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CALCUL LITTERAL Chapitre 05-LT I – NOTATIONS REDUIRE-ORDONNER II – VALEUR NUMERIQUE dune EXPRESSION III-DEVELOPPEMENT IV – FACTORISATION V - IDENTITES.

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1 CALCUL LITTERAL Chapitre 05-LT I – NOTATIONS REDUIRE-ORDONNER II – VALEUR NUMERIQUE dune EXPRESSION III-DEVELOPPEMENT IV – FACTORISATION V - IDENTITES VI- UTILISATION DES IDENTITES VII-EQUATION PRODUIT VIII- EXERCICES / PROBLEME 3° Avon 2010Bernard Izard

2 I-NOTATION-REDUIRE-ORDONNER 1 x a =a 0 x a = 0 -1 x a = -a -1 x (…..) =-(….) a x bse note 2 x x se note 3x(…..)se note (…..)x(…..)se note On lit: 3 facteur de ab 2x2x 3(…..) (…..)(…..) x + x = 2x x x x = x² On met les nombres chiffrés devant les lettres On écrit 2 x et non x 2 3(…) et non (…)3 1) Rappel des notations

3 Expressions littérales exercice: Si a, b et x représentent des nombres, traduire les phrases suivantes par une expression littérale simplifiée: Le quadruple de a La moitié de a Linverse de a lopposé de a La moitié de la somme de 3 et a La somme de 6 par le produit de x et 3 Les trois quarts de x Le carré de la somme de 3 et x La somme des carrés de 3 et x Le double de la somme de 3 et x 4a a/2 1/a -a 3+a 2 6(x + 3) 6+3 x 3x43x4 3² + x² (3 + x)² 2(3 + x) Le produit de 6 par la somme de x et 3

4 Règle de suppression des parenthèses (rappel) Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses : - précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à lintérieur des parenthèses. - précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à lintérieur des parenthèses en son opposé. Ex: A = 8 + (- 3 + x ) - ( x ) A = 8 + (- 3 + x ) - ( x ) A = 8 – 3+ x – 4+ 3 x A = 4 x + 1

5 2) Réduire une somme (Rappel) Pour réduire une somme, on regroupe les termes de mêmes « mots mathématiques », puis on les ajoute ensemble. Remarque : on ajoute les x avec les x, les x ²avec les x ², les y avec les y et les nombres chiffrés seuls avec les nombres chiffrés seuls. Ex1: A = x + 3 x A = 4 x Ex2: B = x + x ² +3 + x + 2 x ² + 5 B = x + x + x ² + 2 x ² Mais jamais les x avec les x ², les a avec les b.. Ex3: C = x + x² On ne peut pas réduire B = 2 x + 3 x ² + 8

6 3) Ordonner une expression (Rappel) On range les termes suivant les puissances dune lettre A = x + 3x² – 3 A = -3 + x +3x² Ordre croissant A = x + 3x² - 3 A = 3x² + x - 3 Ordre décroissant On a ordonné suivant les puissances de x Ex: Ranger suivant les puissances décroissantes de x: B = 5x – 5 + 7x³ - 8x² B = 7x³- 8x² + 5x - 5

7 4) Réduire et ordonner une expression On Réduit en commençant par les puissances 3, puis 2, puis 1, puis 0, ou dans lautre sens. Ex: A=3 x – 2 x ² +5 –3 – x +7 x ² +4 x ³ Les x ³ 4 x ³ Les x ² 7 x ² -2 x ² 5 x ² Les x 3 x - x 2 x Les chiffres A = 4 x³ + 5 x ² +2 x + 2

8 Ex1: A = 3 x x 5 x 2 x A =3 x 5 x 2 x x x x A = 30 x x ² A = 30 x ² 5)-Réduire ou simplifier un produit Pour réduire un produit, on multiplie les nombres chiffrés ensemble et les mêmes lettres ensemble On utilise la règle du: Signes Chiffres Lettres Ex2: B = -3 x 5 x x ² x 7 x ( -x ) Signes Chiffres Lettres - par - = + 3x5x7 =105 x ² x x = x ³ B = 105 x ³

9 II-VALEUR NUMERIQUE D UNE EXPRESSION A = 5 x + 5 est une expression littéral Si on remplace x par 3, on va trouver la valeur numérique de cette expression pour x = 3 A = 5 x A = A = 20 Cette expression vaut 20 pour x = 3 Si on remplace x par –2 A = 5 x (-2) +5 A =-10+5 A = -5 Cette expression vaut -5 pour x = -2 Si on note f( x )= 5 x + 5 On écrit alors f(3) = 20

