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Rennes Suite Rappels de mécanique -Les croissances par plis tangentiels aux interfaces ex. plis dembryons, empreintes digitales, cerveau etc. -Les croissances.

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1 Rennes Suite Rappels de mécanique -Les croissances par plis tangentiels aux interfaces ex. plis dembryons, empreintes digitales, cerveau etc. -Les croissances par champ normal aux interfaces (ex. poumon) -Les champs de fibres

2 Rappel sur le ressort Exemple très simple de déformation Une configuration de référence L 0 Une configuration déformée L 1 Une loi constitutive du matériau : F=k L Une loi générale déquilibre (Newton) k L+Mg=0 Logique : une propriété matérielle, une loi fondamentale=> un passage dune forme (de référence) à une autre (déquilibre), unique

3 Le ressort non-linéaire Cas du ressort dit de Landau, astreint à se déplacer sur une tige. Si les ressorts sont tendus : une seule position déquilibre Si les ressorts sont comprimés : deux positions déquilibre stables

4 Dans ce cas le système admet deux formes déquilibre et une instable. Par la force on écrira kDL 1 + kDL 2 =0 x= H 2 -L 1 2 Longueur projetée On peut utiliser lénergie Ep, élastique = 2. ½k(L-L 0 ) 2 avec L²= H²+x² = k(L-L 0 ) 2 Le minimum de lénergie potentielle élastique sécrit dEp, élastique /dx = 2k(L-L 0 )x/L Doù 3 positions déquilibre, une instable x=0 2 stables, L 2 = L 1 = H 2 +x 2 Allongement x= H 2 –L 0 2

5 Donc premier message : Système linéaires, solution unique Systèmes non-linéaires, solutions multiples Question : comment rejoint-on les positions déquilibre? Il faut une forme ou une autre de dissipation visqueuse, une force qui soppose à la vitesse f= V Sinon cest « conservatif », « réversible ». On peut remettre le système dans son état initial Lénergie élastique contient les positions déquilibre, sous réserve de dissipation

6 La vraie situation est plutôt : Elle permet au système de rejoindre Son état déquilibre « lentement » Ou bien avec des oscillations si on ajoute linertie : m =md 2 x/dt 2 On obtiendra une équation dynamique de la forme md 2 x/dt 2 = - dx/dt - kdx+mg Dont les solutions sont des combinaisons dexponentielles et de cosinus, par exemple En négligeant linertie : X(t)=(mg/k) (1-exp(-k t/ )) Un ressort Un piston (modèle de Kelvin Voigt) Forme asymptotiqueConstante de temps

7 Si je pousse ça se déforme lentement. Le ressort emmagasine une énergie exactement égale à lénergie élastique Mais moi jai fourni beaucoup plus (frottement visqueux) Si je lâche, ça revient doucement, mais le ressort ne peut rendre que lénergie élastique. Ça sarrête au retour exactement à la position de départ, après un « transitoire ».

8 Situation équivalente pour des pendules de torsion Dans ce cas on écrit léquilibre des couples. Le couple de rappel est proportionnel à langle : C=kd Vue de dessus Vue en perspective

9 En torsion ou en allongement, on peut faire les calculs « par la force » Ou bien « par lénergie » La dissipation nest pas « potentielle » : cest perdu Lénergie cest le travail de la force. Par exemple énergie élastique : dE=kL.dL Par exemple énergie gravitation: dE=Mg.dL dE=kL.dL cest la force kL, multipliée par lallongement

10 Conclusion : Léquilibre est morphogénétique Mais il faut une dynamique pour atteindre léquilibre Il existe un continuum de formes entre la référence et la déformée Il peut exister plusieurs états déquilibre Il existe un bassin d »attraction» pour chaque état

11 Equilibre mécanique dun solide Plus compliqué : chaque élément de volume est en équilibre (problème spatialement étendu ) Donc on écrit léquilibre de chaque parcelle de solide (Newton). Et une équation de matériau reliant les forces aux déformations Et les termes de sources de force Et les conditions aux limites Ça ne donne pas la solution, mais une équation différentielle implicite, dont la forme cherchée est la solution

