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Giansalvo EXIN Cirrincione unité #1 Soit V un espace vectoriel de dimension finie n, sur le corps R ou C (K) Une base de V est un ensemble {e 1, e 2,

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2 Giansalvo EXIN Cirrincione unité #1

3 Soit V un espace vectoriel de dimension finie n, sur le corps R ou C (K) Une base de V est un ensemble {e 1, e 2, …, e n } de n vecteurs linéairement indépendants de V décomposition unique composante Lorsqu'une base est fixée sans ambiguité, on peut ainsi identifier V à K n vecteur colonne

4 vecteur ligne vecteur transposé vecteur adjoint

5 Produit scalaire u et v sont orthogonaux si ( u, v ) = 0 un ensemble {v 1, v 2, …, v k } de vecteurs de V est dit orthonormal si

6 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matrice

7 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matrice m lignes

8 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matrice n colonnes

9 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matrice

10 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matrice

11 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matrice

12 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matrice

13 a n1 a n2 a n3 … a nn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matricecarrée

14 a n1 a n2 a n3 … a nn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n Matricecarrée diagonale

15 Espace vectoriel m,n (K) des matrices de type (m,n) matrice nulle 0 = (0)

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17 Multiplication matrice-vecteur b a1a1a1a1 a2a2a2a2… anananan xnxnxnxn x2x2x2x2 x1x1x1x1 = = x1x1x1x1 a1a1a1a1 x2x2x2x2 a2a2a2a2 xnxnxnxn anananan +++ u v1v1v1v1 v2v2v2v2… vnvnvnvn v 1 u … = v 2 u v n u = umv1umv1umv1umv1 u m v 2 … u m v n u2v1u2v1u2v1u2v1 u 2 v 2 … u 2 v n u 1 v 1 u 1 v 2 … u 1 v n Produit externe

18 0 I = matrice unité = 00…1 001…0 010…0 100…0 a m1 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n a 2n a 3n … a mn a 13 a 23 a 33 … a m3 a 12 a 22 a 32 … a m2 a 11 a 21 a 31 … a m1 ATATATAT matricetransposée

19 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n a 2n a 3n … a mn a 13 a 23 a 33 … a m3 a 12 a 22 a 32 … a m2 a 11 a 21 a 31 … a m1 ATATATAT matricetransposée

20 a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n a 2n a 3n … a mn a 13 a 23 a 33 … a m3 a 12 a 22 a 32 … a m2 a 11 a 21 a 31 … a m1 ATATATAT matricetransposée a m2 a m3 … a mn a 31 a 32 a 33 … a 3n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 11 a 12 a 13 … a 1n A *, A H matriceadjointe a 1n a 2n a 3n … a mn a 13 a 23 a 33 … a m3 a 12 a 22 a 32 … a m2 a 11 a 21 a 31 … a m1

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22 Décomposition par blocs

23 Déterminant d'une matrice carrée N! permutations de l'ensemble (1,,n) T signature Laplace A sans ligne i et colonne j (sous-matrice d'ordre n-1 )

24 det A 0 Rang de la matrice A

25 Matrice inverse de la matrice A Une matrice A est inversible s'il existe une matrice (unique si elle existe), notée A-1 et appelée matrice inverse de la matrice A, telle que A A-1 = A-1 A = I. Dans le cas contraire, on dit que la matrice est singulière ( det A = 0 ). Une matrice A est inversible si elle est pleine rang (full rank).

26 Matrices particulières

27 a a a 32 a a a

28 0 0 Matrices particulières 00 a 54 a 55 0 a 43 a 44 a 45 0 a 32 a 33 a 34 0 a 21 a 22 a a 11 a tridiagonale a 53 a 54 a 55 a 42 a 43 a 44 a 45 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 21 a 22 a 23 a 24 0 a 11 a 12 a bande (ampl. 5)

29 0 0 Matrices particulières 000 a a 44 a a 33 a 34 a 35 0 a 22 a 23 a 24 a 25 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 triangulairesupérieure a 51 a 41 a 52 a 53 a 54 a 55 a 42 a 43 a 44 0 a 31 a 32 a a 21 a a triangulaireinférieure

