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E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation 2013-2014 L.G. 1 Optimisation Jean-Louis Coulomb - Laurent Gerbaud Année 2013-2014 ENSE3 – filière SEM2 - filière.

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1 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 1 Optimisation Jean-Louis Coulomb - Laurent Gerbaud Année ENSE3 – filière SEM2 - filière IEE

2 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 2 Objectif du cours - Intérêt de loptimisation - Les algorithmes doptimisation - Les plans dexpériences

3 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 3 Le processus de conception Vérification expérimentale Analyse : calcul numérique (Simulation) Cahier des charges Choix de la structure Dimensionnement Modèles analytiques ou numériques

4 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 4 Paramètres individuels Paramètres influençant la conception Aide à la conception => Optimisation automatique avec simulation du comportement par des méthodes numériques Processus De Conception Formulation du problème Informations disponibles Outils disponibles Environnement de travail Temps disponible Organisation de lentreprise Décisions externes Connaissances scientifiques Connaissances opérationnelles Compétence et motivation Emotions Manière personnelle de penser et dagir Paramètres externes Jean-Louis Coulomb

5 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 5 Description du problème direct Analyse, calcul, simulation Modèle Sorties ? Entrée

6 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 6 Modèle de dimensionnement - Numérique - mise en œuvre pouvant être très aisée - développement souvent facile - calcul pouvant être lourds - Semi-analytique - Analytique - construit par analyse - connaissance requise pouvant être important - mise en œuvre pouvant être longue - souvent rapide voir dérivable - Alternative : plans dexpériences

7 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 7 Gem = pi/(2*lambda)*(1-Kf)*sqrt(kr*beta*Ech*E) *pow(D,2)*(D+E)*Be Ech=A*Jcu A=kr*E*Jcu Kf = 1.5*p*beta*(e+E)/D Be=(2*la*M)/(D*log((D+2*E)/(D-2*(la+e))) C=pi*beta*Be*D/(4*p*Bfer) p=pi*D/deltaP Vu=pi*D/lambda*(D+E-e-la)*(2*C+E+e+la) Va=pi*beta*la*D/lambda*(D-2*e-la) Pj=pi*rhoCu*D/lambda*(D+E)*Ech lambda=D/L Fobj = cva*Va+cvu*Vu+cpj*Pj Rotor Aimant Entrefer Stator Bobinage Exemple du dimensionnement dune machine à aimants permanents

8 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 8 Description du problème inverse Modèle Sorties Entrée ? Problème inverse {Critères fixes} {jeu de valeurs d entrée} 1 {jeu de valeurs d entrée} 2 {jeu de valeurs d entrée} 3 {jeu de valeurs d entrée} n …………………………...

9 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 9 Optimisation sans contraintes Optimisation avec contraintes Optimisation à objectifs multiples Minimiser f(X) sous les contraintes Minimiser sous les contraintes

10 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 10 Normalisation Borne inférieure min Borne supérieure max Valeur réelle Valeur normalisée - dans lintervalle [0, +1] - dans lintervalle [-1, +1] Jean-Louis Coulomb

11 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 11 Principe de base de loptimisation : méthode dessai et erreur Choix Paramètres Détermination Performances Performances Acceptables ? non oui Ce qui caractérise une méthode doptimisation : · Comment choisir les nouvelles valeurs des paramètres ? · Comment arrêter le processus de recherche Jean-Louis Coulomb

12 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 12 Une session de dimensionnement Optimisation Résultat Contraintes par utilisateur Initialisation après l'analyse (étape 3) Restrictions et relaxations des contraintes Problème de la prise en compte des aspects discrets Analyse de sensibilité (si algorithme avec gradients) Contraintes fixes Cahier des charges Contraintes sur un intervalle

13 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 13 Les méthodes doptimisations Deux familles de méthodes doptimisation Les méthodes déterministes · A contexte initial donné conduisent à la même solution finale. · Nécessitent peu dévaluations de la fonction à optimiser. · Mais peuvent se bloquer sur un optimum local Les méthodes non déterministes (stochastiques) · A contexte initial donné peuvent conduire à des solutions différentes. · Nécessitent beaucoup dévaluations de la fonction. · Possèdent la capacité de trouver loptimum global.