12 Loi de Hooke Chaque élément peut être vu comme une distribution de petits ressorts Ce nest pas le déplacement qui produit des forces : ce sont les déformations

13 On introduit donc un champ de déplacement u(x,y,z), qui va donner le vecteur permettant de construire la déformée par rapport à la référence Et on construit un champ de déformation. Ah : il y a des déformations de plusieurs sortes, des cisaillements et des extensions ij =1/2(du i /dxj + du j /dxi) Quand i=j là-dedans cest la dilatation dans la direction i Quand i j là-dedans cest le cisaillement

14 Pour le ressort, la déformation est proportionnelle à lallongement, et cest tout. Pour un solide, si je jexerce une force dans une direction, ça déforme dans cette direction, mais également dans lautre. De même, si jimpose une déformation dans une direction, ça résulte en un force dans les deux directions perpendiculaires Donc chaque allongement, est une fonction des forces dans les autres directions Et réciproquement

15 Cest une écriture compacte de quelque chose de simple Pour obtenir des dilatations, faut dilater dans le même sens, ou comprimer dans lautre Pour cisailler, faut cisailler E, cest la raideur (module dYoung) (coefficients de Lamé)

16 Lexemple le plus simple est celui dune barre purement étirée dans la direction notée z. Dans ce cas, la contrainte le long de la section est supposée constante : zz =Cte =F/S où F est la force exercée au bord et S la surface dapplication (par exemple, la section dune barre). Dans une barre ainsi étirée, on observe un allongement dans la direction z et, en général, un amincissement dans les 2 directions perpendiculaires. Ce terme damincissement nexiste pas dans le cas du ressort. Lécriture de léquation ci-dessus donne simplement = et les déformations dans ce cas deviennent simplement zz = L/L=EF/S=3( F/S dans la direction longitudinale L xx = yy = lx/lx F/S dans les directions transverses notées lx E Raideur de la barre Rapport des allongements :

17 Milieux visco-élastiques La loi de Hooke relie les forces et les déformations. Le solide emmagasine lénergie, et peut la restituer. Pour les matériaux visqueux, léquivalent de la loi de Hooke relie les taux de déformation, et les contraintes (~f =- V) Mais ça dissipe (irréversible). Les paramètres sont appelés viscosités; Viscosité de cisaillement (très courant), viscosité de dilatation (assez rare). Pour les matériaux incompressibles, div(v)=0, et ya pas de dilatation de toute façon. Les matériaux visco-élastiques, cest un mélange des deux (Maxwell, Kelvin Voigt, etc.) Les viscosités peuvent être des fonctions compliquées des contraintes Où est la vitesse Du piston là-dedans?

18 Mais la viscosité nest pas une constante, en général. Fluide newtonien Viscosité=constante Fluide rhéofluidifiant Viscosité diminue avec le cisaillement Exemple : dentifrice (« écoulement bouchon ») Fluide rhéo-épaississant Viscosité augmente avec le cisaillement

19 Cas du sang : très particulier, la viscosité dépend de la géométrie Cest dû à « lhématocrite » effet de séparation de phase. Les globules ont des effets coopératifs (se regroupent au centre) H s2 < H e < H s1 µ app = f(H,D)

20 Equilibre des membranes Surface étendue, équilibre uniquement en tension. Pas de résistance au couple (complètement mou en flexion, trampoline).( 2 w(x,y)/x w(x,y)/y 2 )=f(x,y). Une surface tendue, ne soppose à une force hors du plan, que par la déformation (courbure) Cas du savon : P= /R La tension dun savon est une quantité thermodynamique Pas celle du caoutchouc: travail pour créer de la surface= travail pour apporter des atomes Travail élastique=travail pour les écarter. T(s)-.T(s+ds)= N/R= N 2 w/x 2

21 Dans une surface de fluide, il y a toujours une tension de surface. Même plane, il existe une force tangentielle Dans une membrane en caoutchouc, il nexiste pas forcément de tension dans la surface. Si la surface plane de référence est sans force, quand on déforme, ça tend, et une force apparaît =.tDoù lécriture de léquilibre div( )=f=> d 2 w/dx 2 =f Si la surface nest pas pré-tendue, cest plus compliqué

