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Giansalvo EXIN Cirrincione unité #4 Matrice symétrique définie positive Hermitienne : A H = A Symétrique : A T = A Définie positive : Exemple :

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2 Giansalvo EXIN Cirrincione unité #4

3 Matrice symétrique définie positive Hermitienne : A H = A Symétrique : A T = A Définie positive : Exemple :

4 Matrice symétrique définie positive Exemple : Hermitienne : A H = A Symétrique : A T = A Définie positive :

5 Matrice symétrique définie positive Hermitienne : A H = A Symétrique : A T = A Définie positive :

6 Matrice symétrique définie positive Hermitienne : A H = A Symétrique : A T = A Définie positive :

7 Si A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : A est non singulière a ii > 0 pour i = 1, …, n Théorème : Propriétés des matrices définies positives

8 Si A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : A est non singulière a ii > 0 pour i = 1, …, n Théorème : Propriétés des matrices définies positives

9 Définition : une sous matrice principale dune matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i 0 0 k = k Les n sous-matrices k sont définies positives et donc inversibles. Théorème de Sylvester : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrices principales à un déterminant positif

10 Propriétés des matrices définies positives Définition : une sous matrice principale dune matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème de Sylvester Théorème de Sylvester : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrices principales à un déterminant positif

11 Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

12 Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

13 Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n hermitienne strictement définie positive Alors : ses valeurs propres sont réelles et positives et ses vecteurs propres sont orthogonales

14 Élimination symétrique de Gauss

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16 Factorisation de Cholesky Si A est une matrice hermitienne définie positive, il existe une unique factorisation de Cholesky.

17 Factorisation de Cholesky

18 Stabilité de la factorisation de Cholesky The factors R can never grow large. In the 2-norm, e.g., The stability is achieved without the need for any pivoting. Intuitively, it is related to the fact that most of the weight of a hermitian positive definite matrix is on the diagonal.

19 Factorisation de Cholesky (à partir de Doolittle) première colonne de B i-ème colonne de B

20 Solution de A x = b The solution of hermitian positive definite systems A x = b via Cholesky factorization is backward stable :

21 Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent)v range(P) Pv-v direction de projection null(P)Pv

22 Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent) v range(P) Pv-v null(P)Pv range(I-P) null(I-P)

23 Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent) v range(P) Pv-v null(P)Pv range(I-P) null(I-P)

24 Projecteurs (projectors) Un projecteur est une matrice carrée P telle que P² = P (idempotent) v range(P) Pv-v null(P)Pv range(I-P) null(I-P) P is the projector onto S 1 along S 2

25 v range(P) Projecteurs orthogonaux S 1 et S 2 sont orthogonaux Pv Pv-v Un projecteur P est orthogonal ssi P = P H

26 Projecteurs orthogonaux S 1 et S 2 sont orthogonaux Un projecteur P est orthogonal ssi P = P H PQ = q1q1q1q1… qnqnqnqn0…

27 n m Projecteurs orthogonaux

28 n m

29 Projection avec une base arbitraire

30 Factorisation QR Espaces colonnes = 00… r nn 0 r 22 … r 11 r 12 … r 1n q1q1q1q1… q2q2q2q2 qnqnqnqn a1a1a1a1… a2a2a2a2 anananan reduced QR factorization orthonormalisation de Gram-Schmidt

31 00…0 00…0 Factorisation QR reduced QR factorization orthonormalisation de Gram-Schmidt = 00… r nn 0 r 22 … r 11 r 12 … r 1n q1q1q1q1 q2q2q2q2 a1a1a1a1… a2a2a2a2 anananan … qnqnqnqn qmqmqmqm… full QR factorization orthonormalisation de Householder

32 1. Compute a QR factorization A = Q R 2. Compute y = Q H b 3. Solve R x = y for x Solution de A x = b par factorisation QR Il est si facile de résoudre un système « triangulaire » ! Q « facilement » inversible et R triangulaire

33 Othogonal triangularization (Householder) Alston Householder

34 The matrix Q k is chosen to introduce zeros below the diagonal in the kth column while preserving all the zeros previously introduced. It operates on rows 1, …, m. Othogonal triangularization (Householder)

35 k-ème ligne k-ème colonne x

36 Othogonal triangularization (Householder) x F

37 H x v hyperplane

38 Othogonal triangularization (Householder) H vx

39 H + x H - real case cancellation error

40 Factorisation QR de Householder

41 four times the volume

42 Factorisation QR de Householder

43 Stabilité de la factorisation de Householder twenty digits of accuracy have been lost !accurate to a full fifteen digits ! The errors in Q 2 and R 2 are forward errors. In general, a large forward error can be the result of an ill-conditioned problem or an unstable algorithm (here the former). As a rule, the sequence of column spaces of a random triangular matrix are exceedingly ill-conditioned as a function of the entries of the matrix. The error in Q 2 R 2 is the backward error or residual.

44 Stabilité de la factorisation de Householder La factorisation QR de Householder est backward stable

45 Stabilité de la solution QR de A x = b 1. Compute a QR factorization A = Q R 2. Compute y = Q H b 3. Solve R x = y for x BS

46 Stabilité de la solution QR de A x = b BS

47 Stabilité de la solution QR de A x = b BS accuracy

48 FINE


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