14 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 14 Les algorithmes déterministes Les méthodes directes utilisation uniquement de la fonction objectif Branch and bound algorithmes heuristiques ex : Hooke and Jeeves, Rosenbrock algorithmes à bases théoriques ex : Powell Les méthodes indirectes utilisation du calcul du gradient de la fonction ex : méthode de Cauchy ou de la plus grande pente méthode de Newton minimisation séquentielle quadratique méthode du gradient conjugué ou de quasi-Newton

15 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 15 Les différentes méthodes doptimisation Méthodes primitives algorithmes stochastiques Monté-Carlo recuit-simulé algorithme génétique méthode tabou colonie de fourmis algorithmes dénumération implicite algorithme de séparation et évaluation (branch and bound) réseaux de neurones Méthodes convergentes

16 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 16 · La méthode des gradients : Minimum recherché dans la direction de la plus grande pente. · La méthode Monte Carlo : Évaluation en un grand nombre de points choisis aléatoirement. · Les méthodes hybrides : On peut par exemple utiliser la méthode des gradients en partant dun grand nombre de points choisis aléatoirement. On peut ainsi espérer déterminer au fur et à mesure tous les optima locaux de la fonction. · Le recuit simulé : On effectue des déplacements aléatoires à partir dun point initial. Si un déplacement mène à une meilleure valeur de la fonction f, il est accepté. Sinon, il est accepté avec un probabilité : où est la variation de la fonction, T est assimilé à une température qui décroît au cours du temps et k est une constante. · Les Algorithmes Évolutionnaires : Le principe est de simuler lévolution dune population dindividus auxquels on applique différents opérateurs génétiques et que lon soumet à chaque génération à une sélection. Quelques méthodes en bref Jean-Louis Coulomb

17 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 17 · Exploration : les méthodes Monte Carlo permettent une bonne exploration de lespace puisque tout point a une probabilité identique dêtre atteint, mais il ny a pas dexploitation des résultats déjà obtenus. · Exploitation : Avec la méthode des gradients, lexploration est moindre, mais lexploitation des données précédentes par lintermédiaire des gradients permet une bonne recherche locale. · Compromis Exploration/Exploitation : Les Algorithmes Évolutionnaires offrent un bon compromis entre exploration et exploitation. Compromis exploration et exploitation Jean-Louis Coulomb

18 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 18 Optimisation sous contraintes Le modèle requis par un algorithme de type gradient : P i {i=1,n} C j, {j=1,m} Fobj Model PiPi CjCj Fobj Modèle Le modèle de dimensionnement : Le problème d optimisation : or P i {i=1,n} C j, {j=1,m} Fobj Model dP i {i=1,n} dFobj dC j, {j=1,m}

19 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 19 Lobtention des gradients en numériques Différences finies Différentielles finies

20 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 20 Méthodes déterministes sans contraintes Jean-Louis Coulomb

21 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 21 Méthodes déterministes avec contraintes Méthode des pénalités Jean-Louis Coulomb

22 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 22 Jean-Louis Coulomb

23 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 23 Jean-Louis Coulomb

24 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 24 Démo Jean-Louis Coulomb

25 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 25 · Les Algorithmes Évolutionnaires sont inspirés du concept de sélection naturelle élaboré par Charles Darwin (The Origin of Species, 1859). · Les lois de variation, croisements et mutations, sont empruntées à Mendel et à la génétique moderne. · Le vocabulaire est calqué sur celui de lévolution et de la génétique Individus (solutions potentielles), Population, Gènes (variables), Chromosomes, Parents, Croisement, Mutations, …. Idée des Algorithmes Évolutionnaires Jean-Louis Coulomb

26 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 26 · La sélection naturelle à fait ses preuves dans le monde vivant. · Lapparition despèces distinctes se fait par la sélection naturelle de variations individuelles. · Cest la lutte pour la vie, due à une population tendant à sétendre dans un espace et avec des ressources finis. · Les individus les plus adaptés tendent à survivre plus longtemps et à se reproduire plus aisément. · Le point clef est lapparition, par hasard, de variations individuelles. Cela explique les phénomènes dévolution et dadaptation sans avoir recourt ni à une création, ni à une modification directe de lhérédité par le milieu, ni même à une finalité. De la sélection naturelle à lorganigramme dun Algorithmes Évolutionnaires Jean-Louis Coulomb

27 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 27 Algorithme génétique Technique basée sur la Théorie de l'évolution de Darwin A partir des données du problème, on crée (généralement aléatoirement) une "population" de solutions possibles. Les caractéristiques de chaque solution représentent ses gènes. Puis, on évalue chacune des solutions. On élimine une partie infime de celles qui se sont montrées inutiles ou désastreuses, et on recombine les gènes des autres afin d'obtenir de nouveaux individus-solutions. Selon la théorie évolutionniste, cette nouvelle génération sera globalement plus adaptée au problème que la précédente. On itère alors le procédé jusqu'à la naissance d'une solution que l'on jugera satisfaisante.