22 Equilibre des plaques Moment de flexion important. Résistance en flexion, pas besoin de tension (plongeoir) M=EI/R M=EI/Ld M(s)-M(s+ds)= uds M/s= u 2 M/s 2 =u f EI 4 w/x 4 =f(x) Léquation des barres ou plaques est du 4 e degré Le couple Soit aussi d f Le solide développe des contraintes Internes Rappel div( )=-f

23 Résumé important Pour les membranes, la dérivée de la tension le long du contour soppose aux charges. Pour les plaques, la dérivée des moments est le moment des contraintes, et la dérivée des contraintes soppose à la charge. Et les couples sont proportionnels aux courbures.

24 Le flambage élastique Combinaison de résistance en flexion, et de contrainte tangentielle (tangentielle, comme une tension, mais en compression) EI 4 w+ d 2 w/dx 2 =0 E module de courbure, I facteur géométrique de la section, la contrainte tangentielle EI 4 w+ ( 2 w/x w/y 2 )=0 Il ny a pas de « flambage dune membrane »

25 Pour trouver les déformations, on développe en modes sinusoïdaux, cas dune barre W x =w 0 cos(kz)+ w 1 sin(kz), W y =w 0 cos(kz)+ w 1 sin(kz) k x =( /EI) 1/2 k y =( /EI) 1/2 Relation de dispersion nécessaire pour que le terme bilaplacien, et le terme laplacien sannulent mutuellement Les conditions aux limites impliquent cos(( /EIx) 1/2 L)=0, cos(( /EIy) 1/2 L)=0 (encastrement). Doù les « modes » de flambage: =(EI 2 /4L 2 )(2n+1) 2

26 Exemples de propagation déquation (niveaux de gris représentent la déformation) Un bruit initial disparaît peu à peu, pour laisser des lignes bien parallèles

27 Un exemple plus complexe : le cas des empreintes digitales comme une peau qui « flambe » sous leffet des contraintes (mais aussi, cerveau, intestins rides etc.)

28 En très bref : lorigine des empreintes digitales est un mécanisme de flambage mécanique de la surface de la peau

29 Donc, pour comprendre/modéliser le phénomène il faut Le type de matériau Les conditions aux limites La géométrie Les termes de force Double couche de ressorts, reliés à une plaque

30 Obtention de léquation de von Karman : trop compliqué pour écrire les forces, les couples etc. énergie Lois de Hooke Plaque mince énergie 00

31 Notion de dérivée fonctionnelle Quand lénergie est fonction dune seule variable, on fait de simples dérivées. Quand on cherche une fonction des variables despace, on doit faire une dérivée fonctionnelle. Principe de moindre action par exemple : chemin suivi dans le temps : J= f(t,x(t),dx/dt(t) dt t1 t2 Ou dans lespace J= f(x,dy/dx) dx x2 x1 f/ x-d/dt(f/x)=0. Exemple : minimum dénergie spatiale

32 Exemple de dérivée fonctionnelle J= f(t,x(t),dx/dt(t) dt t1 t2 f/ x-d/dt(f/x)=0. F(x)=1/2mx 2 -1/2kx 2. => Équation de la dynamique F(dy/dx)= (dy/dx) 2 J= f(x,dy/dx) dx x2 x1 => Quelle équation?

33 Les forces sont obtenues à partir des dérivées fonctionnelles de lénergie: Introduction de la fonction scalaire de Airy Et les équations dévolution simplement sous une forme visqueuse : dw/dt=F(x,y). Rappel : il faut bien une dissipation flexion Compression de la surface de référence Energie de déformation normale Energie de compression décart au plan E potentielle

34 Léquation de von Karman La force elle-même dépend de la forme=> deux équations : Une pour la déformée : Une pour la force : Supposée à son équilibre instantané Si la surface est courbe, la courbure apparaît par la tension/compression

