) f(x 0 ) fg dérivable en x 0, (fg)(x 0 )= f(x 0 ) g(x 0 )+g(x 0 ) f(x 0 )

35 Dérivabilité de x x n n > 0 (x 0 +h) n = x 0 n + n x 0 n-1 h + o(h) n > 0 et x 0 non nul (x 0 +h) -n = x 0 -n - n x 0 -n-1 h + o(h)

36 Règle de Leibniz f définie au voisinage de x 0 et dérivable en x 0 g définie au voisinage de f(x 0 ) et dérivable en f(x 0 ) g o f dérivable en x 0 car : (g o f) (x 0 +h) = g (f(x 0 +h)) = g ( f(x 0 ) + h f(x 0 ) + o(h) ) = g ( f(x 0 ) + h f(x 0 ) + o(h) ) = g(f(x 0 )) + h g(f(x 0 )) x f(x 0 ) + o(h) = g(f(x 0 )) + h g(f(x 0 )) x f(x 0 ) + o(h) (gof)(x 0 ) G.W. von Leibniz ( ) ( )

37 Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x 0 et g(x 0 ) non nul f/g dérivable en x 0 et f/g dérivable en x 0 et f(x 0 ) g(x 0 ) - g(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) g(x 0 ) - g(x 0 ) f(x 0 ) (f/g)(x 0 ) = ______________________ (g(x 0 )) 2 (g(x 0 )) 2

38 Dérivabilité de la fonction inverse Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I On suppose f R 0 sur I (f>0 ou f 0 ou f<0) f -1 : f(I) I est dérivable sur f(I) 1 (f -1 )(y 0 ) = f ( f -1 (y 0 )) f ( f -1 (y 0 ))

39 y= y 0 + f(x 0 ) (x-x 0 ) (x 0,y 0 ) (y 0,x 0 ) x= y 0 + f(x 0 ) (y-x 0 )

40 Remarque : un énoncé admis Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée identiquement nulle sur I, est constante sur I. Attention cependant Aux escaliers du diable !

41 Maximum local en un point Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans un intervalle ouvert I contenant un point x 0 admet un maximum local en x 0 Il existe e>0 tel que [ x 0 - e, x 0 + e ] c I et que, pour tout x dans [x 0 – e, x 0 + e ], f(x) est inférieur ou égal à f(x 0 ) f(x) est inférieur ou égal à f(x 0 )

42 Minimum local en un point Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans un intervalle ouvert I contenant un point x 0 admet un minimum local en x 0 Il existe e>0 tel que [ x 0 - e, x 0 + e ] c I et que, pour tout x dans [x 0 – e, x 0 + e ], f(x) est supérieur ou égal à f(x 0 ) f(x) est supérieur ou égal à f(x 0 )

43 Extréma locaux et dérivabilité Si une fonction à valeurs réelles, définie et dérivable sur un intervalle ouvert I de R, admet un extrémum local (maximum ou minimum) en un point x 0 de I, alors : Si une fonction à valeurs réelles, définie et dérivable sur un intervalle ouvert I de R, admet un extrémum local (maximum ou minimum) en un point x 0 de I, alors : f(x 0 ) = 0 Mais la réciproque est fausse !!

44 Dérivées successives Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est dérivable en tout point de I assez voisin dun point x 0 de I donné et que de plus f est dérivable en x 0 On dit que f est deux fois dérivable en x 0 et on pose f(x 0 ) = (f)(x 0 )

45 Dérivées successives (suite) Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est deux fois dérivable en tout point de I assez voisin dun point x 0 de I donné et que de plus f est dérivable en x 0 On dit que f est trois fois dérivable en x 0 et on pose f(x 0 ) = (f)(x 0 )

46 Dérivées successives (suite) Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est n fois dérivable en tout point de I assez voisin dun point x 0 de I donné et que de plus la fonction dérivée n-ème f (n) est dérivable en x 0 On dit que f est n+1 fois dérivable en x 0 et on pose f (n+1) (x 0 ) = (f (n) )(x 0 )

47 Fonctions de classe C sur un intervalle ouvert de R 8 Une fonction admettant des dérivées à tout ordre en tout point dun intervalle ouvert I de R est dite de classe C sur I. 8

48 Fin du Chapitre 6


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