28 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 28 fait; Fonctionnement d'un algorithme génétique (1/3) Faire tant que (il n'y a pas de solution satisfaisante) et (le temps est inférieur au temps limite) 1. créer une population initiale 2. évaluer l'adaptation de chaque individu initialiser le temps; incrémenter le temps 3. sélectionner les parents 4. déterminer les gènes des nouveau-nés par recombinaison des gènes parentaux 5. faire subir des mutations aléatoires à la population évaluer l'adaptation de chaque individu 6. sélectionner les survivants

29 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G Création de la population initiale. Si aucune idée de la solution du problème, génération aléatoire d une population. Sinon, création des individus qui représentent les solutions dont on dispose. Principal problème : choix de la taille de la population : compromis à trouver Besoin de suffisamment dhétérogénéité. Une population trop grande augmente le temps de calcul. - Evaluation de l'adaptation. Mesure des performances de chaque individu par une fonction d'adaptation correspond au profit, à l'utilité de la solution par rapport au problème. - Sélection des parents. Pour que la génération suivante soit plus performante Accouplement des meilleurs individus. (chaque individu aura une chance proportionnelle à son adaptation de devenir parent) Fonctionnement d'un algorithme génétique (2/3)

30 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G Recombinaison (crossover). Pour donner naissance à un individu nouveau, prise aléatoire de quelques gênes de chacun des parents. - Mutation. modifications aléatoires du génome. ne pas muter tous les gènes d'un individu, sinon détermination complète aléatoire. rôle secondaire par rapport à la recombinaison - Sélection des survivants. ne garder que les solutions les plus intéressantes, tout en gardant une population assez grande et assez diversifiée. en général, conservation de la taille de la population d'une génération à l'autre. (autant de "morts" que de nouveaux-nés) Parfois, garde uniquement des enfants Cela assure la diversité et l'évolution de la population. Fonctionnement d'un algorithme génétique (3/3)

31 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 31 Codage informatique · Codage et décodage dun réel dans un entier 32 bits : 2 32 possibilités Un gène est un entier 32 bits · Un chromosome est un tableau de gènes · Un individu est un tableau de chromosomes · Une population est un tableau dindividus. · Le codage binaire permet de tout coder : les réels, les entiers, les booléens, les caractères, … · Il existe dautres formes de codage (codage de Gray, codage réel, …) X1=3,256 X1=0,658 X1=10,26 gène1 gène2 gène3 chromosome Jean-Louis Coulomb

32 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 32 Le problème Recherche du maximum de la fonction x->x² sur l'ensemble [|1,31|] (on prend des entiers pour plus de simplicité). Codage du problème. Chaque individu représentera une valeur pour x. Son génotype sera la valeur de x exprimée en binaire (il suffit de 5 bits, car 31 se note 11111). Population initiale. On choisit ici une population de quatre individus au hasard, par exemple : N° Génotype Phénotype Exemple

33 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 33 Evaluation de l'adaptation. Application de la fonction d'adaptation : x->x². N° Génotype Phénotype Adaptation Sélection des parents. Il suffit de tirer au hasard 4 individus parmi la population en tenant compte de leurs adaptations respectives. On obtient ainsi une nouvelle population comprenant par exemple: N° Génotype Phénotype Adaptation une copie de l'individu une copie de l'individu deux copies de l'individu aucune copie de l'individu

34 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 34 Recombinaison. On choisit ici, pour le croisement de déterminer au hasard les 2 parents, et de "couper" les chromosomes au hasard : la première partie du chromosome ira au premier descendant, alors que la seconde ira à l'autre. N° Avant Après | | | | Seconde génération. Dans cet exemple, on choisit de limiter la durée de vie de chaque individu à une génération. La nouvelle génération sera donc composée exclusivement des enfants : N° Génotype Phénotype Adaptation Si on calcule la moyenne des valeurs d'adaptation, on obtient 293 pour la génération initiale, contre 439 pour la seconde. On se rapproche bien de la solution. Si on réitère le processus, on obtiendra des valeurs de plus en plus grandes, jusqu'à l'obtention de la solution. } accouplement des individus 1 et 2 } accouplement des individus 3 et 4

35 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 35 Avantages pour parvenir au résultat, pas besoin de connaître les caractéristiques de la solution du problème seulement déterminer parmi deux solutions quelle est la meilleure. Inconvénients : algorithme très coûteux en temps de calcul difficile à programmer les paramètres comme la taille de la population et la fonction d'évaluation sont difficiles à établir il n'a qu'une très faible chance, voire aucune, de trouver la solution idéale il ne fait qu'en approcher. Avantages et inconvénients

36 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 36 Jean-Louis Coulomb

37 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 37 Jean-Louis Coulomb

38 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 38 Jean-Louis Coulomb

39 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 39 Jean-Louis Coulomb

40 E3-SEM2-IEE ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation L.G. 40 Jean-Louis Coulomb


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