35 Léquation de von Karman Cette équation est une équation élastique (comme les ressorts non-linéaires) On rajoute à la main une dissipation temporelle visqueuse Ça commence à ressembler à un système dynamique

36 Cas de la peau. La biologie des tissus est une physique de couche mince (« tissu »), de coques ou plaques minces Le type de matériau Les conditions aux limites La géométrie Les termes de force Double couche de ressorts, reliés à une plaque: la membrane basale

37 Léquation de Küecken-Newell (Küecken and Newell, Fingerprint formation Journal of theoretical biology 235, (2005) Pour les empreintes digitales, Küecken et Newell rajoutent les couches épaisses de derme et dépiderme, comme des ressorts non-linéaires : V(h)=pw+gw 2 +a/3 w 3 +b/4w 4 p= force uniforme a= asymétrie g: coefficient

38 La situation dans le doigt embryonnaire

39 Les lignes associées aux empreintes digitales nucléent à des endroits précis, puis naviguent en remontant des « lignes de force » (cf Penrose, Kuecken et Newell). Wertheim et Maceo La forme finale dépend de la morphologie du doigt sous-jacent

40 Typologie très précise de lignes Les « attracteurs » sont des objets spatio-temporels complexes, comportant des « défauts topologiques » Pas spécialement « codé » génétiquement. En plus des défauts topologiques, des « dislocations » Multiplicité des solutions « crêtes-vallées » Due à la non-linéarité (« dégénérescence »)

41 Contrainte principale dans le doigt « lisse » Début de la formation des plis, quand la contrainte dépasse le seuil de flambage articulation Nerf, bosse ongle Modélisation mathématique « complexe » Equation de propagation de type flambage Analogue à la géologie (plissements de terrain)

42 Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt Exemples de réalisations

43 Le champ de plis est calculé à 2D, avec la projection du champ de contrainte sur un plan Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt Exemples de réalisations

44 Passer à « la main »

45 Pour les formes fibrées, on peut directement utiliser des énergies reliées aux orientations On définit un paramètre dordre n. Ce nest pas lallongement, mais lorientation locale.

46 Analogues biologiques de cristaux liquides : collagène, chitine, fibronectine, myosine, élastine etc. Images Yann Legrand, Christophe Odin, Alia Al-Kilani

47 Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Ser-Gly-Pro-Arg-Gly- Leu-Hyp-Gly-Pro-Hyp-Gly-Ala-Hyp-Gly-Pro-Gln-Gly- Phe-Gln-Gly-Pro-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly- Ala-Ser-Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Arg-Gly-Pro-Hyp-Gly- Pro-Hyp-Gly-Lys-Asn-Gly-Asp-Asp...

48 la matière vivante est différente des minéraux : ordre orientationnel, ordre d alignement

49 En fait, cest même fibré dans les deux sens Photo V.F. D après Bard, Morphogenesis OignonCulture de poumon

50 Obtentions de la dynamique de champs de vecteurs « orientation » Méthode par lénergie de Frank. On construit un champ de diffusion de vecteur n, de même quon peut diffuser des températures, ou des courants électriques etc. Inspiré de la physique des écrans plats « à cristaux liquides »

51 Notion de dérivée fonctionnelle Quand lénergie est fonction dune seule variable, on fait de simples dérivées. Quand on cherche une fonction des variables despace, on doit faire une dérivée fonctionnelle. Principe de moindre action

52 Exemple concret Contribution du terme dit « déventail »

53 Explication physique des termes dénergie, pour un champ de type « nématique », cristal liquide. Un terme dans lénergie correspond à une « pénalisation ». Puisque le système veut abaisser son énergie, il fait tout ce quil peut pour rendre ces termes les plus bas possible. Exemple : le ressort ne veut pas sallonger. Cherche le minimum de courbure Terme de courbure

54 De même pour le terme déventail Doù une équation complète de propagation de lignes Donc encore un opérateur différentiel, dont tous les termes ont un sens physique précis Satisfont les lois fondamentales, compétition entre deux effets, se lit directement Cherche le minimum de ça :

55 On impose des conditions aux limites

56 Et le calcul donne des courbes qui se raccordent automatiquement, partout.


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