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Phm Obs Lyon 2011-12. 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir2 Introduction La physique du rayonnement a fait un grand pas lorsque les trois lois dites «

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1 phm Obs Lyon

2 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir2 Introduction La physique du rayonnement a fait un grand pas lorsque les trois lois dites « du rayonnement du corps noir » furent été établies. Nous allons utiliser Geogebra pour la construire, la manier. Sa visualisation dans le cas de mesures photométriques de la lumière des étoiles, sera très instructif. Celle de Planck qui donne le flux en fonction de la longueur donde est particulièrement complexe à utiliser. Pourtant, elle est fondamentale à utiliser en astronomie, car ninterviennent que la longueur donde et la température. Lapproximation des intérieures stellaires à des corps noirs est fructueuse, même lorsque lon est à la surface où léquilibre nest pas réalisé.

3 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir3 Le corps noir - émet un rayonnement propre à sa température - corps en équilibre thermique - absorbe tout rayonnement reçu

4 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir4 Lois du rayonnement Tout corps en équilibre thermique absorbe et émet un rayonnement fonction de sa température absolue. Loi de Wien (1893) : =× ,Wm K 2 LT = 4 Loi de Stefan (1879) : Loi de Planck (1900) :

5 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir5 La loi de Planck Lexpression de la loi de Planck est différentielle. Son écriture nest pas la même si lon raisonne en longueur donde ou en fréquences. En classification stellaire, ce sont les longueurs donde qui sont utilisées. Nous nous servirons de la formule : La difficulté de représenter cette courbe, même en coordonnées logarithmiques, est létendues des plages des variables. Il faudra parcourir les gammes en : - Température, de 100K à K (10 3 ) - Longueurs donde, du nanomètres aux dizaines de mètres (10 10 ) Les intensités du rayonnement émis vont varier de 1 à

6 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir6 La loi de Planck Ce graphique permet de visualiser les énergies émises de : - 100K à K microns à 500 microns Son utilisation est difficile, car il a du être incliné pour réduire la surface nécessaire. Comment introduire toutes ces contraintes dans Geogebra ? - Soleil - Corps humain

7 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir7 Loi de Planck et Geogebra Les intensités du rayonnement ayant la plage la plus étendue, nous allons créer une échelle variable en ordonnées, à laide dun curseur. Ce curseur prend des valeurs entières. Il fera varier léchelle des ordonnées, les intensités, dun facteur dix pour une variation unitaire. Les longueurs donde intéressantes en classification stellaire, sétendant principalement de 0.1 microns au centimètre. Léchelle des longueurs donde en abscisses, sera en microns Ladaptation à léchelle se fera en jouant sur le zoom. Abscisses Ordonnées

8 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir8 Calcul de la formule de Planck Ce sont les valeurs extrêmes de certains coefficients. Deuxième problème avec la formule de Planck : Il y a danger de fausser les calculs, par simple dépassement de précision dans les calculs internes dans le coprocesseur arithmétique. On nappliquera pas la formule brute telle quelle. Un calcul intermédiaire de coefficient entrant dans la formule sera nécessaire. Cette variable intermédiaire sera judicieusement choisie pour avoir une plage de valeurs raisonnables.

9 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir9 Calcul de la formule de Planck Décomposition de la formule de Planck : Comme on entre les données en unités courantes : microns et °K, il faudra pour les bien ajuster les coefficients pour rester homogène. Pour paramétrer la courbe, il est nécessaire de créer plusieurs curseurs : - curseur température : T de 100 à (°K) Dautres curseurs seront créés pour simuler les positions des filtres et leurs bandes passantes. - curseur échelle : echy de 2 à 20

10 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir10 Construction de la courbe de Planck Le coefficient intermédiaire : ct2 = c2 / T Faire varier la température et jouer avec les échelles pour suivre lévolution de la courbe. Entrer les deux coefficients de la formule : c1 = c2 = Avec c1, la fonction de Planck a sa valeur divisée par 10 8 Il faudra en tenir compte pour le calcul du flux total (loi de Stephan) Fonction[c1 / x / (exp(ct2 / x) - 1) 10^echy, 0, 100] La formule de Planck transposée en langage Geogebra devient : Fonction de Planck Echelle des ordonnées Plage des

11 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir11 Maximum damplitude pour une température donnée Pour trouver le maximum dintensité de la fonction à une longueur donde donnée, on peut employer la fonction de Wien : Geogebra permet de créer la fonction dérivée dune courbe. Loi de Wien (1893) : Il est plus intéressant de la retrouver par lanalyse de la courbe de Planck. La dérivée étant nulle au maximum, on recherche lintersection de la fonction dérivée avec laxe des x (ou bien avec une droite y=0). Lordonnée de la courbe de Planck en ce point donne lintensité du maximum. dy0 : y = 0 fcn2 = Dérivée[fcn] Px_M = Intersection[fcn2, dy0] M = Intersection[fcn, x(Px_M]

12 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir12 Maximum damplitude pour une température donnée Faire afficher la position et la valeur de lIntensité en cette position : "lambda max = " + (x(M)) + " microns I=" + (y(M)) En position absolue à lécran.

