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Analyse de la signifiance de diverses procédures dagrégation multicritère (PAM) à partir de la théorie du mesurage Bernard ROY&Jean-Marc MARTEL Meltem.

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1 Analyse de la signifiance de diverses procédures dagrégation multicritère (PAM) à partir de la théorie du mesurage Bernard ROY&Jean-Marc MARTEL Meltem Öztürk

2 Plan de la présentation Théorie du mesurage –Typologie des échelles de mesure Notion de signifiance –Illustration à partir de la somme pondérée TOPSIS (PAMC de type critère unique de synthèse) –Présentation de la méthode TOPSIS –Illustration du concept de signifiance –Application : Problématique du choix du lieu de location dune office bancaire

3 Théorie du mesurage Campbell (1938): The assignement of numerals to represent proporties of material systems other than number, in virtue of the laws governing these proporties. Russel (1938): Measurement of magnitude is, in its most general sense, any method by which a unique and reciprocal correspondance is established between all or some of the magnetudes of a kind and all or some the numbers, integral, rational, or real as the case may be. Stevens(1951): Measurement is the assignement of the numerals to objects of events according to rules.

4 Exemple: Masse a plus lourd que b f(a) > f(b) concaténation: f(a b)=f(a)+f(b) M 1 (A,, ) M 2 (R, +, >)

5 Questions????? Système relationnel numérique représente-t- il bien le système relationnel empirique? Cette représentation est-elle unique? Traitements numériques autorisés? Les énoncés issus de ces traitements restent- ils les mêmes sils sont effectués avec une autre représentation numérique admissible?

6 Krantz, Luce, Suppes, Tversky Foundations of measurement (1958) volume 1 Additive and polynomial represantions

7 Représentation:Axiomes et Théorèmes (Roberts 1979) ex:Aide à la décision -Transitivité -Asymétrie -Transitivité négative (aPb) et non (bPc) non (aPc) ou Théorème de Cantor

8 Unicité: (Barzilai 1998) Si f:homomorphisme de M 1 vers M 2 alors tout homomorphisme h de M 1 à M 2 peut sécrire sous forme: h= (f) Échelle régulière: (Roberts 1979,1994) Sil existe 2 homomorphismes f et h alors il existe une transformation admissible tel que h= (f) f(a)=f(b) h(a)=h(b)

9 Echelles: –Ensemble de nombres susceptibles pour coder une information relative aux objets de A –Un mesurage appliquant A dans cet ensemble de nombres Caractéristiques: –Caractéristique dordre –Caractéristique de distance –Caractéristique dorigine

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11 Signifiance Exemple : A={ a, b,c,d }f(a)= card({y A / a P y}) a bf( a )=3f( b )=1 f( c )=0f( d )=1 cd f( a )-f( b ) = 2( f( d )-f( c )) le degré de préférence de a par rapport à b est deux fois plus grand que le degré de préférence de d par rapport à c h( a )=10 h( b )=8 h( c )=0 h( d )=8 Proposition pas signifiante

12 Définitions « une proposition fondée sur un calcule utilisant les échelons dune échelle est signifiante si sa véracité ou sa fausseté demeure inchangée lorsquon remplace une échelle par une autre représentant toutes les deux la même information » Roberts (1979) « A numerical statement is meaningful if and only if its truth or falsity is constant under admissible scale transformation of any of its numerical assignment, that is, any of its numerical function expressing the results of measurement » Suppes & Zinnes (1963)

13 Signifiance & Somme Pondérée a P b p i g i (a) > p i g i (b) (*) a: action potentielle g i : échelle de mesure p i : poids de point de vue i But: Etudier les conditions dans les quelles la proposition (*) est vraie lorsquon substitue aux échelles g i des échelles équivalentes Remarque: si une procédure nest pas signifiante pour un niveau de mesure donné, elle ne le sera pas pour un niveau de mesure plus bas.

