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Giansalvo EXIN Cirrincione unité #3 rappels grand O Définition : la fonction T(n) est dite « grand O » de f(n) que lon note T(n)= O (f(n)), sil existe.

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2 Giansalvo EXIN Cirrincione unité #3

3 rappels grand O Définition : la fonction T(n) est dite « grand O » de f(n) que lon note T(n)= O (f(n)), sil existe deux constantes C et n 0 telles que Problème : fonction f : X Y de lespace vectoriel normé X des entrées à lespace vectoriel normé Y des solutions. Algorithme Axiom fondamental de larithmétique en virgule flottante

4 rappels Problème : fonction f : X Y de lespace vectoriel normé X des entrées à lespace vectoriel normé Y des solutions. Algorithme Stabilité dun algorithme A stable algorithm gives nearly the right answer to nearly the right question.

5 rappels A stable algorithm gives nearly the right answer to nearly the right question.

6 rappels Stabilité backward dun algorithme A backward stable algorithm gives exactly the right answer to nearly the right question.

7 Résolution de systèmes linéaires Théorème de Rouché-Capelli La solution dun système linéaire (A carrée inversible n x n) ne sobtient pas en calculant linverse de A. Le calcul de A -1 est équivalent à la résolution des n systèmes linéaires : où u j est le j-ème vecteur de la base de K n.

8 On ne change pas la solution lorsque lon : 1. permute 2 lignes 2. permute 2 colonnes 3. divise par un même terme non nul les éléments dune ligne 4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne 4 principes fondamentaux Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Stratégietransformer le système linéaire Stratégie : transformer le système linéaire en un système équivalent … facile à résoudre en un système équivalent … facile à résoudre triangulaire !

9 Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Algorithme Fonction x = diago(A,b) problème solution A matrice diagonale

10 Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes A triangulaire inférieure problème solution Algorithme Fonction x = trianginf(A,b)

11 Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes A triangulaire inférieure problème solution

12 Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes A triangulaire supérieure problème solution Algorithme Fonction x = triang(A,b)

13 Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes A triangulaire supérieure problème solution Chaque composante x i apparaissant comme une fonction linéaire de b i, b i+1, …, b n, ceci montre que linverse dune matrice triangulaire est une matrice triangulaire du même type. Méthode de remontée

14 La méthode de Gauss Au = b, A : matrice inversible I.U ne procédure délimination qui équivaut à déterminer une matrice inversible M telle que M A soit triangulaire supérieure. II.O n calcule simultanément le vecteur M b. III.O n résout le système linéaire M A u = M b par la méthode de la remontée. En pratique, on ne calcule pas explicitement la matrice M, mais seulement la matrice M A et le vecteur M b.

15 La méthode de Gauss exemple pivot (1)

16 (2) = (2) - (a 21 /pivot(1)) (1) La méthode de Gauss exemple

17 exemple (2) = (2) - (a 21 /pivot(1)) (1)

18 Le première variable à été éliminée de toutes les équations sauf une. La méthode de Gauss exemple (3) = (3) - (a 31 /pivot(1)) (1)

19 La méthode de Gauss exemple pivot (2)

20 Fonction A,b = descent (A,b) Triangularisation La méthode de Gauss

21 U, c = descent (A,b) x = triang (U,c) Fonction x = Gauss( A,b )

22 La méthode de Gauss Première étape de lélimination premier pivot matrice de permutation P Lun au moins des éléments de la première colonne est différent de zéro, sans quoi la matrice serait singulière. On choisit alors lun des coefficients non nuls (premier pivot) de la première colonne de A. Ensuite, on échange la ligne du pivot avec la première ligne, ce qui revient à multiplier A à gauche par une matrice de permutation P. Pour léchange des i-ème et j-ème lignes, on multiplie à gauche par la matrice P suivante.ij ij

23 La méthode de Gauss Première étape de lélimination premier pivot matrice de permutation P Lun au moins des éléments de la première colonne est différent de zéro, sans quoi la matrice serait singulière. On choisit alors lun des coefficients non nuls (premier pivot) de la première colonne de A. Ensuite, on échange la ligne du pivot avec la première ligne, ce qui revient à multiplier A à gauche par une matrice de permutation P. Pour léchange des i-ème et j-ème lignes, on multiplie à gauche par la matrice P suivante.

24 La méthode de Gauss Première étape de lélimination Par des combinaisons linéaires appropriées de la première ligne et des autres lignes de la matrice PA, on annule tous les éléments de la première colonne de PA situés sous la diagonale, la première ligne restant inchangée.