10 Ex2: Calculer pour x = -3 A = 4 x – 4 B = 5x – 5(x-7) C = 2x² - 3x + 1 D = -32x² + x + 18 A = 4(-3) – 4 A = -12 – 4 A = -16 B = 5(-3) – 5((-3)-7) B = -15 – 5(-10) B = B = 35 C = 2(-3)² – 3(-3) +1 C =2x C = C = 28 D = -32(-3)² +(-3) + 18 D = -32x9 – D = D = Mettre des parenthèses pour éviter les erreurs de signes

11 III - DEVELOPPEMENT On utilise la distributivité k( a + b) = ka + kb Développement Factorisation k( a - b) = ka - kb Développer = transformer un produit en somme ou différence

12 Ex1: A= 3 ( 2 x + 7) A= 3 x 2 x A= 6 x x 7 A= 6 x + 21 Ex2 : B = ( x ) ( x +3) B= 6 x x + 6 x 3+ 2 x x x + 2 x x 3 B= 6 x x x B= 2x2 2x2 + 6 x+ 6x 6x + 18 B= 2 x x + 18 B= 2 x x + 18

13 Autres formules appelées parfois « double distributivité » (a + b ) ( c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b ) ( c - d) = ac - ad + bc - bd (a - b ) ( c + d) = ac + ad - bc - bd (a - b ) ( c - d) = ac - ad - bc + bd

14 Ex3: B = ( x ) (- x +3) B= 6 x (- x) + 6 x 3- 2 x x (- x) - 2 x x 3 B= -6 x x x B= 2x2 2x2 - 6x 6x -6x + 18 B= 2 x x + 18

15 Ex4 : B = ( x ) (5 –3x) B= - 40 B= 6 x x x+ 6 x x Signes chiffres lettres Règle En 3°,on fait directement les calculs

16 IV - FACTORISATION On utilise la distributivité Dans lautre sens k( a + b) = ka + kb Factorisation Factoriser = transformer une somme ou différence en produit

17 Méthode du facteur commun Ex1:Ex2:Ex3: A = 5 x + x 2 B = 15 x 2 + x 3 C = 12 xy + 6x A = 5 x x + x x x A = x x A = x ( 5 + x) ( 5 + x) B = x 2 x (15 + x ) B = 15 x x 2 + x x x 2 B = x 2 ( 15 + x) C = 6 x x 2 y + 6 x x 1 C = 6 x x ( 2 y + 1 ) C = 6 x (2 y + 1) On dit que lon a mis x en facteur commun

18 Mettre en facteur commun une expression A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13) A = (x + 7) (-2x + 8) A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13) A = (x + 7) [ (3x – 5) + (- 5x + 13) ] A = (x + 7) [3x – 5 - 5x + 13] A = (x + 7) [- 2x + 8] 1) On cherche les facteurs identiques 3) On met dans les crochets ce qui reste 4) On chasse les parenthèses dans les crochets et on réduit 2) On met en facteur commun devant entre parenthèses

19 V – IDENTITÉS REMARQUABLES a b b b a b a a b² ab Marquons dans chaque figure son aire ab a²

20 b b b² a b ab a b a aa²

21 b b b² a b ab a b a aa²

22 b b b² a b ab a b a aa² Aire totale = a²+ ab+ ab + b² Aire totale = a²+ 2ab + b² La figure complète est un carré de côté (a+b) Son aire = côté x côté Aire = (a+b)x(a+b) = (a+b)² Doù (a + b)² = a² + 2ab + b²

23 1 )-Carré d une somme. ² ² ( + )² =+2+ Le carré dune somme est égal à la somme des carrés plus le double produit des deux termes Exemple

24 ² ² ( + )² =+2+ Pour ceux qui ont du mal au début (7 + x )² = ? On reconnaît: (a+b)²=a²+ 2ab + b² (7 + x )² = ? 7 x 77 xx ( 7 + x )² = x + x ²

25 2)-Carré d une différence ² - 2+ ( - )² = ² Le carré dune différence est égal à la somme des carrés moins le double produit des deux termes

26 ( - )( + ) = ² - ² 3)-Différence de deux carrés. Le produit dune différence par une somme est égal à la différence des deux carrés.

