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« Poincaré : Philosophe et mathématicien », Les génies de la Science, Pour la Science, Novembre 2000 H. Poincaré, « La Science et lhypothèse », Paris,

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2 « Poincaré : Philosophe et mathématicien », Les génies de la Science, Pour la Science, Novembre 2000 H. Poincaré, « La Science et lhypothèse », Paris, Flammarion 1906 I.Prigogine, « La fin des certitudes », Editions Odile Jacob, 1996 E. Schrödinger, « Quest-ce que la vie? », Seuil, Collection Point Science « La complexité, Science du XXIeme siècle », Pour la Science, Numéro spécial Décembre 2003

3 I- Nécessité du hasard Manifestations physiques Quest-ce que le hasard? II- Le hasard: réalité ou fiction? Hasard classique : Lexemple du mouvement brownien. Hasard et déterminisme. Des probabilités pour quantifier lignorance. Hasard quantique: Quand la Nature joue aux dés. Des probabilités quantiques objectives. III- Le hasard et la complexité De Poincaré aux théories du chaos. Imprédictibilité. Le chaos comme forme objective de hasard Du chaos microscopique à la régularité macroscopique Conclusion

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5 Jeux de hasard, fluctuations du marché boursier, simulations numériques, … Mouvement brownien (systèmes biologiques) Fluctuations de la géométrie de lespace- temps Solides désordonnés

6 Quest-ce que le hasard? Pas de définition unique… Coïncidences de séries causales indépendantes Intervention déléments incontrôlables Manque de connaissances sur le système (causes non connues) Rencontrer quelquun par hasard… Prise de décision humaine Apparition de la vie…. Jet de dés, pièce de monnaie, systèmes complexes

7 Hasard = Imprévisibilité : On ne sait pas ce qui va se passer…. Mais… But de la Science Déterminer les causes des phénomènes et fournir des outils de prédiction (anticiper les conséquences des phénomènes) Déterminer les causes des phénomènes et fournir des outils de prédiction (anticiper les conséquences des phénomènes) … la Science cherche à réduire leffet du hasard !! Le hasard a-t-il une existence objective? Une science du hasard est-elle possible?

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9 Un cadre: lespace et le temps absolus de Newton Idéal classique de représentation des phénomènes Particules et … …champs médiateurs des forces Objets localisés Objets étendus dans lespace Ex: Champ de gravitation, électrique, magnétique, …

10 Lois de la dynamique de Newton/Conditions initiales Mouvement des particules Systèmes de particules en interaction Systèmes complexes: Gaz, liquides, solides, …

11 Le déterminismeTout est donné (ses états futurs comme son histoire) si lon connaît la configuration du système à un instant donné (conditions initiales) Le déterminisme : Tout est donné (ses états futurs comme son histoire) si lon connaît la configuration du système à un instant donné (conditions initiales) Idéal classique = Existence dune réalité objective (microscopique) caractérisée par La réversibilitéPas de distinction entre le passé et le futur La réversibilité : Pas de distinction entre le passé et le futur Monde totalement prédictible mais cette réalité objective est accessible en principe et non en pratique: limitation de nos moyens intellectuels et matériels (caractère grossier des moyens expérimentaux) Symbole de cette prédictibilité affirmée = le démon de Laplace

12 Comment concilier « prédictibilité de principe » et « non prévisibilité pratique »? Etat initial parfaitement connu Etat initial non parfaitement connu (distribution) Nuage initial Nuage à linstant t Etat à t Evolutions possibles Extension du domaine = degré dignorance sur létat initial Evolution Evolution Schéma probabiliste Evolution déterministe des distributions de probabilités!! Hasard subjectif

13 Succès et du hasard subjectif et contradictions de lapproche microscopique Evolution (constatée) irréversible des grands systèmes Configuration initiale du gaz Diffusion Configuration finale du gaz: répartition homogène des particules dans les compartiments Pas dévolution macroscopique Dynamique microscopique (approche exacte): prédit lévolution inverse Théorème de récurrence de Poincaré Le morceau de sucre dissout dans le café peut-il se reconstituer? Lirréversibilité macroscopique est-elle une illusion?

14 Comment lever la contradiction? Argument de Poincaré: le temps de retour augmente très vite avec la taille du système et donc lévolution prédite nest pas observable Irréversibilité = illusion « pratique » Le monde reste déterministe et réversible: la machinerie cosmique obéit à la mécanique bien huilée de Newton qui laisse peu de place à lincertitude! Conséquences: Tout hasard est subjectif et la réduction de la Thermodynamique (Boltzmann) à la Mécanique est illusoire Mais dautres découvertes vont ébranler ces certitudes… *Mouvement brownien (R. Brown, 1827) : décrit par A. Einstein (1905) puis Langevin (dynamique non déterministe). Justification microscopique de la diffusion. Modèle simple: marche aléatoire * Poincaré (début XX ème siècle) découvre linstabilité et limprédictibilité (non calculabilité) dans des systèmes simples (3 corps) * Et la Physique Quantique…

15 1924: Hypothèse des ondes de matière par De Broglie 1925: Découverte de la loi régissant la propagation de ces ondes par Schrödinger – Espoir dune physique du continu 1925/26: Londe se propage dans un espace abstrait – ruine de cet espoir: que sont les ondes? Que sont les particules? 1927: Mise en évidence expérimentale de ces ondes… Pendant ce temps… 1925: Invention dune mécanique abstraite –la mécanique matricielle – par Heisenberg. Basée sur la notion de grandeur physique uniquement (pas donde). Rupture avec lidéal classique. Grands succès. 1926: Equivalence avec la mécanique ondulatoire démontrée par Schrödinger. 1926: Notion de particule objective. Born propose linterprétation probabiliste de londe de Schrödinger- De Broglie …De nouvelles probabilités: Rupture définitive avec la physique classique!!