14 Echelle Absolue: (*) est signifiante Echelle Ratio: ? p i g i (a) > p i g i (b) p i i g i (a)> p i i g i (b) exemple: g 1 g 2 g 3 a 425 p i g i (a) = 19 b 143 p i g i (b) = 17 p i 2 31 p i i g i (a) = 25 i 12 1 p i i g i (b) = 29 i -2-13

15 Remarque: Coefficients de pondération dépendent des échelles de mesure associées aux critères exemple: 2 critères, coût et délai,coût en millier de francs, en millions de francs etc.. La somme pondérée est signifiante sous réserve de transformation des coefficients de pondération de manière appropriée p i p i / i

16 Echelle dIntervalle (pi/ i) ( i gi(a)+ i)> (pi/ i) ( i gi(b)+ i) [pi gi(a)+ (pi i/ i )]> [pi gi(b)+ (pi i/ i )] pi gi(a)> pi gi(b) Exemple: (pi/ i) ( i gi(a)+ i)=33 (pi/ i) ( i gi(b)+ i)=29

17 Echelle ordinale: La proposition (*) nest pas signifiante Exemple: g 1 g 2 g 3 a 425 b 143 pi 2 31 pi gi(a) = 19 pi gi(b) = 17 g 1 g 2 g 3 a 314 b 252 pi 2 31 pi gi(a) = 13 pi gi(b) = 21

18 Remarque: si à la place des performances,on utilise les relations que ces performances expriment relativement à chaque critère sur lensemble des actions on peut avoir la signifiance Vi(a,b)=1 si a P i b et Vi(a,b)=0 si non(a P i b) pi Vi(a) > pi Vi(b) g 1 g 2 g 3 a 425 b 143 V a 101 V b 010 p i pi Vi(a) =3 pi Vi(b) =3 g 1 g 2 g 3 a 314 b 252 V a 101 V b 010 p i pi Vi(a) =3 pi Vi(b) =3

19 TOPSIS Paul Yoon & Ching-Lai Hwang (1981) Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution (multiple attribute decision making)

20 Idée Principale de TOPSIS Choisir laction ayant la plus petite distance à laction dite « idéale » (positive-ideal solution) la plus grande distance à laction dite « anti-idéale » (negative-ideal solution »

21 Idéale et Anti-Idéale Solutions Idéale Solution: A* = { g 1 *, …, g j *,…, g n * } avec g j * la meilleure valeur pour le j ème critère parmis toutes les actions Anti-Idéale Solution A * = {g 1*, …, g j*, …, g n* } avec g j* la plus mauvaise valeur pour le j ème critère parmis toutes les actions

22 Algorithme de TOPSIS PAS 1 : Calcule des préférences normalisés (normalized ratings) i = 1,…, mj = 1,…, n

23 Algorithme de TOPSIS PAS 2 : Calcule des préférences normalisés avec des poids associés aux critères (weighted normalized ratings) V j (x i ) = w j r j (x i ) i = 1,…, mj = 1,…, n

24 Algorithme de TOPSIS PAS 3 : Identification des solutions idéales et anti-idéales A* = { v 1 *, …, v j *,…, v n * } = {( max i v j (x i )/ j J 1 ), (min i v j (x i )/ j J 2 )} A * = {v 1*, …, v j*, …, v n* } = {( min i v j (x i )/ j J 1 ), (max i v j (x i )/ j J 2 )} J 1 : ensemble des critères de bénéfice J 2 : ensemble des critères de coût

25 Algorithme de TOPSIS PAS 4 : Calcule des distances (Separation measures)

26 Algorithme de TOPSIS PAS 5 : Calcule de lindex de similarité à la solution idéale c(x i ) = d * (x i )/ (d*(x i )+d * (x i )) PAS 6 : Ordre de preference Choisir laction ayant le plus grand index de similarité (problématique de choix) Ranger les action par ordre décroissant des index de similarité (problématique de rangement)

27 Calcul des distances

28 Attention!!! d* et d * font intervenir toutes les performances des actions selon le critère C j une variation quelconque de la performance dune action selon ce critère C j modifie la valeur de d* et d * par suite la valeur finale c(x j ) Solution Une variation concomitante (dans les mêmes proposition) des coefficients w j peut annuler cet impact