13 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir13 Intégrale du flux – loi de Stephan Faire afficher la position et la valeur de lénergie émise par m 2. "Flux / m2 = " + isteph + " W/m2 Nous pouvons appliquer la formule de Stephan, 1ère loi du Corps Noir. Nous pouvons aussi intégrer le flux sur toutes les longueurs dondes. isteph = *Intégrale[fcn, , 200] La limite inférieure doit être non nulle, sinon, lintégrale nest plus définie.0 On peut maintenant samuser avec notre fonction.

14 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir14 Indices de couleurs Quand on étudie une étoile, on mesure son intensité relative en différents points de son spectre (spectrographie, photométrie). La courbe de Planck pour une étoile de température donnée de surface, nous donne lintensité en toute longueur donde. On va donc comparer lintensité en deux longueurs donde différentes, cest- à-dire en faire le rapport. Si lon prend le logarithme de ce rapport et quon le multiplie par -2.5, on obtient la différence de magnitude en ces longueurs donde. Cela sappelle un indice de couleur. Nous allons le voir bientôt sur notre graphique. Ce rapport est indépendant de la distance. Léclairement de l étoile varie pour chaque longueur donde comme linverse du carré de la distance. Il est directement fonction de la Température.

15 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir15 Indices de couleurs Créer deux curseur l_1 et l_2 qui nous donnerons deux longueurs donde. Les intensités en ces longueurs sont les ordonnées des intersections de la courbe de Planck avec les deux droites : Créer les deux droites verticales qui repèrent ces longueurs donde : i1 = y(Intersection[fcn, dx1]) i2 = y(Intersection[fcn, dx2]) Calcul de lindice de couleurs : IC = -(2.5) lg(i1 / i2) + cte Le coefficient additif, est à ajuster en fonction des longueurs donde choisies pour se raccorder à un système standard de mesures photométriques. Afficher le résultat : "IC = " + IC dx1: x=l_1 et dx2:x=l_2 Sa valeur sera déterminé avec une étoile prise comme référence (diapo suivante). i1 = fcn(l_1) i2 = fcn(l_2) ou

16 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir16 Indices de couleurs Exemple avec Véga (10200°K) et le Soleil (5800°K). Les longueurs donde centrales des filtres sont B : 0.43 microns et V : 0.52 microns. Lindice de couleur choisi est lindice (B-V) rapport des intensités dans un filtre Bleu et un filtre Visible (jaune). On peut donc, en affichant une température de 10200°K, ajuster la constante dans la formule, en retranchant à IC, la valeur de IC sans constante. Trouver lindice de couleur du Soleil ? En système photométrique UBV, létoile Véga est prise comme référence, tous ses indices de couleurs (U-B, B-V, V-R, R-I, etc sont pris égaux à 0. Cte = (B-V) Soleil = 0.446

17 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir17 Indices de couleurs Prendre lintensité en une longueur donde nest pas très réaliste. Le filtre a une bande passante plus ou moins larges et cest lintégrale du flux convolué par la bande passante qui est la mesure de flux. Encore mieux ! Largeur à mi hauteur : 90% du flux dans cette largeur.

18 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir18 Indices de couleurs Curseur l_1 = 0.43, lb1 = l_1 - df1 / 2 lb2 = l_1 + df1 / 2 Simulation de la bande passante : "IC = " + IC + " "ICF= " + ICF A partir de chaque longueur donde l_1 et l_2, calculer les limites de lintégrale de la fonction de Planck pour chaque filtre : Afficher le résultat : Soit df1 = 0.05 et df2 = 0.07 les deux bandes passantes des filtres (largeur à mi-hauteur). Filtre bleu Curseur l_2 = 0.43, lv1 = l_2 – df2 / 2 lv2 = l_2 + df2 / 2Filtre visible Intégrales : intb = Intégrale[fcn, lb1, lb2] et intv = Intégrale[fcn, lv1, lv2] Indice de couleur : ICF = -(2.5) lg(intb / intv) + cte Comparer les deux résultats et faire varier la température. Nouvelle calibration : cte =

19 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir19 Indice de Couleurs En passant en magnitude, l'inégalité s'inverse : Directement relié à la Température.

20 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir FIN


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