27 VI – UTILISATION DES IDENTITÉS 1) Pour développer A = x x + 9 A = x 2 – 2 x 3 x x A = ( x- 3) 2 (a-b) 2 = a ab+b 2 A = ( x- 3) 2 On repère lidentit é On lutilise pour développer On réduit Ex1:

28 B = x B = x 2 – 3 2 B = ( x - 3) ( x + 3) (a-b) (a+b) = a 2 - b 2 B = ( x- 3)(x+3) On repère lidentit é On lutilise pour développer Ex2:

29 A = 9 x x + 49 A = ( 3 x) x 7 x 3x A = (3 x+ 7) 2 (a+b) 2 = a ab+b 2 A = (3x +7) 2 On repère lidentit é On lutilise pour développer On réduit Ex3:

30 A = 16x x + 25 A = (4 x+ 5) 2 a ab+b 2 =(a+b) 2 On repère lidentit é On lutilise pour factoriser Ex1: 2) Pour factoriser A = ( 4 x) x 5 x 4 x A = (4 x+ 5) 2

31 A = 9 x A = (3 x) A = (3 x +4) (3 x - 4) B = x x + 9 B = x 2 – 2 x 3 x x B = ( x- 3) 2 Ex2:Ex3: a 2 - b 2 = (a-b) (a+b) a ab - b 2 =(a - b) 2

32 VII – EQUATION PRODUIT Résoudre léquation (2x + 3) ( x – 7) = 0 Cest une équation produit nul car égal à zéro. On utilise la propriété: Si un produit est nul alors lun des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement. (2x + 3) ( x – 7) = 0 (2x + 3) = 0( x – 7) = 0 2x = -3 ou x = -3/2 2x + 3 = 0x – 7 = 0 x = 7 Solution de cette équation –3/2 et 7

33 Ex1: 143 x 102= 143 x ( ) = 143 x x 2 = = ) Exercices Calculer mentalement avec la distributivité 143 x 102 Ex2: 102 x 209= ( ) x ( ) = 100 x x x x 9 = = x 209 VIII– EXERCICES / PROBLEME

34 A = 3(- 6 x + 4) A= -18 x + 12 B = (2 x + 3)(3 x - 4) B = 6 x ² - 8 x + 9 x – 12 B= 6 x ² + x - 12 Développer Ex3: Ex4: 103²= ( )² 103²= 100² + 2 x 100 x 3 + 3² 103²= ²= En utilisant une identité, calculer mentalement

35 96² = ( )² (a - b)² = a² - 2ab + b² 96²= 100² - 2 x 100 x 4+ 4² 96²= ²= x 95= ( ) x ( ) (a + b)(a - b) = a² - b² 105 x 95 = 100² - 5² 105 x 95 = x 95 = 9 975

36 A = (4 - 3 x )² (a - b)² = a² - 2ab + b² A = x + 9 x ² B = (2 x + 3)(2 x - 3) (a + b)(a - b) = a² - b² B= 4 x ²- 9 Ex5: Développer C = (2 x - 3)² + ( x + 5)(3 - x ) (a - b)² = a² - 2ab + b² C = 4 x ² - 12 x x – x ² x C = 3 x ² - 14 x + 24

37 D = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3 x )² (a + b)(a - b) = a² - b² D = x ² (a - b)² = a² - 2ab + b ² ( x + 9 x ² ) D = x ² x - 9 x ² D = -8 x ²+ 24 x - 25 Ex6: A = x ² + 3 x - 5 x ² A = x x x + x x 3 - x x 5 x A = x ( x x ) A = x (- 4 x + 3) B = (1 - 6 x )² - (1 - 6 x )(2 + 5 x ) B= (1 - 6 x )(1 - 6 x ) - (1 - 6 x )(2 + 5 x ) B = (1 - 6 x )[ (1 - 6 x ) - (2 + 5 x )] B = (1 - 6 x )[ x x ] B = (1 - 6 x )( - 11 x - 1 ) Factoriser

38 Ex7: factoriser x ² - 2 x + 1 = ( x - 1 )²25 x ² - 49 =(5 x + 7 )(5 x - 7 ) A = (2 x + 3)² - 64 A =[ (2x + 3) – 8 ][ (2x + 3) + 8 ] A = [2 x + 3 – 8][2 x ] A = (2 x – 5)(2 x + 11) a²-b²=…….

39 A = 8 + a + 8 b + ab A = 8 + a + b ( 8+ a) A = (8 + a) + b ( 8+ a) A = (8 + a) x 1 + b ( 8+ a) A = (8 + a) x (1 + b) A = (8 + a) (1 + b) Ex8: Factoriser en plusieurs étapes

40 2) Problème récapitulatif 4° Résoudre léquation f(x) = 0 Enoncé:

41 Solution

42 4° Résoudre f(x) = 0 (2x +1) (-x + 6) = 0 Si un produit est nul alors lun des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement. 2x + 1 = 0ou-x + 6 =0 2x = -1 x = -1/2 -x = -6 x = 6 Solution -1/2 et 6

43 CALCUL LITTERAL Revoir les exercices Apprendre le cours et les identités FIN


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