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Série de Fourier Une série de Fourier est une série du type : s(t) = avec : et pour : Les nombres a n et b n sont appelés coefficients de Fourier.

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1 Série de Fourier Une série de Fourier est une série du type : s(t) = avec : et pour : Les nombres a n et b n sont appelés coefficients de Fourier

2 Théorème 1 (Lejeune-Dirichlet) Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a : si f est continue au point t. Et plus généralement :

3 Analyse harmonique ou spectrale composition fréquentielle du signal a 0 représente la moyenne f sur une période :

4 Analyse harmonique est le fondamental : c est l harmonique le plus important : il donne le rythme du signal.

5 Analyse harmonique Et pour sont les harmoniques de rang n. Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.

6 Synthèse harmonique La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :

7 Représentation spectrale On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l amplitude de chaque harmonique :

8 Propriétés des coefficients Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s annulent. Cas où f est paire : tous les b n sont nuls. avec et pour

9 Propriétés des coefficients Cas où f est impaire : tous les a n sont nuls.. avec pour

10 Propriétés des coefficients Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires :impari-symétrique et

11 Propriétés des coefficients Lamplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus

12 EXEMPLE sur f paire, -périodique

13 EXEMPLE f paire : et pour

14 EXEMPLE

15 On a donc : et comme f est continue sur IR :

16 Ecriture complexe des séries de Fourier En utilisant les formules dEuler on obtient: Où :

17 Légalité de Parseval On montre que lénergie du signal est égale à la somme des énergies des harmoniques et de la valeur moyenne au carré


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