16 Londe est déterminée de façon rigoureuse et donc aussi les probabilités. On ne peut prédire que les probabilités doccurrence des événements (réalisations des phénomènes):Les phénomènes sont soumis à un déterminisme statistique. Pour concilier les notions de particule et donde: Londe est un outil de prévision probabiliste du comportement de la particule (son mouvement par ex.) Onde = Champ – Objet associant à tout point de lespace un nombre dautant plus grand que londe y est plus marquée (amplitude plus grande) Calcul de la probabilité (intensité) « Probabilité » de trouver la particule en un point : Seules sont mesurables ces probabilités: les interférences sont un révélateur des probabilités quantiques …

17 Impacts aléatoires et non prédictibles!!!

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19 Les découvertes de Poincaré au début du XXème siècle portent les germes dun renouvellement de la dynamique: aboutissent à la théorie du Chaos (années 50/60) Les systèmes instables découverts par Poincaré (Pb à 3 corps) ne sont pas lexception mais la règle (les systèmes prédictibles sont exceptionnels!!): ils sont imprédictibles (non calculables) La source de limprédictibilité est inhérente aux systèmes: Le démon de Laplace est impuissant!! Dans ce domaine, la description probabiliste est nécessaire: Apparition dun hasard objectif (dans un système déterministe)! Linstabilité invalide la description de lévolution en termes de « trajectoires » (au sens généralisé) au profit de la description probabiliste qui, seule, est déterministe: la probabilité nest plus la mesure de notre ignorance! Dans le cas stable (rare), les deux descriptions sont équivalentes.

20 Dans le cas des systèmes complexes (grands systèmes), linstabilité a pour origine les résonances (dites de Poincaré). Le phénomène de résonance est courant en Physique:Ex. de la corde vibrante Lémergence de la flèche du temps dans les grands systèmes Formes de résonance de la corde (fuseaux) quand la fréquence dexcitation coïncide avec des multiples dune fréquence fondamentale Un système de particules en interaction est caractérisé par un certain nombre de fréquences caractéristiques Dans lespace (abstrait) de représentation des états où est décrite lévolution, on distingue des points particuliers: ceux en lesquels les rapports des fréquences ont une valeur particulière définissent les résonances de Poincaré En ces points, les trajectoires déterministes ne sont plus définies!

21 Dans les grands systèmes (prototypes des systèmes thermodynamiques), ces résonances remplissent de façon très dense lespace des états: les trajectoires seffacent complètement! Lévolution du système prend alors la forme dun processus de diffusion (mouvement brownien): Cest-à-dire une dispersion uniforme des états et entropie croissante !!! Linstabilité de la dynamique microscopique donne naissance à travers les résonances, à un hasard objectif, reflet dune description statistique irréductible à lancien idéal de description du monde en termes de trajectoires individuelles. La description probabiliste devient seule possible et nécessaire Cest ce processus qui rend intrinsèquement irréversible lévolution des grands systèmes et explique lémergence dune flèche du temps à léchelle macroscopique… Lirréversibilité nest pas une illusion! Les probabilités deviennent un élément de réalité

22 Le monde physique est une vaste scène où se joue une partie de dés permanente. Ce constat est laboutissement de la longue et tortueuse histoire de la dynamique marquée par de profondes mutations de lidée de hasard. Dabord « mesure » (et constat pratique) de notre ignorance dun monde voué au déterminisme laplacien où règne la perfection des trajectoires individuelles accessible à linhumaine intelligence dun démon, le hasard se fait probabilité que lon croyait destiné à sévanouir avec le progrès… Il fallut le génie dun Poincaré pour concilier les ambiguïtés dun monde ensorcelé par le démon de Laplace: La perfection dun monde microscopique déterministe et réversible, prédictible et lillusoire irréversibilité du monde macroscopique. La rigueur mathématique contre le rêve éveillé dun Boltzmann : achever la réduction de la thermodynamique à la mécanique. Mais Boltzmann était un visionnaire…car cest aussi Poincaré qui sape les bases de ce temple édifié à la gloire de la prédictibilité en découvrant des systèmes simples imprédictibles remettant en cause léternelle régularité du ballet des planètes. La découverte de Poincaré sera grosse dun monde, celui du Chaos. Celui du hasard objectif. Les vieilles résonances de Poincaré auront eu raison du vieux démon de Laplace en nous livrant un monde dynamique renouvelé où lirréversibilité nest que la partie visible du travail des instabilités microscopiques. Exit les vieilles trajectoires ! Place aux probabilités objectivées! La fin des certitudes écrira I. Prigogine et le début dune vision physique renouvelée de la Nature où le rôle constructif du hasard peut opérer pleinement en nous livrant ces extraordinaires structures dissipatives, fruits de lauto-organisation des systèmes loin de léquilibre. La Vie nous est enfin accessible…lancien monde est mort.


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