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Réseau : Ensemble de points (nœuds) de positions : R uvw = u a +v b + w c (a, b, c) vecteurs de base, (u, v, w) entiers. Maille : Volume qui pave lespace.

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1 Réseau : Ensemble de points (nœuds) de positions : R uvw = u a +v b + w c (a, b, c) vecteurs de base, (u, v, w) entiers. Maille : Volume qui pave lespace sans vide ni recouvrement, en g al parallélépipédique (a,b,c) Maille primitive (un nœud), multiple (symétrie) : élémentaire (unit cell) Mailles conventionnelles : Symétrie de position : Ordre périodique P : primitifF : Faces centréesI : Corps centréA,B,C : Face centrée a b c

2 Seules les rotations dordre 1, 2, 3, 4, 6 sont compatibles avec la périodicité Tout axe de symétrie A n est orthogonal à un plan réticulaire Symétrie dun plan orthogonal à laxe A n BB vecteur du réseau BB=T-2Tcos =mT cos =p/2 Symétrie ponctuelles dans les réseaux AnAn /n T A2A2 A2A2 T AnAn B B AnAn T An(T)An(T)A -n (-T)

3 Pavage du plan Sans vide ni recouvrement Découvert par Kepler en 1619 : « Harmonices Mundi » Seules symétries compatibles avec la translation : 1, 2, 3, 4, Vers un pavage de Penrose 1

4 Réseaux 2D Oblique : pRectangulaire : pRectangulaire : cCarré : pHexagonal : p À 2D 4 systèmes (systèmes) 5 modes de réseau À 3D Empilement de réseaux 2D respectant la symétrie (Ex. carré) PI

5 Les réseaux de Bravais Triclinique a b c Monoclinique a b c = = 90° Orthorhombique a b c = = = 90° Tétragonal a = b c = = = 90° Rhomboédrique a = b = c = = Hexagonal a = b c = =90°; =120° Cubique a = b = c = = =90° P I F C 1 2/m 2/mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m _ _ _ À 3D 7 systèmes (symétrie) 14 modes de réseau Les systèmes de Bravais

6 32 classes de symétrie dorientation m343mm3m 346=3/m2=m _____ /m6/m2/m 3m4mm6mm2mm 3m42m (4m2) __ _ 62m (6m2) _ _ 4/ mmm 6/ mmm ___ Triclinique Monoclinique Orthorhombique Trigonal Tétragonal Hexagonal Cubique Groupes ponctuels cristallographiques Les 7 systèmes cristallins Classe holoèdre : ayant la symétrie du réseau Ex : Tétragonal (4/mmm)... hémièdres, tétartoèdres

7 Maille de Wigner-Seitz Ensemble des points plus proches de lorigine que de nimporte quel autre point Maille primitive, ayant la symétrie ponctuelle du réseau Dans lespace réciproque : Zone de Brillouin Maille conventionnelle Maille de W-S

8 Relations entre les 7 systèmes Hexagonal Trigonal Cubique Tétragonal Orthorhombique Monoclinique Triclinique Relations groupe/sous-groupe Brisure de symétrie Transitions de phases du 2 e ordre 4 2 L L L L+ 6 3 L L L L-

9 Symétrie de position : groupe despace Mauritz Cornelis Escher Graveur néerlandais ( ). Groupe P4

10 Nouvelles symétries Réflexions avec glissement Réflexions avec glissement Groupe P4gm

11 Opérations de symétrie non-symorphiques T T/2 M Réflexion avec glissement (M,t) Après deux opérations M, périodicité T t=T/2 Translations hélicoïdales (A N, t) Après N translations t on retrouve la périodicité : mc t = mc/N Combinaison (O, t) O : Rotation, Réflexion rotatoire T : translation Notation : a, b, c, n, d, g Notation : N m (A N, mc/N)

12 Opération de symétrie de position Rotations Réflexions rotatoires Translations hélicoïdales Réflexion Réflexions avec glissement

13 Groupes despace 230 groupes despace 7 systèmes cristallins Notations Directions primaire secondaire et tertiaires Mode de réseau Éléments générateurs Groupe ponctuel du cristal Sans translation I4 1 /amd 4 m m m Tétragonal corps centré

14 Unité asymétrique

15 Symétrie Symétries de position Translations T= u a + v b + w c Symétries autorisées 1, 2, 3, 4, 6 ( 3, 4, 6) M, C 14 réseaux de Bravais 32 Classes de symétrie dorientation 7 systèmes cristallins Translations Rotations Réflexions rotatoires + Translations hélicoïdales Réflexion avec glissement 230 Groupes despace ( 7 systèmes ) Symétries dorientation Rotations Réflexions rotatoires Conventionnellement Rotations (A n ) Réflexions (M) Linversion (C) Inversions rotatoires (A n ) Groupes ponctuels 7 Groupes limites de Curie _ ___


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