25 La méthode de Gauss Seconde étape de lélimination Elle consiste à effectuer les mêmes opérations que précédemment, mais seulement sur la sous-matrice ( b ij ), 2 i, j n, en laissant inchangée la première ligne, et ainsi de suite … ( k-1 )-ème étape de lélimination (2 k n ( k-1 )-ème étape de lélimination (2 k n )

26 La méthode de Gauss k-ème étape de lélimination (2 k n k-ème étape de lélimination (2 k n )

27 La méthode de Gauss ( n-1 )-ème étape de lélimination

28 La méthode de Gauss

29 exemple Trouver x en ne gardant que 3 chiffres significatifs après la virgule pivot Que se passe til si on prend le système à lenvers…?

30 La méthode de Gauss exemple Trouver x en ne gardant que 3 chiffres significatifs après la virgule pivot effet de la division par un pivot trop petit

31 Gaussian elimination without pivoting is neither backward stable nor stable. Additionally, the triangular matrices it generates have condition numbers that may be arbitrarily greater than those of A itself, leading to additional sources of instability in the forward and back substitution phases of the solution of A x = b. s si un pivot est nul, on permute deux lignes i tous les pivots restant sont nuls, la matrice est singulière (i.e. le système déquations nadmet pas de solution unique) s stratégie pour minimiser les erreurs darrondis. on choisi le plus grand pivot possible (en valeur absolue) et donc on permute les lignes (voir les colonnes associées) cest la stratégie du pivot maximal (partiel (lignes) ou total) Choix du pivot

32 k-ème étape de lélimination (2 k n k-ème étape de lélimination (2 k n ) Stratégie du pivot partiel O( n 2 ) flops

33 Choix du pivot k-ème étape de lélimination (2 k n k-ème étape de lélimination (2 k n ) Stratégie du pivot total O( n 3 ) flops Il faut aussi effectuer un échange de colonnes qui equivaut a multiplier la matrice A k à droite par une matrice de permutation.

34 FLOPS

35 FLOPS Formules de Cramer Pour n = 10 par exemple, on obtient environ : 700 opérations pour Gauss 700 opérations pour Gauss opérations pour Cramer ! opérations pour Cramer ! Pour n = 10 par exemple, on obtient environ : opérations pour Gauss opérations pour Cramer !

36 Gauss-Jordan

37 Gauss-Jordan La méthode de Gauss-Jordan est utilisée pour le calcul de linverse dune matrice donnée : on résout simultanément les n systèmes linéaires : diagonale

38 La factorisation LU dune matrice

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41 Fonction P,L,U = décompose (A)

42 La factorisation LU dune matrice

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45 Fonction P,L,U = décompose (A)

46 La factorisation LU dune matrice L 0 0 U AP = P,L,U = décompose (A) y = triang (L, P*b) x = triang (U, y) Fonction x = LU(A,b)

47 P = 1 Soit A = ( a ij ) une matrice carrée dordre n telle que les n sous-matrices diagonales soient inversibles. Alors il existe une matrice triangulaire inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U telles que A = L U. De plus, une telle factorisation est unique.

48 P = 1 Matrices spéciales (pas de stratégie de pivoting dans la factorisation LU) A est diagonalement dominante A est une M-matrice A est une matrice symétrique définie positive

49 Stabilité de la factorisation LU Let the factorization P A = L U of a matrix A be computed by Gaussian elimination with partial pivoting. Then the computed matrices P, L and U satisfy : ~~~ For Gaussian elimination without pivoting, both L and U can be unboundedly large. Pivoting, ensures that L and U are not too large.

50 Stabilité de la factorisation LU For Gaussian elimination without pivoting, both L and U can be unboundedly large. Pivoting, ensures that L and U are not too large.

51 Stabilité de la factorisation LU

52 backward stable = O(1) Gauss elimination is backward stable if = O(1) uniformly for all matrices of a given dimension n

53 Stabilité de la factorisation LU exemple A growth factor of order 2 n corresponds to a loss of the order of n bits of precision.

54 Stabilité de la factorisation LU Despite this example, Gaussian elimination with partial pivoting is utterly stable in practice. Large factors U never seem to appear in real applications. Random matrix : each entry is an independent sample from the real normal distribution of mean 0 and standard deviation n -1/2. A = randn(n,n)/sqrt(n)

55 Stabilité de la factorisation LU Despite this example, Gaussian elimination with partial pivoting is utterly stable in practice. Large factors U never seem to appear in real applications. Random matrix : each entry is an independent sample from the real normal distribution of mean 0 and standard deviation n -1/2. A = randn(n,n)/sqrt(n)

56 La factorisation LU dune matrice tridiagonale

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58 La factorisation LU dune matrice-bande no pivoting pivoting

59 FINE


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