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Giansalvo EXIN Cirrincione unité #2 Les deux problèmes fondamentaux Résolution dun système linéaire A u = b Calcul des valeurs propres et des vecteurs.

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2 Giansalvo EXIN Cirrincione unité #2

3 Les deux problèmes fondamentaux Résolution dun système linéaire A u = b Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres dune matrice

4 erreur de troncature erreurs darrondi Résolution dun système linéaire A u = b Méthodes directes Méthodes itératives

5 Méthodes itératives ! Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres dune matrice Compagne du polynôme Théorème de Abel

6 Conditionnement dun système linéaire

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13 Un système linéaire Au = b est autant mieux conditionné que le nombre cond (A) est voisin de 1. Conditionnement dun système linéaire

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15 Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution

16 Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution

17 Conditionnement dun système linéaire

18 A normale

19 Conditionnement dun système linéaire A normale

20 Matrice de Hilbert Conditionnement dun système linéaire

21 Conditionnement dun problème de valeurs propres

22 Théorème de Bauer-Fike Soit A une matrice diagonalisable, P une matrice telle que et || || une norme matricielle telle que pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute matrice A, Cest le conditionnement de la matrice de passage à une matrice diagonale qui intervient !

23 Conditionnement dun problème de valeurs propres Si A est une matrice diagonalisable, conditionnement de A relativement au calcul de ses valeurs propres

24 Conditionnement dun problème de valeurs propres Si A est une matrice diagonalisable, Les matrices normales sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.

25 Conditionnement dun problème de valeurs propres Les matrices normales sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.

26 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression

27 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées moon fit

28 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression linéareregression non linéare

29 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression linéare

30 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples Soit w j, 1 j n (n < m) un ensemble de n fonctions réelles linéairement indépendantes, définies sur un ensemble contenant les points x j. Le problème consiste à déterminer une fonction telle que les égalités U(x i ), 1 i n, soient approchées « au mieux ».

31 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples ordinary least squares data least squares total least squares

32 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples On cherche une fonction U qui rend minimum le nombre : Équations normales

33 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples système mécanique à deux degrés de liberté m1m1 m2m2 f(t)f(t) k1k1 k2k2 x1(t)x1(t) x2(t)x2(t) Seconde loi de Newton Écriture matricielle

34 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples système mécanique à deux degrés de liberté m1m1 m2m2 f(t)f(t) k1k1 k2k2 x1(t)x1(t) x2(t)x2(t) Le comportement des deux ressorts est découplé - si lon admet que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système. fréquences de résonance

35 Origine des problèmes de lanalyse numérique matricielle : exemples système mécanique à deux degrés de liberté fréquences de résonance fréquence excitatrice Module de l'amplitude de la réponse Amplitude de la réponse dun système oscillant

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