30 0 0 Matrices particulières 00 a 54 a 55 0 a 43 a 44 a 45 0 a 32 a 33 a 34 a 35 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 Hessenbergsupérieure a 51 a 41 a 52 a 53 a 54 a 55 a 42 a 43 a 44 a 45 a 31 a 32 a 33 a 34 0 a 21 a 22 a a 11 a Hessenberginférieure

31 x Ax Ax = x valeur propre eigenvalueeigenwert(ew) vecteur propre eigenvectoreigenvektor(ev) Le sous-espace vectoriel {v : A v = v} est appelé sous-espace propre correspondant à la valeur propre. Il est un sous-espace invariant. Le sous-espace vectoriel {v : A v = v} est appelé sous-espace propre E correspondant à la valeur propre. Il est un sous-espace invariant. multiplicité géométrique m G ( ) :

32 Les valeurs propres i d'une matrice A d'ordre n sont les n racines, réelles ou complexes, distinctes ou confondues, du polynôme caractéristique : multiplicité algébrique m A ( ) spectre de A rayon spectral de A

33 trace de A Une matrice hermitienne A est définie positive (p.d.) si Une matrice hermitienne A est positive si Une matrice hermitienne est définie positive (positive) si toutes ses valeurs propres sont > 0 ( 0 ).

34 Une matrice hermitienne A est définie positive (p.d.) si Une matrice hermitienne A est positive si Une matrice hermitienne est définie positive (positive) si toutes ses valeurs propres sont > 0 ( 0 ) A diagonalement dominante A diag. dominante par colonnes A symétrique diag. dominante avec a ii > 0 est définie positive A diag. dominante est inversible

35 déterminant d'une matrice carrée si A est diagonale ou triangulaire si {, x} sont ew et ev de A non singulière, alors { -1, x} sont ew et ev de A -1 alors { -1, x} sont ew et ev de A -1 si A = A H, alors ew et les ev correspondants aux ew distinctes sont orthogonaux distinctes sont orthogonaux les ev correspondants aux ew distinctes sont l.i. si est ew de A unitaire, alors | | =1 si est ew de A et K, alors - est ew de A - I si est ew de A, alors est aussi ew de A T et est ew de A H si A et est ew de A, alors - et sont aussi ew de A A est diagonalisable toutes les n ev sont l.i. A est diagonalisable toutes les n ev sont l.i. A singulière A singulière

36 A est diagonalisable toutes les n ev sont l.i. A est diagonalisable toutes les n ev sont l.i. A et B sont matrices semblables si B = P -1 A P, où P est inversible = A x1x1x1x1… x2x2x2x2 xnxnxnxn x1x1x1x1… x2x2x2x2 xnxnxnxn 00… n 0 2…0 10…0 X -1 A X ont le même polynôme caractéristique, valeurs propres, multiplicité algébrique et géométrique. Si X n'est pas singulière, alors A et X -1 A X ont le même polynôme caractéristique, valeurs propres, multiplicité algébrique et géométrique. A est diagonalisable

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38 carrée unitaire triangulairedécomposition de Schur Etant donné une matrice carrée A, il existe une matrice unitaire U telle que la matrice U -1 A U soit triangulaire (décomposition de Schur). normale unitaire diagonale Etant donné une matrice normale A, il existe une matrice unitaire U telle que la matrice U -1 A U soit diagonale. symétrique orthogonale diagonale Etant donné une matrice symétrique A, il existe une matrice orthogonale O telle que la matrice O -1 A O soit diagonale. U -1 =U * O -1 =O T

39 Décomposition en valeurs singulières (singular value decomposition, SVD) a m1 a mn a 11 a 1n U n n 10 V T = valeurs singulières

40 Théorème de Gerschgorin-Hadamard Sil existe un entier m vérifiant 1 m n tel que la réunion de m disques soit disjointe de la réunion des (n-m) disques restants, la réunion de m disques contient exactement m valeurs propres de A.

41 Théorème de Gerschgorin-Hadamard

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43 Normes vectorielles

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45 Normes matricielles Norme matricielle subordonnée (à la norme vectorielle donnée)

46 Normes matricielles

47 Soit A = ( aij ) une matrice carrée. Alors :

48 Norme de Frobenius

49 FINE


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