29 Exemple 1: variation de performance C 1 avec w 1 = 3 xiabcd xiabcd g 1 (x i )1357 g 1 (x i ) 2 = 84 W 1 2 / g 1 (x i ) 2 = 3 2 /84 C 1 avec w 1 = ? xiabcd xiabcd g 1 (x i )1387 g 1 (x i ) 2 = 123 W 1 2 / g 1 (x i ) 2 = W 1 2 /123 = 3 2 /84 W 1 2 = (9*123)/84 = 3,63

30 Attention !!! Si la modification de performance entraîne une modification de A* et/ou A * modification de d* et/ou d * pour toutes les actions Problème grave de robustesse Solution Solutions idéales et anti-idéales: solutions fictives

31 Signifiance / Echelles de ratio g i (x) g i (x)

32 Exemple 2: signifiance échelle de ratio C 1 avec w 1 = 3 x i abcd g 1 (x i )1357 g 1 (x i ) 2 = 84 d*(b) = [(3 2 /84) (7-3) 2 ] 1/2 = 1, 310 d * (b) = [(3 2 /84) (3-1) 2 ] 1/2 = 0,655 c(b) = d * (b)/ (d*(b)+d * (b)) = 0,333 C 1 avec w 1 = 3 = 2 x i abcd g 1 (x i ) g 1 (x i ) 2 = 336 d*(b) = [(3 2 /336) (14-6) 2 ] 1/2 = 1, 310 d * (b) = [(3 2 /336) (6-2) 2 ] 1/2 = 0,655 c(b) = d * (b)/ (d*(b)+d * (b)) = 0,333

33 Signifiance / Echelles dintervalle g i (x) + g i (x)

34 Exemple 3: signifiance échelle dintervalle C 1 avec w 1 = 3 x i abcd g 1 (x i )1357 g 1 (x i ) 2 = 84 d*(b) = [(3 2 /84) (7-3) 2 ] 1/2 = 1, 310 d * (b) = [(3 2 /84) (3-1) 2 ] 1/2 = 0,655 c(b) = d * (b)/ (d*(b)+d * (b)) = 0,333 C 1 avec w 1 = 3 x i abcd g 1 (x i ) g 1 (x i ) 2 = 964 d*(b) = [(3 2 /964) (11-23) 2 ] 1/2 =1,159 d * (b) = [(3 2 /964) (11-5) 2 ] 1/2 = 0,580 c(b) = d * (b)/ (d*(b)+d * (b)) = 0,333

35 Exemple 3: signifiance échelle dintervalle C 1 avec w 1 = 3 C 1 avec w 1 = ? 3 2 /84 w /964 w 1 2 = 3,388

36 Critiques Simple compréhension de lidée et lalgorithme de la méthode Application assez facile Semi-compensatoire Pas de veto Problèmes dus à la normalisation: Differents mesure dunité, et des fonctions de performance (distance entre 2 performances sur une échelle nest pas la même sur une autre) une variation quelconque de la performance dune action selon un critère C j modifie la valeur de d* et d * par suite la valeur finale c(x j ) Si la modification de performance entraîne une modification de A* et/ou A * modification de d*et/ou d * pour toutes les actions Problème grave de robustesse

37 Application : location dun établissement bancaire Actions : 10 villes de la Turquie Critères: –4 Critères 1. Les critères démographiques 2. Les critères macroéconomiques 3. Le potentiel de commerce et de lindustrie 4. Les dépenses de localisation –des sous-critères associés (tableaux de capacités et tableaux de capacités normalisées)

38 Application : location dun établissement bancaire Poids flous des critères et des sous-critères associés Matrice floue de performance Maximum flou et minimum flou Matrice de performance floue singleton

39 Application : location dun établissement bancaire U l (i) U h (i) a 1j b 1j a 2j c 1j b 2j c 2j a ij b ij c ij a nj b nj c nj Figure 5-1minimum et maximum flou f ij

40 Application : location dun établissement bancaire Solutions idéales et anti-idéales A* = (0.8585, , , ) A * = (0.7360, , , ) Distances de Hamming Index de similarité


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