Série de Fourier s(t) = Une série de Fourier est une série du type :

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1 Série de Fourier s(t) = Une série de Fourier est une série du type :
avec : et pour : Les nombres an et bn sont appelés coefficients de Fourier

2 Théorème 1 (Lejeune-Dirichlet)
Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a : si f est continue au point t. Et plus généralement :

3 Analyse harmonique ou spectrale
composition fréquentielle du signal a0 représente la moyenne f sur une période :

4 Analyse harmonique est le fondamental :
c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le rythme du signal.

5 Analyse harmonique Et pour sont les harmoniques de rang n.
Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.

6 Synthèse harmonique La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :

7 Représentation spectrale
On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l ’amplitude de chaque harmonique :

8 Propriétés des coefficients
Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s ’annulent. Cas où f est paire : tous les bn sont nuls. avec et pour

9 Propriétés des coefficients
Cas où f est impaire : tous les an sont nuls. . avec pour

10 Propriétés des coefficients
Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires : et

11 Propriétés des coefficients
L’amplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus

12 EXEMPLE sur f paire, périodique

13 EXEMPLE f paire : et pour

14 EXEMPLE

15 EXEMPLE On a donc : et comme f est continue sur IR :

16 Ecriture complexe des séries de Fourier
En utilisant les formules d’Euler on obtient: Où :

17 L’égalité de Parseval On montre que l’énergie du signal est
égale à la somme des énergies des harmoniques et de la valeur moyenne au carré